Плоское напряженное состояние
Лекция № 7. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид
Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х=const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны 
, а характеристическое уравнение принимает вид
Корни этого уравнения равны
|
| (1) |
Нумерация корней произведена для случая 
Рекомендуемые материалы
Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.
Рис.2. Позиция главных напряжений
Произвольная площадка характеризуется углом 
на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: 
, 
, nх=0. Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:
|
| (2) |
|
| (3) |
Так как на главных площадках касательное напряжение отсутствует, то, приравнивая нулю выражение (3), получим уравнение для определения угла между нормалью п и осью Оу
|
| (4) |
Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через 
. Так как tg(х)—периодическая функция с периодом 
, то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и 
с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).
Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.
Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения
,
откуда получим
|
| (5) |
Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что
Это равенство возможно, если углы 
и 
отличаются на угол 
. Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол 
(рис. 3).
Рис.3. Экстремальность касательных напряжений
Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул
.
После некоторых преобразований получим
Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения
Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с 
Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.
Рис.4. Плоская деформация.
По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна
Из рис. 4 следует
Учитывая, что MN=dx, получим
В случае малых деформаций, когда 
, 
, можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения
справедливого при x<<1, окончательно для малой деформации получим
Угловая деформация 
определяется как сумма углов и 
(4). В случае малых деформаций
Для угловой деформации 
имеем
Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений
|
| (6) |
связывающих линейные и угловые деформации с перемещениями. Эти соотношения носят название соотношений Коши.
Три линейных и шесть угловых деформаций (6) образуют тензор малых деформаций
|
| (7) |
Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.
Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры
(рис. 4), а его объем будет равен
.
Рекомендация для Вас - История медиа в постсоветской России.
Относительное изменение объема
в пределах малых деформаций составит
что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат.
Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема.
