Магнитный и механический момент электрона

§ 5.3.  Магнитный и механический момент электрона.

Движение электрона вокруг ядра эквивалентно круговому току. Магнитный момент тока определяется по известной формуле: , где  – ток, протекающий по контуру, а  – площадь контура. В случае электрона , где  – заряд электрона, а  – период его обращения вокруг ядра. Таким образом, , здесь  – площадь, охватываемая орбитой электрона. Как уже было сказано выше, электрон движется в поле центральных сил. В поле центральных сил момент импульса является интегралом движения1. Поэтому в полярной системе координат: . Пусть начало координат совпадает с ядром. Площадь орбиты электрона есть: . Из предыдущей формулы найдём : . Тогда: ; . Тогда магнитный момент электрона: , . Для положительно заряженной частицы вектора  и  коллинеарны. В общем же случае: . Применительно же к электрону, , . Таким образом, мы получили связь между магнитным и механическим моментом электрона. Совершим некоторые преобразования. Умножим последнюю формулу на дробь . Получим: . Введём следующее обозначение: . Величину  называют магнетоном Бора. Тогда последняя формула перепишется так: . В системе СИ . По аналогии квантово-механический магнитный момент связан с квантово-механическим орбитальным моментом таким же соотношением: .  Найдём   выражение для  проекции  магнитного

момента на какую-либо ось, например, на ось : , где  – проекция орбитального момента на заданное направление. Так как  может принимать только  значение: , то существует  способа ориентации магнитного момента. Так как в сферически симметричной системе координат в качестве оси  можно выбрать любую, то и полученное соотношение будет справедливо для проекции магнитного момента на любую ось.

Рассмотрим углы, которые образует орбитальный момент с осью . . Максимальное значение, которое может принимать орбитальное квантовое число – , поэтому , так как  – величина положительная. Таким образом, квантово-механический орбитальный момент никогда не может быть сонаправленым с осью, относительно которой он рассматривается. Вообще говоря, он не может быть ориентирован строго по какой-либо определённой оси. Причём  может принимать только различные дискретные значения, в зависимости от . Эта дискретность в ориентации момента импульса называется пространственным квантованием.

Отношение  модуля магнитного момента к модулю механического момента, выраженное в единицах , называется гиромагнитным отношением: . Очевидно, что для орбитального и магнитного и механического моментов электрона гиромагнитное соотношение равно единице, т. е. . Для собственного магнитного момента электрона, обусловленного наличием спина: . Тогда гиромагнитное отношение для  спинового магнитного момента и механического момента .

Итак, электрон обладает в атоме четырьмя моментами:

1. Механическим (орбитальным и спиновым);

2. Магнитным (орбитальным и спиновым).

Рекомендуемые материалы

Полный механический момент импульса электрона является векторной суммой орбитального механического момента и спинового механического момента: . Так как модули каждого момента всегда квантуются: , то и их сумма должна квантоваться: , где  – квантовое число  полного механического момента электрона. Найдём его. Рассмотрим значения проекций на ось :  –  значение; .  Тогда ; , где   –  значение.  Так  как  ,

В лекции "Наблюдение сущность и порядок проведения" также много полезной информации.

то тогда . Определим угол между орбитальным и спиновым моментами электрона. Так как , то, возводя это выражение в квадрат, получим: . Отсюда , или . Так как возможно лишь  – 2 состояния, то существует 2 возможных угла между орбитальным и спиновым моментами. Так как направление момента относительно любой оси не определено, то возникает вопрос, что же понимать под углом между этими моментами? Смысл данного угла в том, что в отсутствии внешних сил полный момент импульса сохраняется, орбитальный и спиновой моменты прецессируют вокруг полного момента, а их проекции на направление полного момента имеют вполне определённые значения (рис. 53).

Полный магнитный момент электрона равен сумме векторов орбитального магнитного момента и спинового магнитного момента: . Так как . Таким образом, гиромагнитное отношения для механических и магнитных моментов различны. Поэтому полный механический и полный магнитный момент не коллинеарны.

1 См. лекции по теоретической механике под редакцией Ерыкалина А. В.