Метод подбора частного решения

Метод подбора частного решения

     Этот метод не является универсальным и применим,  если правая часть уравнения (2.28) в общем случае имеет вид

                   (2.34)

где P(x) и Q(x) - одночлены или многочлены (в общем  случае различных степеней  от x).  Пусть при этом n - наивысшая степень одного из многочленов P(x) или Q(x).

     Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.28) следующий:

     1. Находим корни характеристического уравнения (2.33).

     2. Сравниваем  конкретно  заданную  правую  часть уравнения (2.28) с  общим  выражением  (2.34),  при котором применим метод подбора, и находим из этого сопоставления три числа:   

     3. Сравниваем  "контрольное"  комплексное  число

Рекомендуемые материалы

 с корнями характеристического уравнения и находим число m корней, совпавших с  комплексным числом  (если таких корней нет,  то m=0).

     4. Принимаем частное решение неоднородного уравнения (2.28)в виде

                (2.35)

     где   -многочлены одной и той же n-ой степени, но с неопределенными и различными коэффициентами.

     5. Записываем решение (2.35) в развернутой форме в зависимости от n. Так,

если  то    

если  то    

                             

     6. Подставляем  в исходное уравнение  (2.28)  и  получаем систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов A,B,C...

     Замечание 1. Если правая часть уравнения (2.28) имеет более простой вид,  например,  содержит произведение степенной функции на показательную

                             

(в частности, возможны  случаи  n=0  или (и)  или содержит только линейную комбинацию тригонометрических функций вида

               

где M и N - постоянные числа, то частные решения  неоднородного уравнения следует искать в форме, указанной в таблице 2 (в нее для полноты включен также общий случай).

                                           Таблица 2

Структура частного решения уравнения в зависимости от вида правой части

     Замечание 2. Правая часть уравнения  может содержать только функцию вида  или функцию вида . Но частное решение методом подбора следует искать в полной форме, содержащей и  и  (см. таблицу 2).

    Процедура подбора  неопределенных  коэффициентов показана на примерах.

     Пример. Решить уравнение 

     1). Решаем сначала соответствующее однородное уравнение

                    

     Составляем характеристическое уравнение, отыскивая частные решения уравнения в виде . Получаем

                     .

Корни этого уравнения   - действительны и различны. Соответствующие  им  частные  линейно  независимые решения ( см. таблицу 1 )   Поэтому общее решение однородного уравнения запишется в виде

                                    (2.36)

     2). Находим частное решение заданного неоднородного уравнения методом подбора, так как правая часть  -  многочлен  третьей степени относится к первому из указанных в таблице 2 случаев.                                                      

Сравнивая функцию  с выражением  ,заключаем, что  а

Сравниваем  с корнями характеристического уравнения.  Так как  то , и частное решение принимаем в виде

                     (2.37)

где A,B,C,D  -  неопределенные коэффициенты.

Подставляем (2.37) в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях  получающегося равенства:

     или     

   Решая систему алгеабраических уравнений находим коэффициенты: A=-1/8, B=-1/4, C=-3/8, D=1/2

   Поэтому                 (2.38)

   Складывая (2.36) и (2.38), получим общее решение уравнения в виде

                

     Пример. Решить уравнение 

     1). Общее решение  однородного  уравнения известно  (2.36).

     2). Находим частное решение неоднородного уравнения,  сравнивая правую часть  c выражением 2 из таблицы 2:

              

     Получаем    .

     Сравниваем мнимое число  с корнями характеристического уравнения. Так как (j=1,2 - номер корня), то .

Поэтому принимаем

               

где A и B - неопределенные коэффициенты.

     Процедура вычислений имеет вид:

     или

      

     Приравнивая коэффициенты в обеих частях получившегося тригонометрического равенства при  и , получим систему

         откуда  следует  A = 3/8, В=-3.8.      

    

     Поэтому частное решение исходного уравнения будет

              

     Общее решение запишется в виде

             

     Пример. Решить уравнение  

    1). Находим общее решение однородного уравнения

                                    (2.39)

Характеристическое уравнение

                    

имеет комплексные сопряженные кори: ,

Частные решения уравнения (2.39) будут (см. таблицу 1,случай 2a)

                    

Поэтому

            

2). Находим частное решение неоднородного уравнения.  Сравниваем правую часть  c общим  выражением (1) из таблицы 2:

  Видно, что в данном случае  n=1, .

Так как  (j=1,2), то m=0, поэтому принимаем ( см. табл.2, случай 2А ):

                   

где A и B - неопределенные коэффициенты.  Находим их,  используя стандартную процедуру:

        

Сокращая на  и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

     откуда следует    B=10/49.

Следовательно,

                 

Окончательно имеем

        

     Пример. Решить уравнение 

     1). Однородное уравнение .  Соответствующее ему характеристическое уравнение  имеет мнимые корни  . Поэтому частные решения однородного уравнения будут (см. табл. 1, случай 2б )  . Общее решение примет вид

                

     2). Находим сначала частное решение неоднородного уравнения

                 

Сравниваем с выражением (см. табл.2, случай 2 ). Получаем   Т=5. Сравниваем  с корнями  Так как , то  Поэтому принимаем  Тогда

  

Приравнивая коэффициенты при sin 2x и cos 2x,  получим A = -5/4,

B = 0. Следовательно,

                

Люди также интересуются этой лекцией: 11. Корпоративные сети и их техническое обеспечение.

3). Далее находим частное решение уравнения

При этом   принимаем ( см. табл. 2, случай 2а )

 

откуда следует   Поэтому

Суммируя полученные решения, получим