Механика абсолютно твёрдого тела. Кинематика абсолютно твёрдого тела

Механика абсолютно твёрдого тела. Кинематика абсолютно твёрдого тела

До сих пор мы изучали тела, размерами которых можно пренебречь. Но это возможно не всегда. Любое тело можно представить как совокупность большого количества материальных точек. Если расстояние между этими материальными точками при движении тела - постоянная величина, то тело называется абсолютно твёрдым телом (АТТ). Размеры и форма тела остаются неизменными при всевозможных внешних воздействиях. Абсолютно твёрдых тел в Природе не существует, однако во многих случаях, когда деформации тел малы, и ими можно пренебречь, реальное тело может рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для задачи. Понятие АТТ – нерелятивистское, так как размеры релятивистских тел меняются при движении. Для описания движения АТТ нужно рассмотреть движение каждой точки тела.

Положение одной точки в пространстве задаётся тремя координатами: {x,y,z} или г,Q,j (г – радиус-вектор,Q - полярный угол, j - азимутальный угол), либо тремя другими величинами. Эти величины называются обобщёнными координатами (степенями свободы). Одна материальная точка имеет три степени свободы. Две точки имеют 6 степеней свободы. Если две точки связаны между собой, то их положение задаётся пятью координатами. Если три точки связаны между собой, то всего координат 9, связей 3, значит степеней свободы 6.

АТТ имеет 6 независимых общих координат. Их можно задавать различными способами в зависимости от обстоятельств. Число степеней свободы – число независимых координат АТТ, определяющих положение механической системы.

Для того чтобы описать движение твёрдого тела, достаточно описать движение 3 точек тела. Число степеней свободы АТТ может быть меньше 6, если накладывается ограничение на движение АТТ.

Рассмотрим основные  типы движения АТТ.

1. Поступательное.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Рекомендуемые материалы

Все точки движутся по одинаковым траекториям. При этом движении любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. Поступательно движется, например, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания или ящик письменного стола, когда его выдвигают. Поступательное движение АТТ может быть охарактеризовано движением какой-либо одной его точки, например, движением центра масс.

    В этом случае достаточно определить движение 3 точек плоскости.

Свойства

1) Все точки твердого тела описывают одинаковые траектории;

2) Скорости всех точек АТТ одинаковы;

3) Ускорение всех точек одинаково

Перемещения всех точек одинаковы, значит, достаточно задать перемещение одной точки тела, и тело при поступательном движении тело имеет 3 степени свободы.

2. Вращательное движение.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

При вращательном движении 2 точки тела остаются неподвижными, прямая, проходящая через эти 2 точки, называется осью вращения.

Если 2 точки АТТ закрепить на одной оси, которая будет неподвижна, а третью точку заставить вращаться вокруг этой оси, то будет меняться угол поворота радиуса, т.е., одна степень свободы. В этом случае скорость относительно выбранной оси равна:

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на оси вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела или за его пределами. Для кинематического описания вращательного движения АТТ вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности.

При вращательном движении АТТ вокруг неподвижной оси за промежуток времени Dt углы поворота радиус-векторов различных точек тела одинаковы. Угол поворота Dj, средняя скорость wср  и мгновенная w угловые скорости характеризуют вращательное движение всего АТТ в целом.

При равномерном вращательном движении АТТ углы поворота тела за любые промежутки времени одинаковы  и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости. Тангенциальные ускорения аt у различных точек АТТ отсутствуют , а нормальное ускорение аn какой-либо точки тела зависит от её расстояния R до оси вращения:

                                  

Вектор а_n  направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.

При неравномерном вращательном движении АТТ углы поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая скорость тела с течением времени изменяется.

Средним угловым ускорением e_ср в промежутке времени Dt=w2-w1 вращающегося тела за промежуток времени Dt к длительности этого промежутка:

Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени изменяется одинаково, то среднее угловое ускорение – постоянная величина (равнопеременное вращение).

угловым ускорением вращающегося тела в момент времени t называется величина e, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до Dt+t при бесконечном уменьшении Dt.

3. Тело вращается вокруг оси, имеющую неподвижную точку О, причём положение оси в пространстве может меняться. Движение АТТ в общем случае является сложным.

Выделим в АТТ некоторую точку О и свяжем с ней некоторую систему координат. В ней одна точка неподвижна. По теореме Эйлера движение АТТ с одной неподвижной точкой можно представить как вращение данного тела вокруг оси, проходящей через эту точку. Положение  этой оси в пространстве и в теле может непрерывно меняться. Поэтому она называется мгновенной осью вращения

Любые две точки тела можно представить как сумму поступательного движения и вращательного движения вокруг мгновенной оси.

Пример: колесо катится по поверхности, связанной с Землей.

Мгновенная ось перпендикулярна плоскости чертежа и сама ось двигается вместе с колесом (1-ось вращения) но направление неизменно. Таким образом, можно выбрать ось и в другом месте. В этом случае положение мгновенной оси относительно колеса меняется. Зависит ли скорость углового вращения от выбора неподвижной точки тела? Точка О неподвижна, А – произвольная точка тела. Выберем О’ и будем рассматривать относительно О. угловая скорость не зависит от выбора мгновенной оси.

Существуют случаи, когда тело участвует в двух или более вращения вокруг различных осей. Например, Земля (вокруг оси и вокруг Солнца), движение машины (колесо).

Рассмотрим случай. Когда тело участвует в двух вращениях. Их можно представить  как вращение вокруг некоторой оси и вращение самой оси.  

4. Плоскопараллельное.

При нём каждая точка тела движется так, что  постоянно находится в одной плоскости. Плоскопараллельное движение АТТ – сумма поступательного и вращательного движения. При этом

                                                                                                     

Обратите внимание на лекцию "6.1 Необходимость и значение Генерального межевания".

где  - скорость любой точки АТТ,

        - скорость поступательного движения АТТ,

        - скорость вращательного движения относительно центра масс.

Для АТТ w=const, то есть инвариантная величина

М – мгновенная ось вращения (ось, которая движется вместе с телом со скоростью поступательного движения). Относительно этой оси все точки АТТ будут иметь только вращательную скорость, то есть, , где  - радиус точки относительно оси вращения.

Замечание:  мгновенная ось вращения может быть в любой точке пространства (в зависимости от характера движении), т.к. для неё скорость центра масс равна по модулю и противоположна по знаку скорости вращательного движения.