Стационарное течение в соплах Лаваля

Стационарное течение в соплах Лаваля.

Площадь осесимметричного канала y(x) = pr²(x)

Закон сохранения массы можно записать в таком виде (без производных по времени):

                                          rUy(x) = const – расход

 - сохранение расхода

                                                - сохранение импульса

                                    

 - запишем дифференциальные уравнения относительно числа Маха.

,       тогда

Рекомендуемые материалы

                                              

Þ          отсюда находим M’.

                            (*)

Качественный анализ этого выражения:

                в газодинамическом течении характеристики скорости: U, U+a₁, U – a. Поделим это выражение. В этом уравнении в знаменателе стоит произведение характеристик скоростей. Так для всех уравнений механики сплошных сред в стационарном случае.

Рассмотрим дозвуковое течение M<1:

Пусть канал сужается, тогда M будет расти ((y’<0) и (M² – 1) < 0). Сечение, в котором y’ = 0 называется горлом канала. Если канал расширяется (y’>0, M² – 1<0 ), то М будет падать.

· Рассмотрим звуковое течение, M > 1:

–   Пусть канал сужается (y’<0, M² – 1>0 ), тогда  М будет падать. Минимальное значение – в горле канала.

– Пусть канал расширяется (y’>0, M > 1 ), тогда  М будет  возрастать.

– В ГОРЛЕ:

M < 1,  M = max

M > 1,  M = min

                Когда  M = 1, то возникает особенность с М² – 1, дальше решение продолжить не можем. Если одновременно с М = 1взять у’ = 0, то особенность устраняется и это единственный случай решения при М = 1.

                Рассмотрим дифференциальное уравнение:

                                                                                

                                                                             

                               , тогда всё наоборот.

                Выделяем окрестности особой точки (x*,z*), разлагаем в ряд P и Q:

 

                Тогда                    .

Так как , то получаем очень простое уравнение в окрестностях особой точки

                                                 - переобозначим: 

                - можно рассмотреть как систему уравнений :

                 - автономная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

                                               Составляется характеристическое уравнение:

                                                                              AD – (B – l)(C – l) = 0

1)

l₁ и l₂ – действительные числа одного знака, тогда особая точка называется узлом:

2)

l₁ и l₂ – действительные числа разного знака, возникающая особая точка называется седлом:

3)

l₁ и l₂ – действительные числа, тогда особая точка называется вырожденным узлом:

4)

l₁ и l₂ – комплексно-сопряженные числа, тогда особая точка называется фокус:

Если записать (*) в окрестности особой точки:

                ,                DМ = М – 1,   Dx = x – x*.

Определяем характер особой точки.

Нужны l.

Составим характеристическое уравнение.

1) y’’ (x*) >0, тогда l₁ и l₂ – действительные числа разных знаков (седло).

2)

y’’(x*) < 0, тогда l₁ и l₂ – линейные числа (центр).

Þ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ  ДЛЯ (*):   

Дозвук – ниже обеих сепаратрис, сверхзвук – выше.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ могут быть:      

ДОЗВУК  – слева   при x = 0    p₀, T₀ – параметры торможения

при x = x , P = p_¥.

 СВЕЗХЗВУК – слева Р₀, Т₀, М.

                Вдоль сепаратрисы AOB можно разогнаться до сверхзвука на выходе.

Вдоль AOC – торможение до М = 1 и далее.

AOB, AOD, COD, COB – четыре решения в особой точке.

Люди также интересуются этой лекцией: 4.2. Защита информации в глобальной сети Internet.

            Г.У. для AOB: добавляем условие в x = x*   M = 1.

Течение внутри сепаратрис можно интерпретировать как течение по сужающимся или расширяющимся каналам:

 

‚

Центр

Допустим канал такой формы: