Криволинейные координаты на поверхности
Криволинейные координаты на поверхности
Положение любой точки в пространстве определяется ее радиусом-вектором:
где x, y, z – декартовы координаты.
Уравнение поверхности может иметь разные формы, например:
В любом случае одна из независимых переменных x, y, z может быть исключена. Этот же результат можно получить, задав зависимость этих трех переменных от двух параметров, например
Тогда для любой точки на поверхности ее радиус-вектор будет
Рекомендуемые материалы
Любая пара значений параметров 
определит некоторую точку на поверхности. Эти параметры называем далее координатами точки. Если один из параметров зафиксировать, тогда при изменении другого точка начнет перемещаться по поверхности, описывая некоторую линию на ней. Например, зафиксировав 
получим линию
вдоль которой меняется лишь величина 
; эта линия называется координатной.
Величины называются криволинейными координатами поверхности. Их набор образует так называемую координатную сеть.
Координатная сеть называется правильной, если каждая линия одного семейства пересекает любую линию другого семейства один раз.
Если эти пересечения происходят под прямым углом, сеть называется ортогональной.
Конкретный смысл параметров – криволинейных координат – может быть различным. Например, для цилиндрической поверхности в качестве координат в одном случае могут приниматься линейные величины, а в другом одна быть линейной, вторая – угловой.
Примеры сетей:
- на поверхности цилиндра вдоль образующей и направляющей два семейства, сеть ортогональная и правильная;
- на поверхности сферы набор параллелей и меридианов, сеть ортогональная и правильная за исключением особых точек – полюсов;
- на пологой поверхности параметрами могут служить либо декартовы координаты соответствующих точек плана (плоскости), либо полярные координаты.
Далее рассматриваются гладкие поверхности, для которых в любой точке касательная к поверхности в любом направлении поворачивается непрерывно.
Пусть при 
параметр 
увеличивается, тогда частная производная от радиуса-вектора имеет смысл касательного к координатной кривой вектора:
Аналогично можно построить и вектор, касательный к другой координатной линии. Плоскость, построенная на этих векторах, является касательной к поверхности плоскостью.
Вектор, нормальный к поверхности, определяется как векторное произведение:
а соответствующий единичный вектор (орт нормали) получается тогда в виде
Пусть α – угол между координатными линиями. Тогда из определения скалярного произведения следует
Обратите внимание на лекцию "Структура и свойства дубильных веществ".
где 
С применением основного тригонометрического тождества получим
С учетом этих выражений единичный вектор нормали будет
