Случайные события

Глава IV ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Трудно найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностно-статистические методы. Они применяются практически во всех областях науки, в экономике, военном деле, технике, медицине, юридической практике, криминалистике и т.д. Эти методы базируются на понятиях случайного события и вероятности. Решающий вклад в теорию вероятностей внесли такие замечательные математики как Пьер Ферма, Якоб Бернулли, Симон Лаплас, Пафнутий Львович Чебышев, Андрей Николаевич Колмогоров и многие другие.

§1. Случайные события

Окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный характер. Мы встречаемся с ними, наблюдая состояние атмосферы, физические эксперименты, производственные процессы, общественно-политические ситуации и т.п. Результаты многих наблюдений нельзя предсказать однозначно. Предположим, в 10 ч в Твери пошел дождь. Утверждение «в 11 ч дождь кончится» может оказаться либо верным, либо нет. То же самое можно сказать о прогнозе на следующий день уровня радиации, курса доллара, популярности мэра, числа разбойных нападений, количества дорожно-транспортных происшествий. Допустим, что, исходя из каких-то соображений, мы прогнозируем на завтра 12 дорожно-транспортных происшествий на улицах нашего города. Это событие может либо произойти, либо нет. Дело в том, что ситуация на дорогах зависит от большого количества факторов и учесть влияние каждого из них заранее невозможно (погода, видимость, направление и сила ветра, самочувствие водителей и пешеходов, количество и расположение транспорта на трассе и т.д.) Поэтому не исключено, что число происшествий окажется не 12, а, например, 10, 8, или 15. Каждый такой факт является случайным событием.

Все наблюдаемые при определенных условиях события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Всякий раз, когда указанные условия выполняются, говорят, что происходит испытание.

Достоверным называют такое событие, которое происходит при каждом испытании.

Невозможным называют событие, которое не может произойти ни при одном испытании.

Случайным называют событие, которое в данном испытании может произойти, а может и не произойти.

Рекомендуемые материалы

Пример 1. В урне имеются шары только синего и красного цвета. Наугад вынимают один шар. Событие, состоящее в том, что вынут либо синий, либо красный шар — достоверное. Событие, состоящее в том, что вынут шар белого цвета — невозможное. Событие «вынут шар красного цвета» (или событие «вынут шар синего цвета») является случайным.

Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10 зон. Выстрел — это испытание; попадание в определенную зону, например, в «десятку» — событие; событие, состоящее в том, что мишень либо поражена, либо не поражена — достоверное событие; поражение одним выстрелом сразу трех зон — невозможное событие.

Случайные события будем обозначать буквами А, В, С, ... , достоверное событие — символом W , невозможное событие — символом Æ.

Случайные события A₁, А₂, ... , А_п, называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 3. При одном бросании монеты выпадает либо орел (событие А), либо решка (событие В). События А и В несовместны.

В примере 2 обозначим через А₁, А₂, ... , A₁₀ события, состоящие, соответственно, в поражении первой, второй, ... , десятой зоны. Так как при попадании в границу двух зон судья всегда делает выбор в пользу какой-нибудь одной из них, то можно считать что события a_i, А₂, ... , А₁₀ несовместны.

События A₁, А₂, ... , А_п называются единственно возможными, если в результате испытания происходит какое-либо одно и только одно из этих событий.

Пример 4. Игральную кость бросают один раз. События A₁, А₂, A₃, A₄, A₅, A₆ состоят, соответственно, в выпадении чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти события являются единственно возможными.

В примере 2 события A₁-А₁₀ не будут единственно возможными, т.к. стрелок может вообще не попасть в мишень.

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместными и единственно возможными. Эти события называются исходами испытания или элементарными событиями. Совокупность всех исходов испытания называют также пространством элементарных событий.

Примеры

Ещё посмотрите лекцию "Протокол UDP" по этой теме.

5. Из колоды (36 карт) наугад вынимают одну. Это испытание имеет 36 исходов, каждый из которых соответствует выбору определенной карты.

6. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Участник приобретает один билет. Здесь испытанием является выбор одного билета. Таким образом, мы имеем 1000 исходов.

7. Карточка спортлото содержит 49 наименований. Играющий зачеркивает 6 из них. Здесь исходом является набор из шести клеток карточки. Так как порядок зачеркивания не играет никакой роли, то число всевозможных исходов будет равно числу сочетаний из 49 по 6 - .

8. При демографических исследованиях выбирают случайным образом супружеские пары и отмечают их возраст. Исходом каждого такого испытания является упорядоченная пара чисел — возраст мужа и возраст жены.

9. В программе экзамена 30 вопросов, студент выбирает 2 из них. Исходом здесь является любая пара вопросов из данных тридцати. Количество исходов будет .