Включение цепи r, C к источнику синусоидального напряжения

5.7. Включение цепи r, C к источнику синусоидального напряжения.

Этот случай отличается от рассмотренного в п. 5.5. только тем, что источник представлен гармонической функцией, т.е., например,

                                   (5.28)

Принужденное напряжение на емкости

          (5.29)

а переходное напряжение на емкости

  (5.30)

Если принять, что емкость не была заряжена, то постоянная интегрирования определяется при нулевых начальных условиях

Рекомендуемые материалы

 uc(0+)=                                                             =uc(0-)=0                  (5.31)

Отсюда:

            (5.32)

Кривая изменения напряжения изображена на рис 5.10.

рис.5.10.

Теперь перейдем к рассмотрению переходных процессов в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных r, L, C элементов. Здесь по аналогии с r, L и r, C цепями возможны случаи, когда цепь подключается к источнику постоянного напряжения или к источнику переменного напряжения, в частности,  синусоидального напряжения, или цепь  образует замкнутый контур без источников, но емкость к моменту коммутации была заряжена. Составленный по второму закону Кирхгофа дифференциальных уравнений для каждого из названных случаев имеет решение в форме ( 5.3), где первое слагаемое выражает принужденный режим, задаваемый видом функции в правой части, а второе выражает свободный режим в цепи при отсутствии внешних источников. Именно здесь и проявляется отличие рассматриваемой цепи, состоящее в том, что наличие в ней одновременно двух реактивностей разных знаков приводит к появлению квадратного характеристического уравнения и двух его корней p₁ и p₂. Теперь переходное напряжение на емкости равно

Две постоянные интегрирования A1 и A2 определяться  из двух начальных условий в сочетании с двумя законами коммутации. Так, если непосредственно перед коммутацией заданы uc(0-)  и iL(0-)  т.е. начальные условия, то выполнение законов коммутации приводит к равенствам

                                   (5.35)

                              (5.36)

где uС_пр(0+) и iL_пр(0+) - принужденные значения  для момента времени непосредственно после коммутации. Когда они известны, так же как начальные условия uС_пр(0-) и iL_пр(0-) и корни p₁ и p₂ можно найти напряжения A₁ и A₂ и завершить решения (5.33) и (5.34). Проиллюстрируем все вышеизложенное на случае разряда емкости на цепь r, L (рис 5.11).

  Рис 5.11

Отсутствие источников питания означает, что в цепи для послекоммутационного периода (tі0) имеет место свободный режим и по второму закону Кирхгофа можно установить, что

Для решения этого дифференциального уравнения составим характеристической многочлен

Характер свободного режимам будет определяться видом корней этого уравнения, т.е. только параметрами цепи r, L, C.  Так как эти корни определяться формулой

то характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения.

Рассмотри возможных три случая.

Случай 1

Пусть d>w0, тогда согласно (5.40) корни характеристического уравнения p₁ и p₂ - отрицательные действительные числа, что делает свободный процесс обязательно затухающим.

Так как при разряде емкости принужденные напряжения и токи равны нулю, то полные их значения, как это следует из (5.33) и (5.34) будут равны свободным  uC=uC_св , i=i_св. Из начальных условий определяем значения постоянных интегрирования: при t=0, uC(0-)=U0 и i(0-)=0. Воспользовавшись равенством (5.35) и (5.36) получим

Кривые изменения напряжений на емкости и на индуктивности, тока и их составляющих приведены на рис 5.12

                                   Рис 5.12  а)                                            Рис 5.12  б) 

Случай 2

Пусть d=w0, тогда корни характеристического уравнения станут одинаковыми p=p₁=p₂ и общее решение уравнения (5.38) дается в этом случае формулой

Подставляя значения A₁ и A₂ в формулы (5.44) и (5.45) найдем ток и напряжение на емкости

Определяем также напряжение на индуктивности

Кривые изменения i, uL, uC по форме не отличаться от  приведенных на рис 5.12

                          Рис 5.12  а)                               Рис 5.12  б)        

Случай 3

Если d<w0, то корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные, а решение уравнения (5.38) при  комплексных корнях его характеристического уравнения может быть записано в виде

где A и X - постоянные интегрирования

так как начальные условия такие же как в двух предыдущих случаях, то по формулам (5.49) получим

Ещё посмотрите лекцию "Контрольные вопросы к экзамену" по этой теме.

подставляя значения A, X из (5.50) в уравнения (5.49) после некоторых преобразований получаем

Кривые изменений uc, i показаны на рис 5.13

 Рис 5.13

Основываясь на этих материалах можно рекомендовать обучающимся самостоятельно рассмотреть случаи  выключения цепи r, L, C к источнику постоянного или переменного напряжения.