Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)
Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .
Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).
1) Пусть ряд сходится в точке и .
Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .
Тогда .
"4 Вынос в натуру проектных отметок" - тут тоже много полезного для Вас.
Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.
.
Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.
Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять ( не зависит от ), то в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.
2) Пусть ряд расходится в точке и .
Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .