Исходные положения кинематики жидкости

Исходные положения кинематики жидкости

         3.1 Линии и трубка тока; понятие расхода

         В кинематике используется лишь одно свойство, присущее всякой сплошной среде; это – непрерывность*⁾. Математически это означает, что параметры жидкости – скорость w и давление p можно рассматривать как непрерывные (дифференцируемые) функции координат пространства x,y,z и времени t (Л. Эйлер):

         w = w(x,y,z,t)

        p = p (x,y,z,t).                                                                 (3.1)

         Здесь x,y,z  - координаты фиксированных точек пространства, мимо которых проходят различные частицы жидкости.^**)

         Если w  и p в любой фиксированной точке пространства остаются неизменными во времени, т.е. являются функциями только координат x,y,z, течение называется установившемся. Если w  и p зависят от времени - течение неустановившееся.

         Характер наблюдаемого течения зависит от выбора системы координат.

Рекомендуемые материалы

___________________________

            *⁾ Теория жидкости и газа допускает в ряде случаев существование особых точек, линий, поверхностей, где непрерывность может нарушаться. Таковы, например, ударные волны (см. ниже).

            **⁾ В механике И. Ньютона рассматривались координаты движущихся материальных точек(частиц). Такой метод анализа для сплошной среды обычно оказывается менее удобным.

Для наблюдателя на берегу вода в озере, по которому равномерно прямолинейно движется лодка, оказывается возмущенной все в новых и новых точках пространства; движение частиц воды в этом случае воспринимается как неустановившееся.  С позиции наблюдателя, находящегося в лодке, картина движения воды будет стационарной, установившейся.

            Мгновенную картину течения (фотографию) представляют линии тока, каждый элемент dl  которых совпадает по направлению с вектором скорости w. Скорость w направлена по касательной в каждой точке линии тока.

         Математически это условие означает равенство нулю векторного произведения.

ººi(dyw_z-dzw_y)+j(dzw_x-dxw_z)+k(dxw_y-dyw_z)=0,

откуда следует_:.                                                                        (3.2)

         Это и есть уравнение линий тока.

         Уравнение для траектории жидкой частицы (следа ее перемещения) вытекает из очевидного равенства для элементарного перемещения

         dr = wdt,

или   = dt.                                                                                  (3.3)

         При установившемся течении линии тока и траектории совпадают.

         Если провести линии тока через точки малого контура, то образовавшаяся трубчатая поверхность называется трубкой тока (см. рисунок 3.1). Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется струйкой; при уменьшении поперечных размеров струйка превращается в линию тока.

         Поверхность в пределах потока жидкости, перпендикулярная в каждой своей точке вектору скорости, называется живым сечением (сечением) потока.

         Скорости в пределах живых сечений элементарной струйки принимаются постоянными для каждого сечения.

         Боковая поверхность трубки тока непроницаема  для жидкости, т.к. вектор скорости касателен к ней.^*)

         Поверхность, соприкасающаяся с потоком жидкости, называется смоченной поверхностью.

         Объем жидкости, протекающий через (живое) сечение струйки в единицу времени, называют элементарным объемным расходом

         dQ = wdf  [м³/c ].

         Рассматривая поток жидкости в трубе или канале, считают его состоящим из большого числа элементарных трубок, так что в этом случае объемный расход через (живое) сечение

         Q = òdQ= òwdf **   [м³/ c]                                                 (3.4)

                      f             f  

         *В этом смысле её можно назвать “мертвой”.

         **Такими зависимостями пользуются в гидравлике, отождествляя рассматриваемое сечение потока с живым сечением, ортогональным векторам скорости. Более строго объемный расход Q является потоком вектора скорости w через данную поверхность (сечение) f (см. рисунок 3.2)

         Средняя скорость потока по сечению в этом случае определяется так:

         w_ср  =     [м³/c]                                                            (3.5)

Кроме объемного Q, используется массовый расход

         M = Qr,        [кг/с],                                                                   (3.6)

и весовой расход

         G = Q¡     [H/c].                                                                            (3.7)

         Для характеристики торможения потока стенками труб с различной формой сечения в гидравлике вводится понятие смоченного периметра c– периметр сечения в пределах соприкосновения жидкости со стенками трубы или канала, и гидравлического радиуса R_Г, причем принимается:

         R_Г = f/c,  [м]                                                                    (3.8)

         Величина R_Г характеризует компактность (локализацию) сечения потока. Для круглой трубы радиуса r, например, гидравлический радиус

        R_Го = pr²/ 2pr = r/2.

        Для трубы прямоугольного сечения (со сторонами прямоугольника a,b)

         R_Гð = ab/2(a + b).

         3.2 Уравнение сохранения массы (неразрывности)

         Уравнение сохранения массы в гидрогазодинамике называют обычно уравнением неразрывности (сплошности).  Если в потоке между двумя сечениями количество жидкости не пополняется и не убывает (нет источников и стоков), то масса протекающей через эти сечения жидкости сохраняется. Математически это выражается условием неразрывности, отражающим отсутствие полостей и разрывов в сплошной среде – жидкости, газе.

         Наиболее просто записывается уравнение неразрывности для одномерного установившегося течения – для элементарной струйки, для течения в трубе или канале. Если жидкость несжимаема, то сохранение массового расхода означает сохранение и объемного расхода. Для элементарной струйки :

         dQ = wdf = const,                                                           (3.9)

для установившегося потока в трубе или канале для любых сечений вдоль течения

         Q = w_ср f = const,                                                           (3.9¹)

где w_ср – средняя по сечению скорость.

         В случае одномерного течения сжимаемой жидкости принцип неразрывности требует постоянства массового расхода от сечения к сечению:

         M = r Q = r w_ср f = const.                                             (3.10)

         Одномерные течения, параметры которых зависят только от одной координаты вдоль потока, изучаются в гидравлике.  В гидромеханике (механике жидкости и газа) рассматриваются более сложные двумерные и трехмерные потоки, для описания которых используются дифференциальные и интегральные уравнения.

         Дифференциальное уравнение неразрывности выведем сначала для несжимаемой жидкости. Для этого рассмотрим фиксированный в пространстве элементарный объем dV с ребрами dx, dy,dz, рисунок 3.3.

Рисунок 3.3

         Если у левой грани df_x = dydz (внешняя нормаль n к которой противоположна оси x) составляющая скорости по оси x равна w_x, то по достижении правой грани f_x (с n по оси x), отстоящей на расстоянии dx, она станет равной

        w_x +  dx.

         Через левую грань df_x за единицу времени втекает объем жидкости

         w_xdf_x = w_xdydz,

а через правую грань df_x вытекает

         (w_x +   dx) df_x = (w_x +   dx) dydz.

        Суммарное поступление жидкости через левую и правую грани равно

         w_xdydz – (w_x +   dx)dydz = – dxdydz = – dV.

         Аналогично в направлениях y и z приток жидкости составит

         –  dV             и          –  dV.

        Если внутри объема dV нет источников и стоков, т.е. объем жидкости в нем не меняется, то суммарный приток (расход) жидкости через все грани равен нулю:

         -dV -  dV -  dV = 0

или:  +  +   = 0                                                 (3.11)

Это и есть дифференциальное уравнение неразрывности (сохранения массы) для несжимаемой жидкости.

         Нетрудно заметить, что в уравнении (3.11) также используется оператор Гамильтона (см. главу 2)

         Ñ = i + j  + k ,                                                 (2.3)

"cкалярно умноженный" на вектора w (или rw для расхода массы). Таким образом, уравнение (3.11) можно переписать в виде

         Ñw = 0                                                                                                 (3.11¹)

или   divw = 0.                                                                                            (3.11¹¹)

Величина divw называется дивиргенцией (расхождением) вектора w. То же самое в так называемых тензорных обозначениях:

          = 0,                                                                               (3.11¹¹¹)

                             (i = 1,2,3)

Здесь индекс " i " – "немой" (аналогично переменной интегрирования в определенном интервале, которая может быть тоже обозначена любым символом;) – он повторяется дважды, пробегает значения 1,2,3, соответствующие x,y,z, и предполагает суммирование по этим значениям.

         Таким образом,

         divw º Ñw º Ñ_xw_x + Ñ_yw_y + Ñ_zw_z º  +  +  º

        º  .

         В наиболее общем случае неустановившегося течения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности (сохранения массы) имеет вид

          +  +  +  = 0;                     (3.12)

что можно записать так:

32. Национальные ежедневные газеты Франции - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

  + Ñ(rw) = 0;                                                                      (3.12¹)

или так:  + divr w = 0;                                                          (3.12¹¹)

или так:  +  .                                                    (3.12¹¹¹)

        Для установившегося течения газа   = 0 и уравнение (12) упрощается

          +  +  = 0                               (3.13)

Для несжимаемой жидкости r = const, откуда опять получаем уравнение (3.11).