Основные закономерности одномерного движения газа

Основные закономерности одномерного движения газа

3.2.1. Зависимость между скоростью звука и скоростями течения сжимаемой жидкости

Рассмотрим особенности потоков с дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями движения (течения).

Для установления указанных зависимостей воспользуемся уравнением Д.Бернулли для одномерного изоэнтропического движения  потока  идеального  газа, записанного в виде

Если учесть, что скорость звука в идеальном газе равна

,

то уравнение примет вид

Рекомендуемые материалы

Из последнего уравнения видно, что скорость звука a в газовом потоке связана  со скоростью течения потока газа w.   При  скорости  течения  газа w = 0 (газ находятся в покое - в заторможенном состоянии) скорость звука в нем имеет наибольшее значение:

где р_o  и  r_o  - соответственно, абсолютное давление и плотность газа, находящегося в покое (в заторможенном состоянии).

Скорость a_o называют скоростью звука при торможении.

Уравнение Бернулли теперь можно записать в виде:

С увеличением скорости потока w скорость звука, как это следует из последнего уравнения, уменьшается и в некотором сечении потока они могут оказаться равными.

Скорость потока, равная местной скорости звука в нем, называется критической и обозначается w_кр. Скорость звука в этом случае также называется критической и обозначается a_кр. Уравнение Бернулли принимает вид:

Используя уравнения можно установить связь между скоростью звука при торможении a_o и критической скоростью звука a_кр. Приравняв правые части  двух предыдущих уравнений, получим:

откуда

При очень большой скорости течения потока w скорость звука, как это видно из уравнения Бернулли, может обратиться в нуль. Это может быть тогда,  как это следует из формулы для скорости звука, когда абсолютная температура газа Т будет равна нулю. Скорость газового потока в этом случае называют максимальной w_макс или предельной w_пред. Уравнение Бернулли в этом случае примет вид:

На основании вышеизложенного уравнение Д.Бернулли можно представить так:

откуда

Изложенное свидетельствует о тесной зависимости между скоростью звука и скоростью течения сжимаемых жидкостей, и это обстоятельство широко используется при производстве расчетов.

3.2.2. Зависимость между изменениями сечения и скоростью течения потока сжимаемой жидкости

В гидродинамике несжимаемой жидкости устанавливается, что скорости вдоль потока несжимаемой жидкости изменяются обратно пропорционально площадям живых сечений.

В условиях сжимаемой жидкости уравнение постоянства массы (рис. 3.1)

приводит в некоторых случаях к противоположным выводам.

Рис. 3.1

Представим уравнение в дифференциальной форме

                                            (1 – 1)

 Преобразуем последнее уравнение, учитывая, что

                                            (1 – 2)

Это уравнение позволяет сделать  следующие  выводы.

Если число М < 1 (w < a), правая часть уравнения будет отрицательной. Следовательно, знаки перед dw и dw будут противоположными. Это значит, что в дозвуковом потоке, как и в потоке несжимаемой жидкости, скорость w обратно пропорциональна площади живого сечения w.

Если же М > 1, то есть когда w > a, знаки перед dw и dw совпадают. Это значит, что в сверхзвуковом потоке сжимаемой жидкости скорость w прямо пропорциональна площади живого сечения w. То есть следует вывод, прямо противоположный выводу, широко известному из гидродинамики несжимаемой жидкости.

Подобное явление в сжимаемой жидкости возможно потому, что увеличение скорости в нем вызывает не только уменьшение давления (как и в несжимаемой жидкости), но и уменьшение плотности, то есть - её расширение. Следовательно, расширение струи газа в сверхзвуковом потоке ведет к расширению самого газа в термодинамическом смысле, то есть к уменьшению давления, плотности, температуры и к увеличению скорости.

Рассмотрим, в каких условиях возможен переход дозвукового потока в сверхзвуковой и, наоборот, сверхзвукового в дозвуковой.

Пусть   имеется  поток,  в  котором  w = a,  то  есть  М = 1,0.   Из уравнения (1 – 2) следует, что в этом случае   и что . Если при непрерывном изменении скорости течения струи , то это значит, что в данном месте струя переходит от расширения к сужению или, наоборот, от сужения к расширению.

Теперь  установим,  в  каких  условиях может наступать равенство w = a (М = 1,0 ) и переход потока из одного вида в другой.

Рассмотрим две возможные конфигурации потока (струи): расширяющуюся и сужающуюся к середине (рис. 3.2).

В первом случае (рис. 3.2,а) при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в ней уменьшается в направлении течения и в сечении w_max имеет минимальное значение.

При сверхзвуковой скорости потока скорость увеличивается в направлении течения и в сечении w_max имеет наибольшее значение. Следовательно, в обоих случаях скорость течения в сечении w_max может быть равной скорости звука.

Рис. 3.2

Во втором случае (рис. 3.2,б) при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в струе по мере уменьшения площади сечения увеличивается и в сечении w_min может стать звуковой, а затем и сверхзвуковой.

При сверхзвуковой скорости потока в начале струи скорость струи по мере уменьшения сечения также уменьшается и в сечении w_min может стать звуковой, а затем будет уменьшаться в расширяющейся части струи уже как дозвуковая скорость.

Следовательно, скорость струи может перейти значение скорости звука только в наиболее узком сечении струи. Это сечение называют критическим, а скорость звука, равную скорости течения потока, называют, как указывалось выше, критической скоростью.

Рассмотренную выше особенность струй (потоков) сжимаемых жидкостей (газов) учитывают при проектировании специальных насадок (сопел), например, в ракетостроении, которые должны обеспечить истечение сжимаемых жидкостей со сверхзвуковой скоростью из ёмкостей, где они находятся под давлением.

В честь шведского инженера Лаваля, предложившего для получения сверхзвуковых потоков плавно сужающуюся и затем плавно расширяющуюся насадку (сопло), эту насадку называют сопло Лаваля (рис. 3.2, б).

3.2.3. Зависимость между изменениями плотности и скоростью

течение потока сжимаемой жидкости

Выше было установлено, что сжимаемость жидкости проявляется при повышении или понижении давления в виде соответствующего изменения плотности. С другой стороны из уравнения Д.Бернулли для одномерного движения потока сжимаемой жидкости следует, что изменение скорости течения должно сопровождаться изменением и ее плотности.

Из уравнения 1-1 можно получить выражение

                                            (1 – 3)

Умножая числитель и знаменатель правой части последнего выражения на w, получим:

                                  (1 – 4)

Вам также может быть полезна лекция "Типы рекламных носителей".

Из последней формулы следует, что относительное изменение плотности  в дозвуковом потоке (M < 1) меньше, чем относительное изменение скорости . В сверхзвуковом потоке, наоборот, плотность изменяется быстрее, чем скорость.

С другой стороны формула эта свидетельствует о том, что чем больше число Маха, тем сильнее проявляется сжимаемость жидкости при движении.

Так при малых числах Маха  относительные изменения плотности незначительны по сравнению с относительными изменениями скорости. Например, при М = 0,3

,

т.е. при увеличении скорости на 3% плотность уменьшится лишь на 0,9%.

Поэтому при малых числах Маха сжимаемые жидкости можно рассматривать как несжимаемые. В частности, в этих случаях и к потоку газа можно применять уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости.