Математическая психология

Вопрос 3. Математическая психология

3.1. Введение

Математическая психология — это раз­дел теоретической психологии, использую­щий для построения теорий и моделей математический аппарат.

«В рамках математической психологии должен осуществляться принцип абстракт­но-аналитического исследования, в кото­ром изучается не конкретное содержание субъективных моделей действительности, а общие формы и закономерности психи­ческой деятельности» [Крылов, 1995].

Объект математической психологии: естественные системы, обладающие пси­хическими свойствами; содержательные психологические теории и математические модели таких систем. Предмет — разра­ботка и применение формального аппарата для адекватного моделирования систем, обладающих психическими свойствами. Метод — математическое моделирование.

Процесс математизации психологии начался с момента ее выделения в экспе­риментальную дисциплину. Этот процесс проходит ряд этапов.

Первый — применение математических методов для анализа и обработки резуль­татов экспериментального исследования, а также выведение простых законов (конец XIX в. — начало XX в.). Это время разра­ботки закона научения, психофизического закона, метода факторного анализа.

Рекомендуемые материалы

Второй (40-50-е гг.) — создание моде­лей психических процессов и поведения человека с использованием ранее разрабо­танного математического аппарата.

Третий (60-е гг. по настоящее время) — выделение математической психологии в отдельную дисциплину, основная цель которой — разработка математического аппарата для моделирования психических процессов и анализа данных психологи­ческого эксперимента.

Четвертый этап еще не наступил. Этот период должен характеризоваться станов­лением психологии теоретической и отми­ранием — математической.

Часто математическую психологию отождествляют с математическими мето­дами, что является ошибочным. Математическая психология и математические методы соотносятся друг с другом так же, как теоретическая и экспериментальная психология.

3.2. История развития

Термин «математическая психология» стал применяться с появлением в 1963 г. в США «Руководства по математической психологии» [Handbook, 1963]. В эти же годы здесь начинает издаваться журнал «Journal of Mathematical Psychology».

Проведенный в лаборатории математи­ческой психологии ИП РАН анализ работ позволил выделить основные тенденции развития математической психологии.

В 60—70-е гг. получили широкое рас­пространение работы по моделированию обучения, памяти, обнаружения сигналов, поведения, принятия решений. Для их разработки использовался математический аппарат вероятностных процессов, теории игр, теории полезности и др. Было завер­шено создание математической теории обучения. Наиболее известны модели Р. Буша, Ф. Мостеллера, Г. Бауэра, В. Эс-теса, Р. Аткинсона. (В последующие годы наблюдается снижение количества работ по данной проблематике.) Появляется множество математических моделей по психофизике, например С. Стивенса, Д. Экмана, Ю. Забродина, Дж. Светса, Д. Грина, М. Михайлевской, Р. Льюса (см. разд. 3.1). В работах по моделированию группового и индивидуального поведения, в том числе в ситуации неопределенности, использовались теории полезности, игр, риска и стохастические процессы. Это модели Дж. Неймана, М. Цетлина, В. Кры­лова, А. Тверского, Р. Льюса. В рассматри­ваемый период создавались глобальные математические модели основных психи­ческих процессов.

В период до 80-х гг. появляются пер­вые работы по психологическим измере­ниям: осуществляется разработка методов факторного анализа, аксиоматики и мо­делей измерения, предлагаются различные классификации шкал, ведется работа над созданием методов классификации и гео­метрического   представления   данных,

строятся модели, основанные на лингвис­тической переменной (Л. Заде).

В 80-е гг. особое внимание уделяется уточнению и развитию моделей, связан­ных с разработкой аксиоматики различных теорий.

В психофизике это: современная теория обнаружения сигналов (Д. Свете, Д. Грин), структуры сенсорных прост­ранств (Ю. Забродин, Ч. Измайлов), слу­чайных блужданий (Р. Льюс, 1986), разли­чения Линка и др.

В области моделирова­ния группового и индивидуального поведения: модель решения и действия в психомотор­ных актах (Г. Коренев, 1980), модель це­ленаправленной системы (Г. Коренев), «деревья» предпочтения А. Тверского, мо­дели системы знаний (Дж. Грино), веро­ятностная модель научения (А. Дрынков, 1985), модель поведения в диадном взаи­модействии (Т. Савченко, 1986) моделиро­вание процессов поиска и извлечения ин­формации из памяти (Р. Шифрин, 1974), моделирование стратегий принятия реше­ний в процессе обучения (В. Венда, 1982) и др.

В теории измерения:

•        множество моделей многомерного шкалирования (МШ), в которых просле­живается тенденция к снижению точности описания сложных систем — модели пред­почтения, неметрическое шкалирование, шкалирование в псевдоевклидовом прост­ранстве, МШ на «размытых» множествах (Р. Шепард, К. Кумбс, Д. Краскал, В. Кры­лов, Г Головина, А. Дрынков);

• модели классификации: иерархичес­кие, дендритные, на «размытых» множест­вах (А. Дрынков, Т. Савченко, В. Плюта);

• модели конфирматорного анализа, позволяющие формировать культуру про­ведения экспериментального исследова­ния;

• применение математичеекого моде­лирования в психодиагностике (А. Анастази, П. Клайн, Д. Кендалл, В. Дружинин)

В 90-х гг. глобальные математические модели психических процессов практичес­ки не разрабатываются, однако значительно возрастает количество работ по уточнению и дополнению существующих моделей, продолжает интенсивно развиваться тео­рия измерений, теория конструирования тестов; разрабатываются новые шкалы, более адеквантые реальности (Д. Льюс, П. Саппес, А. Тверски, А. Марли); широко внедряется в психологию синергетический подход к моделированию.

Если в 70-е гг. работы по математичес­кой психологии в основном появлялись в США, то в 80-е наблюдается бурный рост ее развития в России, в настоящее время, к сожалению, заметно снизившийся из-за недостаточного финансирования фунда­ментальной науки.

Наиболее значимые модели появились в 70-е-начале 80-х гг., далее они дополня­лись и уточнялись. В 80-е гг. интенсивно развивалась теория измерений. Эта работа продолжается и сегодня. Особенно важно, что многие методы многомерного анализа получили широкое применение в экспе­риментальных исследованиях; появляется множество специально ориентированных на психологов программ анализа данных психологического тестирования.

В США большое внимание уделяется чисто математическим вопросам модели­рования. В России же, наоборот, матема­тические модели зачастую не обладают достаточной строгостью, что приводит к неадекватному описанию реальности.

Математические модели в психологии. В математической психологии принято выделять два направления: математичес­кие модели и математические методы. Мы нарушили эту традицию, так как считаем, что нет необходимости выделять отдельно методы анализа данных психологического эксперимента. Они являются средством построения моделей: классификации, ла­тентных структур, семантических прост­ранств и др.

3.3. Психологические измерения

В основе применения математических методов и моделей в любой науке лежит измерение. В психологии объектами изме­рения являются свойства системы психики или ее подсистем, таких, как восприятие, память, направленность личности, способ­ности и т.д. Измерение — это приписы­вание объектам числовых значений, отражающих меру наличия свойства у дан­ного объекта.

Назовем три важнейших свойства пси­хологических измерений.

1.       Существование семейства шкал, допускающих различные группы преобра­зований.

2. Сильное влияние процедуры изме­рения на значение измеряемой величины.

3. Многомерность измеряемых психо­логических величин, т. е. существенная их зависимость от большого числа парамет­ров.

В психологических измерениях исполь­зуются различные классификации типов шкал. Тип шкалы определяется природой измеряемой величины.

Общая концепция измерения впервые была в достаточно развитом виде сформу­лирована Д. Скоттом и П. Суппесом. Даль­нейшее развитие она получила в работах П. Суппеса и Дж. Зиннеса, Д. Льюса и Е. Галантера и др. В последнее время об­щая теория измерений интенсивно разви­вается И. Пфанцаглем, а также Д. Льюсом и Л. Неренсом. В этой концепции широко используется понятие реляционной сис­темы (системы с отношениями), введенное А. Тверским.

С. Стивенс пытался создать свою сис­тему шкальных типов, основываясь на понятиях эмпирической операции и ма­тематической структуры. Он различает четыре вида шкал: наименований, поряд­ка, интервалов и отношений.

Типы шкал обусловливаются видом функции f, осуществляющей допустимые преобразования ψ = f (φ).

*Если f — моно­тонная функция, то соответствующая шка­ла является шкалой порядка;

*если f — ли­нейная функция, то соответствующая шкала — это шкала интервалов;

*если f оп­ределяет преобразование подобия, то со­ответствующая шкала — шкала отноше­ний.

К. Кумбс расширяет классификацию Стивенса введением шкал, частично упо­рядоченных и сложных (комбинированных из двух частей: объектов и расстояний). Он различает три основных типа неметричес­ких шкал и девять типов сложных, однако если рассматривать лишь сами объекты, то комбинированные шкалы тождественны номинальным.

Классификация Торгенсона, как и Кумбса, опирается на предположение о том, что шкальные типы следует тракто­вать как формальные математические модели. Его классификация включает следующие типы шкал: порядковые — без начала отсчета и с началом отсчета, ин­тервальные — без начала отсчета и с нача­лом отсчета.

Суппес и Зиннес переосмыслили тео­рию классификации Стивенса в терминах классов числового приписывания: для дифференциации шкал существенны лишь свойства числовых приписываний с точки зрения допустимых преобразований, но никак не эмпирические операции. К. Берка (1987) считает, что вполне достаточно различать метрические и неметрические типы шкал, которые представляют два эмпирико-математических метода шкали­рования и измерения. Таким образом, ин­тервальную шкалу можно трактовать как специфический вариант шкалы порядка, т. е. шкалы неметрического типа.

Американские авторы в публикациях 90-х гг. (см. журнал «Journal of Mathematical Psychology») описывают множество работ по применению теории измерений к раз­работке шкал для ранжирования и выбора альтернатив (В. Malakooty,1991), для из­мерения нетранзитивного аддитивного объединения (P. Fishburn, 1991) и экспе­риментов с использованием попарного сравнения по шкалам отношений (I. Basak, 1992). Полемика вокруг основ измерений не прекращается.

Анализ существующих методов прямых оценок различия показал, что шкалы, с которыми работает испытуемый, не соот­ветствуют природе психологического ме­ханизма, лежащего в основе оценивания. Поэтому был предложен подход, основан­ный на «нечетких» множествах (Л. Заде, 1974). Суть его в том , что используются так называемые «лингвистические» пере­менные вместо числовых переменных или в дополнение к ним; отношения между переменными описываются «нечеткими» («размытыми») высказываниями, а слож­ные отношения описываются «нечеткими» алгоритмами.

Первая — создание теории однородных сред, элементами которых являются уст­ройства, подобные нейронам.

Вторая — компьютерная графика, помогающая решать задачи с помощью актуализации образного мышления. Когнитивная интерактивная компьютерная графика является средством воздействия на правополушарное мышле­ние человека в процессе научного твор­чества.

Третья — специалисты различных направлений в области ИИ считают важ­ным развитие работ, касающихся представ­лений знаний и манипулирования ими (экспертные системы).

4.4.Нетрадиционные методы моделирования

Моделирование на «размытых» множествах

Бесплатная лекция: "Динамическое программирование" также доступна.

Нетрадиционный подход к моделиро­ванию связан с приписыванием элементу некоторой числовой оценки, которая не может объясняться объективной или субъ­ективной вероятностью, а трактуется как степень принадлежности элемента к тому или иному множеству. Множество таких элементов называется «нечетким», или «размытым» множеством.

Каждое слово х естественного языка можно рассматривать как сжатое описа­ние нечеткого подмножества М(х) полного множества области рассуждений U, где М(х) есть значение х. В этом смысле весь язык как целое рассматривается в качестве системы, в соответствии с которой нечет­ким подмножествам множества U припи­сываются элементарные или составные символы (т. е. слова, группы слов и пред­ложения). Так, цвет объекта как некото­рую переменную, значения этой переменной (красный, синий, желтый, зеленый и т. д.) можно интерпретировать как символы нечетких подмножеств полного множества всех объектов. В этом смысле цвет явля­ется нечеткой переменной, т. е. перемен­ной, значениями которой являются сим­волы нечетких множеств. Если значения переменных — это предложения в неко­тором специальном языке, то в данном случае соответствующие переменные на­зываются лингвистическими (Л. Заде, Ю. Шрейдер).

Синергетика в психологии

Еще одна альтернатива традиционному математическому аппарату — синергетический подход, в котором математическая идеализация проявляется чувствительностью к начальным условиям и непредсказуе­мостью исхода для системы. Поведение можно описать с помощью апериодических и поэтому непредсказуемых временных ря­дов, не ограничиваясь при моделировании стохастическими процессами. Беспорядок в обществе может предшествовать появ­лению новой структуры, в то время как стохастические системы имеют низкую вероятность порождения интересных структур. Именно апериодические реше­ния детерминированных уравнений, опи­сывающих самоорганизующиеся структу­ры, помогут прийти к пониманию психо­логических механизмов самоорганизации (Фриман, 1992). В этих работах разум рас­сматривается как «странный аттрактор», управляемый уравнением сознания. Мате­матически «странный аттрактор» — это множество точек, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов.

В основе большинства традиционных моделей психотерапии лежит концепция равновесия. Согласно синергетическому подходу, разум является нелинейной сис­темой, которая при далеких от равновесия условиях превращается в части сложных аттракторов, а равновесие — лишь пре­дельный случай. Этот тезис развивают тео­ретики психотерапии, выбирая тот или иной аспект теории хаоса. Так, например, выделяется феномен хаотического в психо­физиологической саморегуляции (Step­hen, Franes, 1992) и обнаруживаются ат­тракторы в паттернах семейного взаимо­действия (L. Chamber, 1991).