Элементарные функции комплексной переменной

Элементарные функции комплексной переменной.

1. Степенная функция ,  - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n=1   (или, непосредственно, ). Далее,  дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная  отлична от нуля при , следовательно, отображение  при  конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке  увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при  на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области  необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .

2. Показательная функция . Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при : , модуль этого числа обозначим : , аргумент -:  (при достаточно больших n дробь  лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .

            При мнимом  отсюда следует, что , теперь формула Эйлера окончательно доказана.

            Кратко перечислим свойства этой функции.

1. Функция  аналитична на всей плоскости С, и  (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).

2.  (проверяется непосредственно).

            3. Функция  периодическая, с мнимым основным периодом  ()

Из этого свойства следует, что для однолистности отображения  необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением , такой областью является, например, полоса , преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Тема 8. Основные системы мозга (часть 1).

3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом , первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования  , сохраняются обычные тригонометрические соотношения ( - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)

4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями ,  . Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций: , .

5. Функция . Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами , . Функция  определяется равенством .

6. Логарифмическая функция  определяется при  как функция, обратная показательной: , если . Если , то последнее равенство означает, что , откуда . Таким образом,  - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при  называется главным и обозначается : . Так, , где k - произвольное целое число.

7. Общая показательная  и общая степенная  (а, z - произвольные комплексные числа, ) функции определяются соотношениями , и,следовательно, бесконечнозначны.

8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае (, если , например), и выражаются через . Найдём, например, . По определению, это такое число w, что , или  . Так как , получаем две серии значений: ,