ТЕМА - Уровни общности и абстрактности
ТЕМА 2.2 Лекция 3.
1. Уровни общности и абстрактности математических моделей
2. Формальная запись модели.
1. Уровни общности и абстрактности математических моделей
Ранее уже говорилось о сложной структуре задач математического моделирования. Практически всегда создаются и разрабатываются общие модели, описывающие классы по крайней мере близких однотипных систем. Но уровни их общности различны. Можно создать модель давления коленчатого вала на поддерживающие его подшипники, ограничившиеся при этом силовыми и геометрическими характеристиками, типичными, скажем, для автомобильных двигателей. Но можно рассмотреть модель реакций вращающегося твердого тела – две модели будут очень близки, но, естественно, различны по уровню общности. Первую из них есть смысл рассматривать, если в ней учтены особенности, характеризующие именно дальний узкий класс систем.
Наибольший интерес представляют общие модели с достаточно высоким уровнем абстракции. Такие модели могут самостоятельно изучаться, анализироваться, дополняться доказанными свойствами и утверждениями. Сведения, полученные при теоретическом рассмотрении, будут применимы ко всем конкретным системам, содержащимся в них. Эти уровни общности и абстракции могут образовывать целые иерархические структуры, в которых переход к конкретной модели будет проходить в несколько этапов («спуск» ко все более и более частному).
Особенно широко распространено и известно исследование абстрактных математических моделей. Типичными с точки зрения практики являются модели в виде наборов формул, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, дискретных переходов, статистических описаний, аппроксимирующих представлений, описания игровых ситуаций и т.д. Можно говорить о ряде общих моделей в химии, физике, биологии, экологии.
Возвращаясь к превращению общей модели в конкретную, которое достигается наполнением ее информацией, отметим, что тот процесс не всегда прост, особенно при использовании неоднородной и объемной информации. Одновременно он настолько важен и ответствен, что ведет к самостоятельному исследованию понятий удобного хранения, выдачи и подготовки информации непосредственному использованию. В настоящий момент эти исследования образуют отдельную, ориентированную на ЭВМ область знания, называемую организацией банков (баз) данных (знаний).
Взаимоотношения этой новой области с системным анализом будут рассмотрены в главе 4, однако и до этого нам понадобится ряд новых понятий. Поэтому укажем, что данными обычно называют числовой и словесный (говорят также: фактографический) материал, который сам по себе не несет смысловой нагрузки. В противовес этому знаниями называют смысловой материал типа программных средств, методик, указаний, описания моделей.
Рекомендуемые материалы
2. формальная запись модели
1.3.3. Формальная запись модели. Эта запись традиционно занимает существенное место в общей теории систем, но понятна также и для анализа конкретной модели.
Сначала обозначим:
- набор входных воздействий (входов) в системе – х+ и их допустимую совокупность – Х+, х+ÎХ+;
- набор выходных воздействий (выходов) в системе – всю их возможную совокупность – Х-, х-ÎХ-;
- набор параметров, характеризующих свойства систем постоянные вр все время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, - а и всю их допустимую совокупность – А, аÎА;
- набор параметров, характеризующих свойства системы, меняющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния), - у и всю их допустимую совокупность – Y, y ÎY;
- параметр (или параметры) процесса в системе п. 1.1.4) – t и всю их допустимую совокупность – Т, tÎT;
- правило S (функция, оператор) определения параметра состояния системы по входам х+, постоянным параметрам и параметру процесса t. Заметим, что мы всегда будем различать величины и правило их определения. Здесь запись y = S(x+, a, t) означает нахождение параметров по этому правилу, в то время как о величине у можно говорить и вне правила ее определения;
- правило V (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам x+, постоянным параметрам, параметру процесса t и параметрам состояния у, т.е. x- = V(x+, a, t, y);
- правило W (функция, оператор) определения выходов характеристик системы по входам х+, постоянным параметра и параметру процесса t. Указанное правило V может быть получено подстановкой правила S в правило V, что дает исключение из него параметров состояния: x- = V(x+, a, t).
На основе введения вышеуказанных воздействий, параметров и правил модель может быть записана как кортеж
Σ : {x+, x-, a, t, y, S, V, V}
x+ÎX+, x- Î X-, aÎA, t ÎT, y ÎY.
Поясним определение модели на ряде примеров.
Сначала рассмотрим упрощенную схему работы дизельного двигателя. В этом случае имеем:
- входы (внешние воздействия): своевременная подача в меру сгорания газовой смеси определенного состава; внешний момент (нагрузка) в точке вывода мощности;
- выход: мощность двигателя;
- неизменяемые параметры системы: объем камеры сгорания, число и расположение цилиндров, степень сжатия; размеры и жесткость поршней, шатунов, коленвала, маховика и их частей силового механизма;
- параметр процесса: время или угол поворота коленвала;
- параметры состояния: температура и давление в камере сгорания; скорости (ускорения) движущихся частей, силы трения в двигателе;
- правило S (уравнения состояния): термодинамические уравнения, описывающие процесс сгорания газовой смеси, и механические уравнения, описывающие движение частей силового механизма;
- правило V: запись мощности двигателя в виде функции скоростей движения частей силового механизма и внешнего коэффициента; она равна произведению угловой скорости коленвала внешнего момента;
- правило V: запись мощности в виде функции от скорости подачи газовой смеси, ее состава и внешнего момента (нагрузки).
II пример.
Во втором, математическом примере рассмотрим в качестве цели систему дифференциальных уравнений 
решаемую для различных начальных условий и различных правых частей.
В этом случае имеем:
- входы: начальные условия, вектор правых частей f(t), значение t1, до которого необходимо интегрировать систему;
- выход: значение y(t1) = y1;
- неизменные параметры системы: матрица А;
- параметры состояния: вектор y;
- параметр процесса – t;
- правило S: решение дифференциального уравнения в зависимости от начальных условий, констант, правых частей и аргумента; y = y (t0,, y0,,A, f(t), t);
- правило V: подстановка в решение дифференциального уравнения значения t1; y1 = yt=t 1 ;
- правило V: зависимость y1 = y(t0,, y0,, A, f(t), t1).
III пример.
Третий пример информационный. Рассмотрим модель длительности переработки человеком текста в резюме. В этом случае:
- входы: объем текста, численная оценка его сложности;
- выход: длительность i составления резюме;
- неизменяемые параметры здесь будут соответствовать способностям данного человека: скорость осмысленного чтения текста и число повторных чтений в зависимости от его сложности усредненное число переделок резюме;
- параметры состояния определяют объем проделанной работы на данный момент t: объем изученного текста, объем составленной части резюме, оставшееся число переделок резюме;
- параметр процесса: стадия работы или время;
- правило S: зависимость объема проделанной работы, объема и сложности текста, способностей человека, времени;
- правило V: зависимость величины i от объема проделанной работы;
- привило V: зависимость величины i от объема текста, сложности и способностей данного человека.
Восемь рассмотренных составляющих кортежа не являются универсальными и обязательными. Это просто наиболее удобные на практике составляющие. Их может быть как больше (см., например, ниже системы управлением), так и меньше. Минимальное число составляющих имеет модель «черного ящика»:
Σ : {x+, x--, V},
где х- = V(x+).
Вам также может быть полезна лекция "6.3 Обработка знаний в интеллектуальных системах".
Введение в рассмотрение «внутренности черного ящика» приводит к параметрам системы а, а типичное наличие процессов в системе – к параметрам состояния и процесса: у и t. На основании наличия процессов формулируются и правила S, V. Другими составляющими кортежа в определении модели могут быть входные случайные воздействия (представляющие собой часть входов х+), характеристики структуры системы в отличие от характеристик элементов (выделенные из параметров а), некоторые свободные параметры модели, все множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (например, операциями взятия максимума, интегрированием), управление и введенные для целенаправленных систем.
Пример с моделью в виде системы дифференциальных уравнений интересен тем, что если считать выходом не значение функции у в точке t1, а саму функцию, то мы получаем совпадение операторов S и V. Операторное равенство для V при этом является просто переобозначением: х- = у. Такое положение дел, когда выходом в системе служит параметр состояния, достаточно типично. Аналогичная ситуация уже отмечалась нами при определении цели системы в п. 1.1.5. Для этого случая можно вписать вместо (1.8) укороченный кортеж без правил S и V.
В примере с переработкой текста можно вполне обойтись без операторов S и V и строить сразу оператор V. Такая ситуация, когда удобно сразу. Без промежуточных стадий, искать основное правило V, тоже встречается нередко и аналогично случаю с системой дифференциальных уравнений ведет к кортежу без S и V. Кстати, именно этим объясняется наличие на первый взгляд «лишней» составляющей V в (1.8), ведь еще в определении этого правила мы подчеркнули, что оно выводило из предыдущих. Но именно типичность ситуации с отсутствием операторов S и V (или неудобство работы с ними) является основным оправданием практического удобства введения в кортежную запись модели.
Условность составляющих кортежа!
Часто даже при незначительных изменениях постановки задачи происходит переход величин из одной составляющей кортежа в другую. Так, некоторую мало меняющуюся величину в системе можно отнести и к параметрам системы а (сделав условно постоянной), и к параметрам состояния. Математическим путем заменены переменной нередко меняющиеся местами параметр процесса и один из параметров состояния. В ряде случаев могут возникать трудности с отнесением данной величины к параметрам состояния или выходным воздействиям.
Так, в примере о двигателе интересно разобрать вопрос о месте сил трения в кортеже. Напомним, что они отнесены к группе параметров состояния. Однако при широко используемой записи сил трения через кинематические величины и постоянные коэффициенты трения они могут быть выведены из рассмотрения с включением вместо них в список неизменяемых параметров системы указанных коэффициентов. Если же силы трения не зависят от кинематики, т.е. от состояния системы, то они могут считаться и входами. Если же нашей задачей будет исследование именно сил трения в двигателе, то эти силы станут выходами в системе.
