Уравнение динамики линейной системы n-го порядка

4. Уравнение динамики линейной системы n-го порядка. Передаточные функции. Временные характеристики систем.

Уравнение динамики линейной системы n-го порядка с одной входной и одной выходной величинами это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

где а₀, а₁,…, а_п-1, а_п; b₀,b₁,…, b_п-1, b_п; — постоянные коэффициенты, зависящие от параметров входящих в систему элементов; i — время.

В физически реализуемых системах порядок левой части этого уравнения выше или равен порядку правой части уравнения, т. е. п ≥ т. В левой части уравнения группируют слагаемые, содержащие выходную величину и ее производные, а в правой — слагаемые с входной величиной и ее производными. При нескольких входных величинах все слагаемые, содержащие входные величины и их производные, записывают в правую часть уравнения. При наличии нескольких выходных величин поведение системы в переходном режиме описывают системой уравнений динамики, число которых равно числу выходных величин.

Решение уравнения динамики (I,6) представляет собой зависимость изменения выходной величины системы во времени при известном входном воздействии. По полученному решению определяют качество переходного процесса.

Уравнение динамики (I,6) при х_вх = 0 имеет вид:

Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его называют уравнением свободного движения системы.

Рекомендуемые материалы

Из уравнения динамики (I, 6) можно получить уравнение статики системы, приравняв в нем все производные нулю. Оно имеет вид уравнения (I,5), если k — b_m/a_m.

Обычно, входные и выходные величины в уравнениях статики и динамики записывают в относительном виде. При этом постоянные коэффициенты уравнения динамики или безразмерны, или имеют размерность времени в степени, равной порядку производной соответствующего слагаемого.

Для упрощения записи уравнения динамики операцию дифференцирования обозначают символом р (здесь р — алгебраическая величина):

Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p:

Таким образом

Используя эти соотношения, получим следующую запись уравнения динамики системы (I, 6):

Заменяя полином в левой части уравнения (1,8) через D(p) а в правой части через К(р), окончательно получим

где D(p) —полином, характеризующий свободные колебания системы; К(р) —полином, характеризующий внешнее возмущение.

Передаточные функции систем.

Передаточные функции, как и уравнения динамики, характеризуют изменение сигнала при прохождении через систему.

Отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы W(p)

где x_вх(p) и x_вых(p)— изображения по Лапласу входной и выходной величин системы.

По передаточной функции системы W(p) и изображению ее входной величины можно найти изображение выходной величины

При наличии одной входной и одной выходной величины система или звено имеют только один канал прохождения сигнала, а следовательно, и одну передаточную функцию. Если же система или звено имеют несколько каналов прохождения сигнала, что возможно при нескольких входных и выходных величинах, то прохождение сигнала в каждом канале характеризуется своей передаточной функцией.

Временные характеристики систем.

Временная характеристика системы представляет собой изменение выходной величины во времени при подаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие, или единичный импульс. При единичном ступенчатом воздействии (рис. 1-5, а) входная величина мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменной. Единичное ступенчатое воздействие, или единичная ступенчатая функция 1(t) описывается выражением:

Бесплатная лекция: "8. Объекты сбора и подготовки нефти" также доступна.

Импульс, величина которого равна бесконечности, длительность — нулю, а площадь — единице (рис. 1-5,б) называется единичным импульсом. Его аналитическое выражение называют единичной импульсной функцией, или дельта-функцией, и обозначают через δ(t).

Дельта-функцию при условии, что  записывают так:

Переходная характеристика — это частный случай временной характеристики при подаче на вход элемента или системы единичного ступенчатого возмущения. Ее обозначают через h(t). Таким образом, если x_вх(t)=1(t), то x_вых(t)=h(t).

Импульсная переходная характеристика — это временная характеристика при подаче на вход элемента или системы единичного импульса. Ее аналитическим выражением является импульсная переходная функция, или весовая функция (функция веса) w(t). Следовательно, x_вых(t)= w(t) при x_вх(t)= δ(t). Между переходной и весовой функциями линейных звеньев наблюдается зависимость, аналогичная вышеприведенной: