Особенности движения идеальной несжимаемой жидкости

Особенности движения идеальной несжимаемой жидкости

         11.1 Особенности движения жидкой частицы

         В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший пример сплошной среды, для описания общего случая движения пользуются разложением на две составляющие: поступательную вместе с произвольно выбранной точкой - "полюсом" и вращательную вокруг мгновенной оси, проведенной через полюс.

         Движение жидкости значительно сложнее, поскольку частица жидкости кроме указанных перемещений может деформироваться. Исследуем составляющие движения жидкой частицы сначала для плоского движения в плоскости [x, y], обозначив составляющие вектора скорости полюса М_о через w_ox, w_oy (для плоского течения w_oz = 0). Чтобы выделить составляющие движения, разложим проекции скорости близкой к полюсу точки М в ряд, ограничившись малыми первого порядка

         w_x = w_ox +  (x - x_o) +  (y - y_o);

        w_y = w_oy+ (x- x_o) +  (y - y_o).               (11.1)

Используя тождества

          =  ( + ) +   ( - ),

         =  ( + ) +  ( - ),

Рекомендуемые материалы

выражения (11.1) для проекций w_x и w_y можно представить в виде:

         w_x = w_ox - w_z Dy + S_xx Dx + S_xy Dy,

         w_y = w_oy + w_z Dx + S_yx Dx + S_yy Dy,                                 (11.2)

где    w_z =  ( - )  -                                                         (11.3)

         угловая скорость вращения w_z частицы в плоскости [x, y], а индекс z означает, что вектор w имеет проекцию на ось z; Dx =(x-x_o); Dy = (y - y_o).

         - величины, определяющие деформацию жидкой частицы.

         Для большей наглядности рассмотрим жидкую частицу в форме квадрата с полюсом M_о (см. рисунок 11.1), которая за время Dt переместилась в положение с полюсом М¹_о, приняв форму ромба.

         Вращение жидкого квадрата вокруг полюса Мо обусловлено вращением ребер М_оМ₁  и М_оМ₂:

         w_мом1 =

         w_мом2 =

Рисунок 11.1 - Движение жидкой частицы ("квадрата")

         Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит против часовой стрелки.  В данном случае w_мом1 > 0;

w_мoм2 < 0.

        По предложению Гельмгольца за угловую скорость жидкой частицы принимается средняя величина угловой скорости ребер w_мом1 и  w_мoм2  с учетом знаков:

         w_z =  ( - ),

что совпадает с вышеприведенной величиной (11.3).

         Деформация  жидкой частицы может быть двоякого рода.

         Во-первых, это деформация растяжения - сжатия, характеризующая удлинение  или сжатие сторон исходной квадратной частицы.  Такое удлинение определяется изменениями соответствующих компонент скорости по одноименным осям (см. первые два равенства (11.4)):

         S_xx = ,           S_yy = .

         Во - вторых, возможна деформация скоса ребер квадратной частицы, т. е. заострение или затупление  исходных углов. Такая деформация (последнее выражение (11.4)) определяется поперечной изменчивостью скоростей течения или средним арифметическим из угловых скоростей (встречного или противоположного)  вращения ребер w_мом1 и  w_мoм2   относительно оси z, перпендикулярной плоскости x,y (см. рисунок 11.1):

         S_xy = S_yx =  ( + ).

         Изложенное составляет содержание теоремы Гельмгольца: скорость жидкой частицы w складывается из скорости движения полюса w_o, скорости вращательного движения w_вр вокруг оси, проходящей через полюс - это так называемая квазитвердая  составляющая  движения, и скорости w_деф деформационного движения , состоящего в свою очередь из линейной деформации растяжения-сжатия и угловой деформации скашивания ребер частицы:

         w = w_o + w_вр + w_деф = w_кт + w_деф.                                        (11.5)

Здесь квазитвердая составляющая ("кт") в проекциях на оси координат:

         w_ктx = w_ox - w_z Dy,

        w_ктy = w_oy + w_z Dx.                                                          (11.6)

Деформационная ("деф") составляющая  - специфическая для жидкости:

         w_дефx = S_xx Dx + S_xy Dy,

        w_дефy = S_yy Dy + S_xy Dx.                                                    (11.7)

         Теорема Гельмгольца справедлива и для пространственного движения. При этом появляются новые члены, характеризующие вращение

         w_x =  ( - ),

        w_y =  ( - ),

        w_z =  ( - ),

и деформации

         S_xx = ,              S_yy = ,              S_zz = ,

        S_xy = S_yx =  ( + ),

        S_xz = S_zx =  ( + ),

        S_yz = S_zy =  ( + ).

         Совокупность этих величин образует тензор скоростей деформации

который  обладает симметрией S_ik = S_ki относительно главной диагонали (из верхнего левого в правый нижний угол). Благодаря симметрии, тензор скоростей деформаций определяется шестью (а не девятью) компонентами S_ik.

         Вектор скорости вращательного движения можно представить как векторное произведение

        w_вр = [w ´ Dr] º  i (w_y Dz -  w_z  Dy) +

+ j (w_z  Dx - w_xDz) + k (w_xDy -   w_y Dx).                           (11.9)

         Для частного случая  вращения  в  плоскости [x,y], когда  Dz = 0;

w_x = w_y = 0, получим

         w_вр.х = - w_z  Dy;

        w_вр.y =  w_z  Dx,                                                               (11.9^!)

что совпадает с вычисленным ранее.

         Для вычисления вектора скорости деформационного движения удобно ввести функцию  (потенциал деформационной скорости):

         F =   (S_xx Dx² + S_yy Dy² + S_zz Dz²) + S_xy DxDy +

        + S_xz DxDz + S_yz DyDz.                                                   (11.10)

         Градиент этой функции равен вектору скорости деформационной составляющей движения

         w_деф = grad F º ÑFº i  + j  + k .                 (11.11)

         В частном случае плоского движения (Dz = 0; S_zz = S_xz = S_yz = 0) получим:

         w_деф.х =  = S_xx Dx + S_xy Dy;

        w_деф.y =  = S_yy Dy + S_xy Dx,                                      (11.11¹)

что совпадает с ранее вычисленными значениями.

         Итак, скорость движения жидкой частицы складывается из скорости полюса w_o, скорости вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс  w_вр = (w ×Dr) и скорости деформации

w_деф = grad F (рисунок 11.2).

                   Рисунок 11.2 - Особенности движения жидкой частицы

         11.2  Исходные сведения о вихревом движении жидкости

         В отличие от твердого тела, при вращении которого все точки имеют одинаковую угловую скорость w_тв.т. , при движении жидкости  различные ее частицы могут вращаться с различными угловыми скоростями. Поэтому анализируя поток жидкости, приходится говорить о поле угловых скоростей w (x, y, z, t).

         Однако, вместо угловой скорости w в гидрогазодинамике используется в два раза больший (по модулю) вектор - вихрь или ротор  скорости

        2w = rot w º [Ñ× w]

º i ( - ) + j ( - ) + k ( - ).        (11.12)

         В соответствии с этим, обычно говорят о поле вихря скорости rotw.

         Рассмотрим основные свойства векторного вихревого поля.

         Подобно тому, как при рассмотрении поля скоростей движущейся жидкости использовалось понятие линии тока, в каждой точке вектор скорости w направлен по касательной, для вектора угловой скорости w (или вектора rot w º 2w) линии тока называются вихревыми линиями (рисунок 11.3). Их дифференциальное уравнение. очевидно, можно написать по аналогии с (2.3):

         .                                                                                 (11.13)

         Вихревая линия играет роль криволинейной оси вращения частиц жидкости.

Рисунок 11.3 - Вихревая линия - линия тока вектора w (w º 1/2 rot w)

Рисунок 11.4 Вихревая трубка - трубка тока вектора w

         Трубка тока для вектора w называется вихревой трубкой, рисунок 11.4. Нормальное (живое) сечение вихревой трубки df перпендикулярно вектору w, который считается постоянным в этом сечении.

         Поток вектора rotw º 2w через элементарное сечение трубки df называется интенсивностью J элементарной вихревой трубки:

         dJ = 2 wdf º rotw df                                                          (11.14)

         Для вихревой трубки конечных размеров, для которой w по сечению не может считаться постоянной, соответственно

         J = ò dJ = 2 ò wdf = 2 w_cр f ,                                                  (11.14¹)

                            f                          f

где  w_ср - средняя угловая скорость по сечению f вихревой трубки.

         Нетрудно видеть, что аналогом интенсивности для трубки тока векторного поля скоростей w был объемный расход Q, математически также представляющий собой поток вектора w через поверхность:

         dQ = wdf    и   Q = ò wdf.

                                                f

         Аналогом уравнения неразрывности (сохранения расхода) для трубки тока (3.9) и (3.10), является тот факт, что интенсивность вихревой трубки (поток вектора w через ее сечение) не изменяется вдоль всей трубки (вторая теорема Гельмгольца).

         Отсюда следует известный опытный факт: вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо образуют замкнутые кольца, либо опираются на стенки сосуда или свободные поверхности, рисунок 11.5.

Рисунок 11.5 - Вихревые трубки в сосуде с жидкостью

         11.3 Циркуляция скорости. Теорема Стокса

         Вихрь скорости, как и угловая скорость, не поддается непосредственному измерению. Нельзя непосредственно мерить и интенсивность вихревой трубки. Более наглядное определение интенсивности вихревой трубки связано с понятием циркуляции скорости (поэтому вновь обратимся к анализу векторного поля скорости  w, а не

w º 1/2 rot w.

         Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в некоторой точке которого вектор скорости равен w, а его проекция на касательную к контуру w_l, рисунок 11.6.

            Произведение этой проекции на длину элемента контура называется элементарной циркуляцией dГ:

         dГ = w_l dl º wdl º wcos (w; dl) dl.                                (11.15)

         Циркуляцией по всему замкнутому контуру l называется интеграл

         Г = ò dГ = ò wdl .                                                          (11.15¹)

         Знак циркуляции Г [м²/c] считается положительным, если выражение (11.15) > 0 при таком обходе контура, когда опирающаяся ("натянутая") на контур поверхность остается слева, рисунок11.6.

Рисунок 11.6 - К вопросу о циркуляции скорости w по замкнутому контуру l:

 dl - элемент контура (элементарный вектор); w_l - проекция вектора w

на направление касательной (направление dl) к контуру

         Понятие циркуляции в гидродинамике аналогично понятию работы в механике, только вместо вектора силы, используется вектор скорости w: работа при перемещении по контуру равна циркуляции силы по этому контуру. Если работа силы по замкнутому контуру равна нулю, сила консервативна (потенциальна).

         Оказывается, что подобно тому, как поток вектора через замкнутую поверхность связан с интегралом по охватываемому этой поверхностью объему (теорема Остроградского - Гаусса), интеграл по замкнутому контуру (циркуляция по контуру) связан с интегралом по поверхности, опирающейся на этот контур (теорема Стокса). Рассмотрим простейший пример.

         Пусть контур в плоском потоке представляет собой прямоугольник со сторонами dx, dy и площадью df_z = dxdy. Вычислим ципкуляцию скорости по этому элеметарному контуру. Она складывается из четырех частей:

         dГ = w_xdx + (w_y + dx)dy - (w_x + dy)dx -

        - w_ydy = ( -  ) dxdy = 2w_z df_z = dJ.                   (11.16)

         Таким образом, циркуляция оказалась равной интенсивности вихревой трубки, опирающейся на этот контур. Интенсивность же равна потоку вихря через поверхность, натянутую на контур (см. (11.14)).

         В более общем виде теорема Стокса гласит: циркуляция по произвольному замкнутому контуру равна сумме интенсивностей вихревых трубок, пронизывающих поверхность f, опирающуюся на этот контур:

         Г = 2                                                                         (11.17)

                          f

         Сопоставляя (11.7) и (11.5), получим связь между интегралами по поверхности и контуру:

         Г = 2  = = J.                                               (11.18)

                          f                   l

         В безвихревом (потенциальном) течении циркуляция Г всюду равна нулю. Отличие Г от нуля указывает на наличие вихрей.

         11.4 Теорема Томсона (Кельвина)

         Еще одно важное свойство циркуляции в идеальной жидкости устанавливает терема Томсона (Кельвина):

         Циркуляция по замкнутому жидкому контуру в идеальной несжимамой жидкости, находящейся в поле потенциальных сил, не меняется со временем.

         Из теоремы Томсона следует, что в идеальной жидкости вихри не могут возникнуть или исчезнуть: если в некоторый момент течение было безвихревым, оно таковым будет и в дальнейшем.

         11.5 Поле скоростей, индуцированное вихревой трубкой. Формула

Био - Савара

         В некоторых случаях приходится определять поле скоростей движения жидкости, вызванного вихревой трубкой, подобно тому, как определяется вектор магнитного поля, индуцированного проводником с электрическим током с помощью известной из теории электромагнетизма формулы Био - Савара. Воспользуемся этой аналогией.

         Изменение вектора скорости жидкости dw (аналога вектора магнитного поля) в некоторой точке А жидкости, порожденное элементом dl  одиночной вихревой трубки с циркуляцией Г (аналога силы тока) определяется формулой Био - Савара (см. рисунок 11.7):

         dw = Г/4p ×[dl ×r]/r³,                                                      (11.19)

где    r - радиус - вектор, проведенный от элемента dl к точке А.

         Для модуля dw ºôdwôсоответственно имеем:

         dw = Г/4p × (sina/r²) dl= Г/4ph ×(sinada),                   (11.19¹)

где   h = rsina - кратчайшее расстояние точки А до направления dl; здесь также учтено, что

         sina = r (da/dl).

        Скорость, вызванная в точке А всей прямолинейной вихревой трубкой, определяется интегрированием этого выражения в пределах от

a = 0 до a = p:

                      p                            p

        w = ò dw = Г/4ph ò sinada = Г/2ph.                             (11.20)

                     0                              0

Рисунок 11.7 - Иллюстрация к формуле Био - Савара

         Это особый случай течения - циркуляционное безвихревое течение, представляющее собой  круговое течение, в котором скорость частиц жидкости обратно пропорциональны расстоянию от оси вращения

         w = const/r.                                                                             (11.21)

         Хотя траектории частиц - окружности, поток является безвихревым - частицы деформируются, но не вращаются  (рисунок 11.10). Особенностью такого течения является то, что скорость по мере приближения к оси вращения теоретически  возрастает до бесконечности w ~ 1/r, а градиент скорости (по радиусу)  ~ . Столь быстрый рост  при приближении к оси вращения приводит для реальных жидкостей к очень большим вязким напряжениям в центральной области вихря в соответствии с законом Ньютона (см. главу 1) - ядре. Экспериментально это проявляется в том, что ядро вращается как твердое тело с конечной угловой скоростью w_я; за пределами ядра скоростей изменяется по закону (11.21), рисунок 11.11.

         Примерами подобных течений являются круговые течения - атмосферные вихри (смерчи), водовороты и т. п. Возрастание величины скорости таких течений с приближением к оси вращения приводит к понижению давления. Поэтому свободная поверхность капельных жидкостей принимает воронкообразную форму (слив воды из ванны).  Атмосферный смерч создает разрежение, способное поднять вверх весьма тяжелые предметы, столб воды со свободной поверхности водоема и т. д.

         В так называемых циклонных камерах подобное движения создается  посредством тангенциального подвода газа (рисунок 11.12). Выход газа осуществляется через отверстия в торцевых стенках камеры вблизи ее оси. Понижение давления у оси циклонной камеры позволяет использовать ее для всасывания и сепарации тяжелых частиц  под действием центробежных сил.

Рисунок 11.8 - Течение вязкой жидкости между движущейся (со скоростью w_o)

и неподвижными стенками (течение Куэтта); частицы жидкости вращаются

в одну сторону; течение вихревое

Рисунок 11.9 - Течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе

Рисунок 11.10 - Движение с деформацией жидкой частицы при безвихревом циркуляционном течении

Рисунок 11.11 - Эпюры скоростей вне и внутри ядра вихря циркуляционного течения

Рисунок 11.12 - Схемы циклонной камеры с тангенциальным подводом

         Наличие вихревых движений в плоском потоке устанавливается экспериментом: в поток вводятся опилки или поплавки со стрелками - индикаторами *⁾ , размер которых мал по сравнению с радиусом кривизны линий тока. Если введенные тела сохраняют ориентацию в пространстве - течение безвихревое; в противном случае вихревое (рисунок 11.2 а), б)).

         Необходимо отметить, что вихревое течение может быть и при прямолинейных траекториях частиц. Например, если  частицы движутся параллельно оси x, причем скорости изменяются по закону

         w = w_x = w_o     (0 £ y £ h)     (рисунок 11.8),

где h - расстояние между параллельными стенками, одна из которых движется со скоростью w_o. В этом случае

         2w_z = rot w =  -  = - w_o/h ¹ 0.

 Опилки (или поплавки), помещенные в такой поток, будут вращаться по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью.

____________________

         *⁾ Плотность вещества опилок не должна существенно отличаться от плотности жидкости.

         Течение вязкой жидкости в трубах постоянного сечения  - также вихревые, причем угловая скорость вращения частиц возрастает по мере приближения к стенкам, рисунок 11.9.

         Важным случаем движения жидкости является безвихревое течение (рисунок 11.2), во всех точках которого

         2w = rot w = 0.*⁾                                                          (11.22)

         Важность изучения безвихревых течений обусловлена тем, что при обтекании тел с плавными обводами, вращение частиц наблюдается только в тонкой пристеночной области и за телом. В остальном потоке движение осуществляется практически без вращения частиц. Такие течения характерны при обтекании современных самолетов, кораблей , проточных частей турбомашин, крыловых профилей и т. п.  Особенно важное значение имеет теория безвихревых течений  для решения задач о распределении давлений по поверхности обтекаемых тел.

         В частном случае плоского течения (в плоскости (x, y) это означает

         2w_z = rot w =  -  = 0

или

          = .                                                               (11.22¹)

         Если обратиться к рисунку 11.1, то угловая скорость ребра MoM₁ будет  w_мом1 =  положительной (ребро М_оМ₁ вращается против

Ещё посмотрите лекцию "Руководство и лидерство" по этой теме.

____________________

         *⁾ Полученные выше уравнения движения Л. Эйлера можно преобразовать к виду, в котором удается выделить вихревые и безвихревые (потенциальные) слагаемые. Такое преобразование было выполнено И.С. Громека и Г. Ламбом. Более подробные сведения  по этому поводу можно найти в специальной литературе.  См., например,

Л. Г. Лойцянский . Механика жидкости и газа . - М.: Наука, 1978. - стр.89.

часовой стрелки); а w_мом2 =  - отрицательна (ребро М_оМ₂  вращается по часовой стрелке).

         Средняя угловая скорость биссектрисы исходного прямого угла   в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения, несмотря на деформационное движение. В этом случае опилки или поплавки будут перемещаться вместе с потоком, оставаясь параллельными самим себе.

         Следующая глава посвящена рассмотрению безвихревых (потенцииальных) течений идеальной несжимаемой жидкости.