Задачи эконометрики

Власов М. П.

конспект лекций по дисциплине
Компьютерные методы статистического анализа и прогнозирование

ТЕМА 7 Задачи эконометрики

Содержание

стр.

1. Определение эконометрики …………..……………………………… 2

2. Предмет эконометрики ………………………………….……………. 4

3. Метод эконометрики ………………………………………………….. 5

Рекомендуемые материалы

4.Спецификация модели ……………………………………………….. 14

5. Идентифицируемость и идентификация модели ………………….. 15

6. Математико-статистический инструментарий эконометрики ……. 18

Литература ……………………………………………………………… 27

Санкт-Петербург 2008

1. Определение эконометрики

Эконометрика (эконометрия) (от экономики и греч. metreo - измеряю), научная дисциплина, позволяющая на базе положений экономической теории и результатов экономических измерений придавать конкретное количественное выражение об­щим (качественным) закономерностям, обусловленным эконо­мической теорией. При этом основную роль в математическом оснащении этой дисциплины играют методы математической статистики, и в первую очередь, — многомерного статисти­ческого анализа.

Таким образом, суть эконометрики - именно в синтезе экономической теории, экономической статистики и прикладного математичес­кого инструментария. Говоря об экономической теории в рам­ках эконометрики, будем интересоваться не просто выявлением объектив­но существующих (на качественном уровне) экономических за­конов и связей между экономическими показателями, но и подходами к их формализации, включающими методы

Рис. Эконометрика и её место в ряду других экономических и статистических дисциплин.

спе­цификации и идентификации соответствующих моделей с учё­том решения проблемы их идентифицируемости (эти понятия приведены ниже). При рассмотрении экономической статисти­ки как составной части эконометрики прежде всего нас будет интересовать тот аспект этой самостоятельной дисциплины, который непос­редственно связан с информационным обеспечением анализи­руемой эконометрической модели, хотя в этих рамках специалисту по эконометрике зачастую приходится решать полный спектр соответствующих задач: выбор необходимых экономических показате­лей и обоснование способа их измерения, определение плана статистического обследования и т. п. Наконец, прикладной ма­тематической инструментарий эконометрики в качестве своей основной со­ставляющей содержит ряд специальных разделов многомерного статистического анализа:

· линейные (классическая и обобщён­ная) и некоторые специальные модели регрессии;

· методы и мо­дели анализа временных рядов;

· обобщённый метод моментов;

· так называемые системы одновременных уравнений;

· статисти­ческие методы классификации и снижения размерности анализи­руемого признакового пространства.

Однако эконометрика использует понятия, поста­новки и методы решения задач и из многих других разделов математики: теории вероятностей, математического программи­рования, численных методов решения задач линейной алгебры, систем нелинейных уравнений, теории нахождения неподвиж­ных точек отображений.

Представленная на рисунке схема при всей своей условности и неполноте в целом даёт общее наглядное представление об эконометрике и её месте в ряду других экономических и статистических дисциплин.

Именно «приземление» экономической теории на базу конк­ретной экономической статистики и извлечение из этого призем­ления с помощью подходящего математического аппарата впол­не определённых количественных взаимосвязей являются клю­чевыми моментами в понимании сущности эконометрики. Это, в частности, обеспечивает разграничение эконометрики с такими дисциплинами как мате­матическая экономия, описательная экономическая статисти­ка и математическая статистика. Так, математическая экономия, которая часто определяется как математически сформулирован­ная экономическая теория, изучает взаимосвязи между эконо­мическими переменными на общем (неколичественном) уровне. Она преобразуется в эконометрику, когда символически представленные в этих взаимосвязях коэффициенты заменяются конкретными чис­ленными оценками, полученными на базе соответствующих эко­номических данных.

2. Предмет эконометрики

Из определения эконометрики следует, что пред­метом этой дисциплины являются экономические и социально-экономические приложения, а именно модельное описание конк­ретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями.

К числу типовых экономических моделей, конструируемых и изучаемых с помощью эконометрических методов, относятся:

· про­изводственные функции, выражающие взаимосвязи между затра­тами и результатами производственной деятельности экономичес­ких систем различных уровней;

· модели функционирования наци­ональной экономики;

· типологизация объектов и поведения аген­тов (стран, регионов, фирм, потребителей);

· целевые функции потребительского предпочтения и функции спроса;

· модели распре­делительных отношений в обществе;

· модели рынка и экономичес­кого равновесия;

· модели интернационализации национальных эко­номик;

· модели межстранового и межрегионального анализа и др.

При всём разнообразии спектра решаемых с помощью эконометрики за­дач их, тем не менее, было бы удобно расклассифицировать по трём направлениям:

· по конечным прикладным целям;

· по уровню иерархии;

· по профилю анализируемой экономической системы.

По конечным прикладным целям выделим две основные:

а) прог­ноз экономических и социально-экономических показателей (переменных), характеризующих состояние и развитие анализируе­мой системы;

б) имитация различных возможных сценариев социально-экономи-ческого развития анализируемой системы, когда статистически выявленные взаимосвязи между характеристиками производства, потребления, социальной и финансовой политики.

Они используются для прослеживания того, как планируемые (возможные) изменения тех или иных поддающихся управлению параметров производства или распределения скажутся на значе­ниях интересующих нас «выходных» характеристик (в специ­альной литературе исследования подобного рода называют так­же сценарным или ситуационным анализом).

По уровню иерархии анализируемой экономической системы выделяются макроуровень (т. е. страны в целом), мезоуровень (регионы, отрасли, корпорации) и микроуровень (семьи, пред­приятия, фирмы).

В некоторых случаях должен быть определён профиль эконометрического моделирования: исследование может быть скон­центрировано на проблемах рынка, инвестиционной, финансо­вой или социальной политики, ценообразования, распределитель­ных отношений, спроса и потребления, или на определённом комплексе проблем. Однако чем претенциознее по широте охва­та анализируемых проблем эконометрнческое исследование, тем меньше шансов провести его достаточно эффективно.

3. Метод эконометрики

В общей формулировке эконометрический метод может быть описан следующим образом. Постулиру­ется, что анализируемые переменные (экономические показате­ли)  являются случайными величинами, совмест­ный закон распределения вероятностей (з. р. в.) которых не известен исследователю, но принадлежит некоторому семейству функций. В процессе функционирования анализируемой эконо­мической системы генерируются наблюдаемые значения  () интересующих исследователя пере­менных. Идентификация модели (анализируемой системы) заключается в выборе из упомянутого семейства конкретного закон распределения вероятностей, наиболее хорошо (в определённом смысле) согласующегося с имеющимися в распоряжении исследователя сгенерированными системой данными. Различные спецификации (конкретизации, основанные на дополнительных исходных допущениях) этой общей постановки проблемы и приводят к широкому спектру методов и моделей эконометрического анализа: регрессии, вре­менным рядам, системам одновременных уравнений и другим методам, используемым при решении задач экономического про­гноза, ситуационного анализа, оценивания важных экономичес­ких характеристик.

Все эконометрические модели, независимо от того, относятся они ко всему хозяйству или к его элементам (т. е. к макроэко­номике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности. Во-первых, они основаны на предположении, что поведение экономических переменных определяется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом эко­номических соотношений. Во-вторых, принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение сложной действи­тельности, тем не менее, улавливает главные характеристики изу­чаемого объекта. В-третьих, создатель модели полагает, что на основе достигнутого с её помощью понимания реальной системы удастся предсказать её будущее движение и, возможно, управ­лять им в целях улучшения экономического благосостояния.

Пример. Предположим, что экономическая теория позволяет сформулировать следующие положения:

· потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая, видимо, медленнее, чем рост дохода;

· объём инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция некоторых характеристик государственного регулирования (например, нормы процента);

· национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Первая задача - перевести эти положения на математический язык. Здесь открывается многообразие возмож­ных решений, удовлетворяющих сформулированным априорным требованиям теории. Какие соотношения выбрать между пере­менными - линейные или нелинейные? Если остановиться на нелинейных, то какими они должны быть — логарифмическими, полиномиальными или какими-либо ещё? Даже после определе­ния формы конкретного соотношения, остаётся ещё нерешённой проблема выбора для различных уравнений запаздываний по времени. Будут ли, например, инвестиции текущего периода реа­гировать только на национальный доход, произведённый в пос­леднем периоде, или же на них скажется динамика нескольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей состоит в выборе при первоначальном анализе наиболее про­стой из возможных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений следующую линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных составляющих модель:

,               (3.1.)

,               (3.2.)

,               (3.3.)

где априорные ограничения выражены неравенствами

; ; .

Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют мо­дель. В ней  обозначает потребление,  - инвестиции,  - национальный доход,  - подоходный налог,  -норму процента как инструмент государственного регулирова­ния,  - государственные закупки товаров и услуг, измерен­ные в «момент времени» .

Присутствие в уравнениях (3.1.) и (3.2.) «остаточных» случайных составляющих  и  обусловлено необходимостью учесть влияние соответственно на () и () ряда неучтённых фак­торов. Действительно, нереалистично ожидать, что величина по­требления () будет однозначно определяться уровнями на­ционального дохода () и подоходного налога (); анало­гично величина инвестиций () зависит, очевидно, не только от достигнутого в предыдущий год уровня национального дохо­да () и от величины нормы процента () , но и от ряда не учтённых в уравнении (3.2.) факторов.

Полученная модель содержит два уравнения, объясняющих поведение потребителей и инвесторов, и одно тождество. Мы сформулировали её для дискретных периодов времени и выбра­ли запаздывание (лаг) в один период для отражения воздей­ствия национального дохода на инвестиции.

В дальнейшем этот пример используется для пояснения ряда основных понятий эконометрического моделирования.

Основные понятия эконометрического моделирования. В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей её использования все участвующие в ней пе­ременные подразделяются на:

· экзогенные, т. е. задаваемые как бы «извне», автономно, в определённой степени управляемые (планируемые);

· эндогенные, т. е. такие переменные, значения которых формируются в процессе и внутри функционирования анализируемой социально-экономической системы в существенной мере под воздействием экзогенных переменных и, конечно, во взаимодей­ствии друг с другом; в эконометрической модели они являются предметом объяснения;

· предопределённые, т. е. выступающие в системе в роли факторов-аргументов, или объясняющих переменных.

Множество предопределённых переменных формируется из всех экзогенных переменных (которые могут быть «привяза­ны» к прошлым, текущему или будущим моментам времени) и так называемых лаговых эндогенных переменных, т. е. таких эндогенных переменных, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы измеренными в про­шлые (по отношению к текущему) моменты времени, а, следовательно, являются уже известными, заданными.

Набор взаимосвязанных регрессионных уравнений, в кото­рых одни и те же переменные могут одновременно играть роль (в различных уравнениях системы) результирующих показате­лей и объясняющих переменных (предикторов) называют сис­темой одновременных уравнений (СОУ). Очевидно модель (3.1.)-(3.3.) представляет собой пример СОУ. В данном примере потребление () , инвестиции () и национальный доход () в текущий момент времени  являются эндогенными пе­ременными; подоходный налог (), норма процента как ин­струмент государственного регулирования () и государ­ственные закупки товаров и услуг () - экзогенные пере­менные, которые вместе с национальным доходом в предше­ствующий момент времени () образуют множество предоп­ределённых переменных.

Таким образом, можно сказать, что эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных пе­ременных.

При построении и анализе эконометрической модели следует различать её структурную и приведённую формы. Для поясне­ния этих понятий условимся в дальнейшем обозначать латин­ской буквой  вектор-столбец всех предопределённых перемен­ных (он включает в себя все экзогенные переменные и все участвующие в модели лаговые эндогенные переменные). Пусть общее число эндогенных переменных равно , а общее число предопределённых переменных — . Общее число уравнений и тождеств в эконометрической модели равно числу эндогенных переменных, т. е. равно . И пусть из общего числа от соотно­шений модели имеется  уравнений, включающих случайные остаточные компоненты, и  тождеств (). Разобьём вектор эндогенных переменных  на два подвектора  и , при этом порядок, в котором перенумерованы эндогенные пере­менные, не имеет значения.

Тогда общий вид линейной эконометрической модели может быть представлен в форме

                                     (3.4.)

где  — матрица размерности () из коэф­фициентов при  в  первых уравнениях;

 - матрица из коэффициентов при  в  первых уравнениях;

 - вектор-столбец предопределённых переменных (в нём );

 — матрица размерно­сти  из коэффициентов при предопределённых пере­менных в первых  уравнениях (очевидно, коэффициенты  играют роль свободных членов уравнений);

 - матрица размерности  из коэффициентов при  в  тождествах системы;

- матрица размерности  из коэффициентов при  в  тождествах системы;

 - матрица размерности  из коэффициентов при предопределённых пере­менных в  тождествах системы;

 -век­тор-столбец размерности  случайных остаточных составляю­щих  первых уравнений системы;

 - вектор-столбец размерности  состоящий из нулей.

Заметим, что исходными статистическими данными, необхо­димыми для проведения статистического анализа системы (3.4.) (а именно, для оценки неизвестных коэффициентов  и  проверки статистических гипотез, например, о линейном харак­тере исследуемых зависимостей и т. п.), являются матрицы

 и                           (3.5.)

соответственно размерностей  и , а все элементы матриц В₃, В₄ и С₂ являются известными (их числовые значе­ния определяются содержательным смыслом соответствующих тождеств системы).

Система (3.4) может быть записана также в виде

,                    (3.4’)

или в виде

,                         (3.4")

где

, , , , ,

а матрицы У и X определены в (3.5.).

Система уравнений и тождеств вида (3.4.) (или эквивалентных ей записей (3.4') или (3.4")) называется структурной формой ли­нейной эконометрической модели. При этом предполагается, что коэффициент при эндогенной переменной  в структурном стохастическом уравнении  () равен единице (прави­ло нормировки системы), а матрицы  и  невырождены (до­пускаются и другие способы нормировки системы).

Поскольку при реализации конечных прикладных целей эко-нометрического моделирования (т. е. при прогнозе значений эн­догенных переменных и при различных имитационных расчё­тах) главный интерес представляют соотношения, позволяющие явно выразить все эндогенные переменные  через предопреде­лённые , то одновременно со структурной формой имеет смысл рассмотреть так называемую приведённую (редуцированную) форму линейной эконометрической модели. Требуемый резуль­тат мы получим, домножив слева обе части соотношений (3.4') на матрицу  и уединив затем :

, ,                               (3.6.)

или

,                                          (3.6’.)

где  матрица  и вектор остаточных случайных состав­ляющих  определяются соотношениями

,                                     (3.7.)

,                                        (3.8.)

Система соотношений (3.6’), в которой все эндогенные пере­менные эконометрической модели явно линейно выражены че­рез предопределённые переменные и случайные остаточные ком­поненты, называется приведённой формой линейной экономет­рической модели.

Проиллюстрируем введённые понятия на примере (3.1)-(3.3).

В этом примере число эндогенных переменных, так же как и общее число всех соотношений модели, равно трём (). Сре­ди этих соотношений мы имеем одно тождество (следовательно, , ). Общее число предопределённых переменных , в том числе три экзогенные переменные () и одна лаговая эндогенная переменная () , которую в соответ­ствии с принятой договорённостью кодируем как  (т. е. ).

Структурная форма модели в данном примере задаётся соот­ношениями (3.1)-(3.3). В общих матричных обозначениях, исполь­зованных в (3.4), имеем:

, , ,

, ,

и

.

Если же структурная форма записана в виде (3.4’), то в данном примере участвующие в этой записи матрицы конкретизируются в виде

; .

и

.

Отметим, что, во-первых, выполнено условие нормировки ( входит в уравнение  системы, i = 1,2, с коэффициентом еди­ница); во-вторых, значения элементов матриц В₃, В₄ и С₂ извест­ны, они определяются содержательным смыслом тождества; в третьих, требование невырожденности матриц В₄ и В соблюде­но; и, наконец, в четвёртых, матрицы  и  относительно «слабо заполнены» неизвестными (подлежащими статистическо­му оцениванию) коэффициентами: их всего четыре  и . Последняя особенность рассматриваемой эконометрической модели является достаточно общей отличительной чертой сис­тем эконометрических уравнений. Если бы это было не так, т. е. если бы мы были вынуждены иметь дело с системами, «сильно заполненными» неизвестными коэффициентами, то задача статистического анализа таких систем оказывалась бы принципиаль­но неразрешимой: имеющихся исходных статистических данных просто не хватало бы для корректного проведения такого анали­за. Ведь при построении и анализе систем эконометрических уравнений, описывающих макроэкономические модели, исследо­вателю зачастую приходится иметь дело с десятками и сотнями эндогенных и экзогенных переменных!

Приведённая форма модели (3.1)-(3.3) в данном примере имеет вид

,

,

.

4.Спецификация модели

Эта проблема включает в себя:

а) определение конечных целей моделирования (прогноз, имитация различных сценариев социально-экономического раз­вития анализируемой системы, оценка определённых экономи­ческих характеристик);

б) определение списка экзогенных и эндогенных перемен­ных;

в) определение состава анализируемой системы уравнений и тождеств, их структуры и соответственно списка предопреде­лённых переменных;

г) способ параметризации модели, т. е. определение общего вида искомых функциональных зависимостей, связывающих меж­ду собой анализируемые переменные;

д) формулировку исходных предпосылок и априорных огра­ничений относительно:

• стохастической природы остатков  (в классических вари­антах моделей постулируются их взаимная статистическая неза­висимость или некоррелированность, нулевые значения их сред­них величин и, иногда, сохранение постоянными в процессе на­блюдения значений их дисперсий - гомоскедастичность);

• числовых значений отдельных параметров модели.

Итак, спецификация модели - это первый и, быть может, важнейший шаг эконометрического исследования. От того, на­сколько удачно решена проблема спецификации и, в частности, насколько реалистичны наши решения и предположения относи­тельно состава эндогенных, экзогенных и предопределённых переменных, структуры и общего вида самой системы уравне­ний и тождеств, стохастической природы случайных остатков и конкретных числовых значений части неизвестных параметров модели, решающим образом зависит успех всего эконометричес­кого исследования.

Спецификация опирается как на имеющиеся экономические теории, специальные знания или интуитивные представления ис­следователя об анализируемой экономической системе, так и на специальные методы и приёмы (в том числе, математико-статистические) так называемого разведочного анализа.

5. Идентифицируемость и идентификация модели

При анализе эконометрической модели, представленной системой уравнений вида (3.4) (или (3.4')), исследователя в конечном счёте интересует, прежде всего, пове­дение эндогенных переменных . Из соответствующей приве­дённой формы модели (3.6) видно, что эндогенные переменные  являются по своей природе случайными величинами, поведе­ние которых определяется внутренней структурой модели, а именно элементами матриц В и С и природой случайных остат­ков . Возникает вопрос: а возможно ли, следуя в «обратном направлении», восстановить структурную форму (3.4’) (т. е. все элементы матриц В и С), располагая знанием значений коэффи­циентов приведённой формы (3.6) (т. е. знанием числовых значе­ний всех элементов матрицы  и природы случайных остатков )? Именно этот вопрос и отражает сущность проблемы идентифицируемости эконометрической модели (не смешивать с про­блемой идентификации модели, заключающейся в выборе и реа­лизации методов статистического оценивания её неизвестных параметров, см. ниже).

Ответ на поставленный вопрос в общем случае, очевидно, отрицательный: без дополнительных ограничений на внутрен­нюю структуру модели (т. е. без соблюдения некоторых усло­вий идентифицируемости) по  элементам матрицы  невозможно восстановить гораздо большее число элементов мат­риц В и С (нетрудно подсчитать, что общее число коэффициен­тов  и  в структурной форме равно , хотя, конечно, общее число коэффициентов, подлежащих статисти­ческому оцениванию, оказывается меньшим).

В эконометрической теории приняты следующие определения, связанные с проблемой идентифицируемости СОУ.

1) Уравнение структурной формы эконометрической модели называется точно идентифицируемым, если все участвующие в нём неизвестные (т. е. априори не заданные) коэффициенты однозначно восстанавливаются по коэффициентам приведённой формы без каких-либо ограничений на значения последних.

2) Эконометрическая модель называется точно идентифици­руемой, если все уравнения сё структурной формы являются точно идентифицируемыми.

3) Уравнение структурной формы называется сверхидентифицируемым, если все участвующие в нём неизвестные коэффи­циенты восстанавливаются по коэффициентам приведённой фор­мы, причем некоторые из его коэффициентов могут принимать одновременно несколько (более одного) числовых значений, соответствующих одной и той же приведённой форме.

4) Уравнение структурной формы называется неидентифицируемым, если хотя бы один из участвующих в нём неизвестных коэффициентов не может быть восстановлен по коэффициентам приведённой формы. Соответственно модель называется неидентифицируемой, если хотя бы один из коэффициентов структур­ной формы является неидентифицируемым.

Говоря о проблеме идентифицируемости модели, мы начали с того, что исследователя в конечном счёте интересует поведение эндогенных переменных, и с этой точки зрения может показать­ся несущественной, более того, надуманной проблема «одно­значного возврата» от приведённой формы к структурной. Од­нако в действительности исследователя могут интересовать оце­ночные значения коэффициентов именно структурной формы как имеющие прозрачную экономическую интерпретацию (раз­личные эластичности, мультипликаторы и т. п.). Именно поэто­му проблема идентифицируемости крайне важна с позиций вы­работки предложений по решению следующей проблемы - про­блемы идентификации эконометрической модели, т. е. пробле­мы выбора и реализации методов статистического оценивания участвующих в ней неизвестных параметров.

Идентификация. Решение этой проблемы предусматривает «настройку» записанной в общей структурной форме (3.4') моде­ли на реальные статистические данные (3.5). Другими словами, речь идёт о выборе и реализации методов статистического оце­нивания неизвестных параметров модели (3.4) (т. е. той части элементов матриц В и С, значения которых не являются априо­ри известными) по исходным статистическим данным (3.5).

Верификация модели. Эта проблема, так же, как и проблема идентификации, является специфичной, связанной с построени­ем именно эконометрической модели. Собственно построение эконометрической модели завершается сё идентификацией, т. е. статистическим оцениванием участвующих в ней неизвестных коэффициентов (параметров)  и . После этого, однако, воз­никают вопросы:

а) насколько удачно удалось решить пробле­мы спецификации, идентифицируемости и идентификации моде­ли, т. е. можно ли рассчитывать на то, что использование пост­роенной модели в целях прогноза эндогенных переменных и имитационных расчётов, определяющих варианты социально-эко­номического развития анализируемой системы, даст результаты, достаточно адекватные реальной действительности?

б) какова точность (абсолютная, относительная) прогнозных и имитацион­ных расчётов, основанных на построенной модели?

Получение ответов на эти вопросы с помощью тех или иных математико-статистических методов и составляет содержание проблемы ве­рификации эконометрической модели.

6. Математико-статистический инструментарий эконометрики

Математико-статистический инструментарий эконометрики базируется, в основном, на избранных разделах многомерного статисти­ческого анализа и анализа временных рядов, развитых в направлении обобщений ряда традиционных для этих разделов постановок задач. Эти обобщения (подчас весьма далеко иду­щие) инициированы специфическими особенностями экономи­ческих приложений.

1) Регрессионный анализ. В это понятие в эконометрике вкладывается широкий смысл. Оно включает в себя, в частности,:

· классичес­кую линейную модель множественной регрессии (КЛММР) и связанный с ней метод наименьших квадратов (МНК);

· обоб­щённую линейную модель множественной регрессии (ОЛММР) и связанный с ней обобщённый метод наименьших квадратов (ОМНК);

· регрессию со стохастическими объясняющими пере­менными и связанный с ней метод инструментальных перемен­ных.

В рамках этого же раздела рассматриваются задачи по­строения регрессионной модели по неоднородным исходным дан­ным (в связи с этим вводится понятие фиктивных переменных либо, если граница между однородными подвыборками исход­ных данных не определена, предлагается предварительно прово­дить их кластер-анализ), а также - по цензурированным или урезанным исходным данным (в связи с этим рассматриваются различные модели, учитывающие смещения статистических выводов, вызванные ограничениями на отбор элементов выбор­ки) - тобит-модель, sample selection model.

Цензурирование или урезание результатов выборочного об­следования естественным образом возникает при исследовании «длительности жизни» какого-либо процесса или элемента, вре­мени нахождения системы (элемента) в определённом состоя­нии: время жизни индивида, период безотказной работы прибо­ра, время поиска работы безработным, длительность забастовки и т. п. Модели, описывающие механизм подобных явлений, на­зывают моделями длительности жизни. Центральным объектом исследования в подобных моделях является так называемая ин­тенсивность отказов или коэффициент смертности , имею­щий следующий смысл: если к моменту времени t процесс ещё не завершился (индивид не умер), то вероятность его окончания (смерти) в течение следующего малого промежутка времени  есть . В эконометрических исследованиях, как правило, пытаются описать, как интенсивность отказов  зависит от ряда экзогенных (объясняющих) переменных  (напри­мер, в демографии исследуют зависимость коэффициента смерт­ности от ряда социально-экономических характеристик индиви­да). В этом смысле эконометрические модели длительности жиз­ни можно условно также отнести к разделу «Регрессионный анализ».

К этому же разделу относятся и регрессионные модели, в которых зависимая переменная имеет неколичественную приро­ду, — так называемые модели бинарного и множественного вы­бора (в том числе, логит- и пробит-модели). Граничное положе­ние (между разделами «Регрессионный анализ» и «Анализ вре­менных рядов») занимают регрессионные модели с распределён­ными лагами: постановка задачи здесь регрессионная, а исход­ные данные представлены в виде временных рядов.

2) Анализ временных рядов. Существенную роль в инстру­ментарии эконометрики играют модели авторегрессии порядка  АР(), скользящего среднего порядка  CC(), авторегрессии - сколь­зящего среднего APCC(), авторегрессии - проинтегрирован­ного скользящего среднего APTlCC(), наконец, различные версии их многомерных обобщений (например, векторные моде­ли авторегрессин ВАР(), векторные модели авторегрессии -скользящего среднего ВАРСС() и др.[1].).

В ряде прикладных эконометрических работ, в частности, при анализе и моделировании макроэкономических данных, характе­ризующих процессы инфляции и внешней торговли, механизм формирования нормы процента и т. п., была выявлена некото­рая общая закономерность в поведении случайных остатков (оши­бок прогноза)  исследуемых моделей: их малые и большие значения группировались целыми кластерами, или сериями. Причём это не приводило к нарушению их стационарности и, в частности, их гомоскедастичности для относительно больших временных интервалов, т. е. гипотеза  не противоре­чила имеющимся экспериментальным данным. Однако в рамках моделей АРСС удовлетворительно объяснить этот феномен не удавалось. Требовалась определённая модификация известных моделей.

Такая модификация была предложена впервые Р. Энглом в 1982. Он рассматривал остатки  как условно гетероскедастичные, связанные друг с другом простейшей авторегрессионной зависимостью, а именно:

, (6.1.)

или, что то же,

,

где последовательность , t= 1,2,..., - образует стандартизо­ванный нормальный белый шум (т. е.  и  независимы при  и , а параметры  и  должны удовлетворять ограничениям, обеспечивающим безусловную гомоскедастичность  (такими ограничениями являются требования , ). При этом под [] подразумевается, что речь идёт о случай­ной величине, рассматриваемой в предположении, что её значе­ние в предшествующий момент времени зафиксировано (зада­но). Соответственно, её поведение будет описываться условным законом распределения вероятностей.

В соответствии с установившейся терминологией, модель (6.1.) называется авторегрессионной условно гетероскедастичной (со­кращённо АРУГ). В англоязычной литературе такие модели на­зывают AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity (сокращённо ARCH-model).

Использование такой модели для описания поведения остат­ков моделей регрессии и временных рядов в упомянутых выше типовых ситуациях оказывается более адекватным действитель­ности и позволяет строить более эффективные оценки парамет­ров рассматриваемых моделей, чем обычные или даже обобщён­ные МНК – оценки.

Естественное обобщение моделей типа (6.1.) было предложено Р. Энглом и Д. Крафтом в 1983:

,                    (6.2.)

а параметры  связаны некоторыми ограничениями, обеспечивающими безусловную гомоскедастичность остатков .

Модели (6.2.) называются моделями АРУГ порядка  (сокра­щённо АРУГ()). Содержательно переход к  > 1 в моделях (6.2.) означает, что процесс формирования значений остатков  имеет «более длинную память» о величинах предшествующих остатков . Кстати, АРУГ()-модель (6.2.) может рассматри­ваться как некая специальная форма СС()-модели, что и ис­пользуется при её анализе.

Дальнейшее обобщение моделей этого типа было сделано в 1986 Т. Боллерслевом. Он предложил описывать пове­дение остатков  с помощью обобщённой авторегрессионной ус­ловно гетероскедастичной модели (ОАРУГ-модели, или, в англо­язычном варианте, — GARCH-model), которая записывается в виде

где условная дисперсия  имеет вид           (6.3.)

.

В соотношениях (6.3.) под  подразумевается вся информа­ция о процессе , которой мы располагаем к моменту времени  (т. е. все значения  и  для ), а параметры  и  (k= 1,2,...,р; j = 0,1,...,q) связаны ограничениями, обеспечиваю­щими безусловную гомоскедастичность остатков . Модель ОАРУГ(), задаваемая соотношениям (6.3.), может интерпрети­роваться как специальная форма АРСС()-модели. На ряде примеров показано, что использование ОАРУГ()-модели по­зволяет добиваться более экономной параметризации в описании поведения остатков , чем в рамках АРУГ()-моделей (т. е. мо­дели ОАРУГ() при малых значениях  оказываются более точными, чем АРУГ()-модели при больших значениях ).

Другие важные понятия, используемые при анализе времен­ных рядов, это интегрируемость ряда (определённого порядка) и контеграция временных рядов. Одними из первых эти понятия рассмотрели Энгл и К. Грэнжер в связи с задачей построения модели регрессии по нестационарным временным рядам. Временной ряд  называется интегрируемым порядка , если он становится впервые стационарным после -кратного применения к нему разностного оператора . В регрессионном анализе обычно одновременно рассматривается несколько временных рядов. Очевидно, если  - интегрируемый временной ряд порядка , и  — интегрируемый временной ряд порядка , причём , то при любом значении параметра  (в том числе при , где  - МНК-оценка коэффициента регрессии в модели парной регрессии  по ) случайный остаток  будет интегри­руемым временным рядом порядка . Если же , то константа  может быть подобрана так, что  будет стационар­ным (или интегрируемым порядка 0) с нулевым средним. При этом вектор (1; - ) (или любой другой, отличающийся от этого сомножителем) называется коинтегрирующим. При регрессион­ном анализе временных рядов  и  их коинтеграция (согласо­вание порядков их интегрируемости) производится обычно по следующей схеме:

1) рассматривается модель  и стро­ится МНК-оценка  для параметра ;

2) ряд  анализируется на стационарность в рамках одной из моделей APCC(p,q); например, в рамках АР(1)-модели проверяется ги­потеза || < 1 в представлении ;

3) если результат отрицательный, то возвращаются к спецификации исходной мо­дели, пробуя в качестве зависимой и объясняющей переменных различные варианты  и .

3) Системы одновременных уравнений (СОУ). Выше был приведён пример системы одновременных линейных уравнений (см. (3.1)-(3.3)), дано определение СОУ (см. (3.4)) и рассмотрены основные проблемы, возникающие при их построении и анализе (спецификация, идентифицируемость, идентификация и верифи­кация). Неприменимость (в общем случае) обычного МНК как средства получения состоятельных оценок для неизвестных па­раметров СОУ инициировала разработку ряда специальных ме­тодов идентификации СОУ: косвенного МНК, двух- и трёхшагового методов наименьших квадратов (2МНК и ЗМНК), мето­да максимального правдоподобия с ограниченной и с полной информацией, метода инструментальных переменных и др. По­этому правомерно выделить проблематику построения и анализа СОУ в качестве одного из трёх основных разделов эконометрики.

В общих чертах образ действий при идентификации СОУ мо­жет быть описан следующим образом (далее используются обо­значения, принятые в соотношениях (3.4) и (3.5)).

а) методы статистического оценивания параметров СОУ под­разделяются на два класса:

1) методы, предназначенные для оценки параметров одного отдельно взятого уравнения системы (МНК, косвенный МНК, 2МНК, метод максимального правдо­подобия с ограниченной информацией);

2) методы, предназна­ченные для одновременного оценивания параметров всех урав­нений системы с учётом их взаимосвязей (ЗМНК, метод макси­мального правдоподобия с полной информацией).

б) Если уравнения структурной формы модели могут быть расположены в таком порядке, что уравнение  (i = l,2,...,m) может содержать в качестве объясняющих эндогенных перемен­ных только переменные  (или часть из них), а случайное возмущение  этого уравнения не коррелирует со всеми этими эндогенными переменными, то такая система назы­вается рекурсивной, и последовательное применение к каждому уравнению такой системы обычного МНК даёт состоятельные оценки её структурных параметров. Класс рекурсивных систем является простейшим с точки зрения решения задачи оценива­ния структурных параметров СОУ.

в) Если исследователя интересуют только параметры приве­дённой формы и задача прогноза эндогенных переменных, то он может ограничиться применением обычного метода наименьших квадратов к каждому отдельному уравнению приведённой фор­мы (с последующей оценкой, если это необходимо, идентифици­руемых параметров структурной формы). Такой образ действий называют косвенным методом наименьших квадратов, или мето­дом наименьших квадратов без ограничений, а оценки, получен­ные с его помощью, будут состоятельными.

г) В ситуациях, когда среди уравнений системы имеются не-идентифицируемые, так же как и в случаях, когда оценивание и анализ параметров структурной формы представляют для иссле­дователя самостоятельный интерес, обычно применяют двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК). Этот метод пред­назначен для оценивания параметров отдельного уравнения струк­турной формы, а его последовательное применение к каждому из уравнений структурной формы СОУ позволяет получить со­стоятельные оценки всех структурных параметров (хотя 2МНК и не учитывает возможные взаимосвязи между уравнениями системы).

д) Сущность двух шагов 2МНК заключается в следующем. На 1-м шаге для каждой эндогенной переменной, играющей роль объясняющей в анализируемом уравнении структурной формы, с помощью обычного МНК строится регрессия на все предопре­делённые переменные . На 2-м шаге эта эндогенная перемен­ная заменяется в рассматриваемом уравнении её регрессионным выражением через , после чего в правой части этого уравне­ния остаются только предопределённые переменные и к нему применяется обычный МНК. В моделях с большим числом пре­допределённых переменных в целях снижения размерности ре­комендуется на 1-м шаге строить регрессию предикторной эндо­генной переменной не на все предопределённые переменные, а лишь на небольшое число их главных компонент.

е) Если структурные случайные возмущения  различных уравнений системы взаимно коррелированы, то для оценивания структурных параметров рекомендуется применять другие мето­ды, например, трёхшаговый метод наименьших квадратов (3МНК). Этот метод предназначен для одновременного оцени­вания структурных параметров всех уравнений системы и даёт их состоятельные оценки, по эффективности превосходящие оценки (тоже состоятельные) 2МНК.

ж) ЗМНК использует полученные на первых двух шагах 2МНК оценки структурных параметров для вычисления оценки кова­риационной матрицы возмущений различных уравнений струк­турной формы. Затем на 3-м шаге оценки структурных парамет­ров системы пересчитываются с помощью обобщённого МНК в рамках соответствующей схемы обобщённой линейной модели множественной регрессии, в которой в качестве ковариационной матрицы остатков используется полученная ранее оценка кова­риационной матрицы возмущений.

з) В ряде ситуаций могут оказаться полезными и другие мето­ды статистического оценивания параметров СОУ. Для оценива­ния параметров одного отдельно взятого уравнения — это, на­пример, метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (требующий, правда, дополнительного априорного предположения о нормальном характере распределения струк­турных возмущений модели), для одновременной оценки всех структурных параметров системы может использоваться метод максимального правдоподобия с полной информацией.

и) Одна из главных конечных прикладных целей построения и анализа эконометрических моделей в виде СОУ — это точеч­ный и интервальный прогноз эндогенных переменных по задан­ным значениям предопределённых переменных и связанная с этим задача проведения многовариантных сценарных расчётов, показывающих, как будут «себя вести» эндогенные переменные при различных сочетаниях значений предопределённых перемен­ных. «Точечное» решение этих задач основано на подсчёте зна­чений эндогенных переменных с помощью статистически оце­нённой приведённой формы СОУ. Для получения «интерваль­ных» вариантов решения необходимо уметь оценивать ковариа­ционную матрицу ошибок точечного прогноза, что является за­дачей аналитически достаточно сложной.

Структуризация перечисленных разделов эконометрики была основана на специфике типовых постановок решаемых в рамках каждого и этих разделов прикладных задач. Однако, говоря о содержа­нии эконометрики, следует упомянуть и о развиваемом в рамках этой дисциплины методологическом базисе, компоненты которого могут использоваться при решении задач всех перечисленных выше типов. К основным составляющим этого методологического ба­зиса, прежде всего, следует отнести:

• метод максимального правдоподобия;

• обобщённый метод моментов;

• теория больших выборок, или асимптотические результаты те­ории вероятностей;

• методы анализа панельных данных, т. е. многомерных ис­ходных данных, регистрируемых на совокупности одних и тех же объектов в течение ряда тактов времени;

• непараметрические и полупараметрические методы статисти­ки;

• статистические методы классификации: дискриминантный и кластер анализы;

• статистические методы снижения размерности: главные ком­поненты, факторный анализ и др.;

• теория имитационно-компьютерного эксперимента: метод Монте-Карло, бутстреп, перекрёстный компьютерный анализ дееспособности модели (cross-validation method) и др.

Правда, поскольку все эти направления исследований разра­батываются также и в рамках дисциплины «Математическая ста­тистика», подчас трудно определить, какие из работ и научных результатов данной проблематики следует отнести к эконометрике, а ка­кие - к математической статистике. Отличительной особенностью эконометрических работ является такая модификация класси­ческих постановок задач, которая инициируется спецификой именно экономических приложений.

Литература

1.Андерсон Т.Статистический анализ временных рядов, пер. с англ., М., !976

2. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974

3. Бриллинджер Д., Временные ряды, Обработка данных и теория., пер. с англ., М., 1980

4. Кендалл М., Стюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973

5. Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ, 2 изд., М., 1975

6. Ципкин Я. 3., Адаптация и обучение в автоматических систе­мах, М., 1968.

7. Вазан М. Стохастическая аппроксимация, М., 1972;

8.Невельсон М. Б., Хасьмииский Р. 3., Стохастическая аппрок­симация и рекуррентное оценивание, М., 1972.

9. Ермольев Ю. М., Ме­тоды стохастического программирования, М., 1976.

10. Закс Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М.,  1975.

11. Ермаков С. М., Михайлов Г. А., Статистическое моделирование, 2 изд., М., 1982.

12. Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, М., 1956.

13. Роза­нов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963.

14.Чжун К. Л., Однородные цепи Маркова, М., 1964.

15. Ибрагимов И. А., Роза­нов Ю. А., Гауссовскнс случайные процессы, М., 1970.

16.Севастья­нов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971.

17. Гихман И. И., Ско­роход А. В., Теория случайных процессов, т. 1—3, М., 1971, 1973, 1975.

18. Гихман И. И., Ско­роход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1977.

19. Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, М., 1976.

20.Ширяев А. Н., Вероятность, М., 1980.

21. Боровков А. А., Теория вероятностей, М., 1986.

22. Дуб Дж.Л., Вероятностные процессы, М., 1956.

23. Чжуи К. Л., Одпородные цепи Маркова, М., 1964.

24 Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, М., 1976.

25. Л и Ц., Джадж Д., Зель-нер А., Оценивание параметров марковских моделей по агрегирован­ным временным рядам, М., 1977.

26. Ширяев А. Н., Вероятность, М., 1980.

27. Billingslcy P., Statistical Methods in Markov chains, Ann. Math. Stat., v. 32, № 1, 1961.

28. Дуб Дж.Л., Вероятностные процессы, М., 1956

29. Роза­нов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963

30. Чжуи К Л., Однородные цепи Маркова, М., 1964.

31 Ибрагимов И. А., Ро­занов Ю. А., Гауссовские случайные процессы, М., 1970.

32 Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1 —3, М., 1971, 1973, 1975.

33 Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1977.

34. Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971.

35. Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, М., 1976.

36 Ширя­ев А. Н., Вероятность, М., 1980.

37. Вальд А., Статистические решающие функции, в сб.: По­зиционные игры, М., 1967.

38 Вальд А., Последовательный анализ, М., 1960.

39. Леман Э., Проверка статистических гипотез, М., 1979.

40. Ив­ченко Г. И., Медведев А. И., Математическая статистика, М., 1984.

41. Berger J. О, Statistical Decision theory, N. Y. - Berlin, 1984.

42. .: Липцср Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974

43. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З., Асимптотическая теория оценивания, М., 1974

44. Айвазян С. А., Енюков И. С, Мешалкин Л. Д., Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных, М., 1983

45. Айвазян С. А., Енюков И. С, Мешалкин Л. Д., Прикладная статистика. Исследование зависимостей, М., 1983

46. Хьюбер П., Робастпость в статистике, М., 1984

47. Рао С. Р., Линейные статистические методы и их примене­ния, пер. с англ., М., 1968.

48. Кендалл М.Дж., Стьюарт А., Ста­тистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973

49. Тюрин Ю.Н., ВНИИ системных исследований, сб. трудов, вып. 11, М, 1984

50. Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы ма-тематико-статнстичсской теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962

51. Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, М., 1968

52. Альберт А., Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание, М., 1977

53. Себер Дж., Линейный регрессионный анализ М., 1980

54. Вересков А. И., Федоров В. В., Методы решения не­стандартных регрессионных задач, в сб.: «Статистические модели и ме­тоды», М., 1984

55. Дрейпер Н., Смит Г., Прикладной регрессион­ный анализ, 2 изд., М., 1986

56. Айвазян С.А.. Бежаева 3. И., Ста­роверов В., Классификация многомерных наблюдений, М., 1974

57. Fisher R. A., Ann. of Eugenics, 1936, v. 7, p.179-88.

58. Шеффе Г., Дисперсионный анализ, пер. с англ., М., 1963

59. Кендалл М.Дж.,Стьюарт А., Многомерный статистический ана­лиз и временные ряды, пер. с англ., М., 1976

60. Болч Б., Хуапь К.Дж., Многомерные статистические методы для экономики, пер. с англ., М., 1979

61. Себер Дж., Линейный регрессионный анализ, пер. с англ., М., 1980

62. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д., Прикладная статистика: исследование зависимостей, М., 1985

63. Айвазян С.А., Основы эконометрики, 2-е изд., М., 2001

64. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометри­ка. Начальный курс, 3-е изд., М., 2000

65. Харман Г., Современный факторный анализ, М., 1972

66. Айвазян С.А., Бежаева 3. И., Староверов О.В., Класси­фикация многомерных наблюдений, М., 1974

67. Иберла К., Фактор­ный анализ, М., 1980

68. Благуш П., Факторный анализ с обобщени­ями, М., 1989

69 Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963

70. Кендалл М. Дж., Стьюарт Ф., Мно­гомерный статистический анализ и временные ряды, пер. с англ., М. 1976

71. Большев Л. Н., «Bull. Int. Stat. Inst.», 1969, №43, p. 425-41

72. Wishart J., «Biometrika», 1928, v. 20A, p. 32-52

73. Hotelling H. «Ann. Vath. Stat.», 1931, v. 2, p. 360-78

74. Kruskal J. В., «Psychomet rika», 1964, v. 29, p. 1-27

75. Айвазян С. А., Бухштабср В.М. Енюков И.С, Мешалкин Л. Д., Прикладная статистика: классификация и снижение размерности, М., 1989

76. Айвазян С. А. Енюков И. С, Мешалкин Л. Д., Прикладная статистика: иссле­дование зависимостей, М., 1985

77. Соболь И.М., Численные методы Монте-Карло, М., 1973

78. Ермаков СМ., Михайлов Г.А., Статистическое моделирование, М., 1982

79. Форрестер Дж., Основы кибернетики предприятия, М., 1971

80. Нэйлор Т., Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем, М., 1975

81. Яковлев Е.И., Машинная имитация, М., 1975

82. Геронимус Ю.В., Имитационное моделирование и систем­ность, «Экономика и математические методы», 1985, т. XXI

83.Модель­ные эксперименты с механизмами экономического управления, М., 1989.

метод главных компонент, анализ канонических корреляций

статистика Хотеллинга

анализ канонических корреляций

смеси вероятностных распределений,  многомерное шкалирование

конфлюентного анализа

методам экстремальной группировки признаков

Бесплатная лекция: "Логика изложения" также доступна.

методы решения простой и обобщённой зада­чи о собственных значениях и векторах; простое обращение и псевдообращение матриц; процедуры диагонализации матриц

корреляционная функ­ция и спектральная функция

периодограмма

Интеграл Лебега

В рамках этого понятия рассматриваются бейесовские и минимаксные статистические оценки.

---

[1] Айвазян С. А., Основы эконометрики, М., 2001