Линейно-круговой интерполятор с оценочной функцией

Линейно-круговой интерполятор с оценочной функцией.

         Этот тип интерполятора не имеет накопленной погрешности и, кроме того, на его основе сравнительно легко производить автоматический расчет эквидистанты по данному радиусу инструмента.

         Рассмотрим линейную часть интерполятора. Работа интерполятора основана на том, что в результате отработки одного шага (импульса) по оси DХ или DY вычисляется функция F, оценивающая по какой оси дать следующий импульс, чтобы перемещение, возникающее в результате этого шага, приближалась к обрабатываемому прямолинейному контуру.

Пусть необходимо отработать приращения DХ и DY,т.е. придти в точку с координатами x_k и y_k .Прямая, соединяющая начало координат с этой точкой и есть заданная прямая. Т.к. перемещение на один импульс величина конечная, то текущее значение координат точек (X_iY_i) может быть как выше (область F>0),так и ниже ( F<0 ) теоретической прямой, а может находиться и на данной прямой (F=0).

         Если в результате вычисления оказывается F>=0,то импульс всегда выдается по оси Х,а если F<0 - то по оси Y. Первый импульс, т.е. движение от начала координат (Хо,Yo) всегда выдается по оси Х. Причем, если интерполируемый отрезок совпадает с осью Х (Yк=0),то траектория интерполяции совпадает с самим отрезком и не выходит из области F = 0.Если же интерполируемый отрезок совпадает с осью Y, то при этом первый шаг, который всегда должен быть по оси Х и все последующие не делаются.

         Пусть текущее значение координат будет Хi и Yi. Тогда:

Yк/Хк = tga  и Yi/Xi = tga`

Если  a`>a,то F=tga` -tg a>0 и точка находится в области F >0.

Если  a`<a ,то точка находится в области F < 0.

Текущее значение функции F будет

Рекомендуемые материалы

Fij = tga` - tga =YiXк - XiYк.

В результате шага по оси Х, получим

Fi ,j = YiXк - Xi Yк

Но Хi = Xi + 1,следовательно

Fi ,j = YiXк-(Xi+1)Yк = (YiXк-ХiYк)-Yк = Fij-Yк.

После шага по оси Y аналогичным образом получим

Fi,j = Fij + Хк.

         Таким образом, для определения значения функции F после шага по оси Х от предыдущего значения функции F отнимается значение Yк,а после шага по оси Y к предыдущему значению F прибавляется значение Хк.

Здесь i = 1,2,3...к,

           j = 1,2,3...к.

         Поскольку начальное значение оценочной функции F равно 0 (F=0), то все последующие значения этой функции определяются только с помощью величин Хк и Yк. При этом знак оценочной функции, определяемый интерполятором, и, получившийся в результате очередного шага, определяет, в свою очередь, направление следующего шага. Окончание процесса интерполяции определяется интерполятором путем сравнения координат промежуточной и конечной точек обработки.

         Основным недостатком такого интерполятора является его сравнительная сложность и зависимость скорости обработки от угла наклона обрабатываемого участка.

         При круговой интерполяции с оценочной функцией решается уравнение окружности вида ,при этом обеспечивается воспроизведение окружности с точностью до одного импульса.

Окружность, на которой расположен интерполируемый отрезок дуги, разделяет плоскость на две области F>0 и F<0. Сама окружность представляет собой область, где F=0 Интерполируемый отрезок дуги имеет начальные координаты ХоYо и конечные - XкYк. Если промежуточная точка, например Х₂ Y₆ находится в области F>=0, то очередной шаг делается по оси Х, а если в области F<0 (например Х Y ) - то по оси Y.

         При интерполяции дуги окружности, расположенной в 1-м квадранте в направлении против часовой стрелки, при шаге по оси Х в направлении "минус", т.е. из точки ХiYjв точку Хi Yj, координата промежуточной точки траектории интерполятора уменьшается на единицу

Хi = Xi_-1

         При шаге по оси Y из точки XiYj в точку XiYj координата Y промежуточной точки траектории интерполяции увеличивается на единицу

Yj = Y_j+1

         При круговой интерполяции координаты начальной точки траектории (ХоYo)¹0 и зависят от радиуса интерполируемой дуги окружности в соотношении

Xo² + Yo² =R² .

         Величина оценочной функции в начальной точке траектории равна нулю, так как находится на самой дуге (в области F = 0).

Fоо = 0

         Значение оценочной функции в промежуточной точке траектории интерполяции с координатами ХiYj определяется формулой

Fij = Xi² + Yj² – R² .

         При шаге по оси Х из т. ХiYj в т.ХiYj, получим.

Fij =Х_i+1²+Y_j²–R²=(Xi-1)²+Yj²–R²=Xi²-2Xi+1+Yj²-R²=Fij-2Xi+1,

         т.е.

Fi ,j = Fij - 2Xi +1

         Аналогично при шаге по оси Y из точки ХiYj в т. XiYj ,получим

Fij₊₁=Xi²+ Yj₊₁²-R²=Xi²+(Yj+1)²-R²=Xi²+Yj²+2Yj+1-R²=Fij + 2Yi + 1 ,

         T.e.

Fi,j₊₁ = Fij +2Yj+1

         Поскольку начальное значение оценочной функции равно нулю (Foo=0), то все последующие значения этой функции определяются текущими кординатами траектории интерполяции.

"Море инь" - тут тоже много полезного для Вас.

         Один из методов построения кругового интерполятора с оценочной функцией был предложен В.В.Карибским (рис.1). По этому методу следующий шаг по оси Y делается только в том случае, если в результате этого шага функция F оставалась бы больше нуля. Если это условие не выполняется, то делается шаг

по оси Х.

         Другой метод построения кругового интерполятора, предложенный Гроссманом, (рис.2) состоит в том, что в зависимости от знака текущего значения функции F дается шаг по той или иной оси. Если F<0,шаг делается по оси Х;если же F>0,то шаг делается по оси Y.

         Общим недостатком обоих методов является изменение скорости в процессе обработки в 1,4 раза.

         Из сравнения рассмотренных методов круговой интерполяции с точки

зрения количества электронного оборудования, точности обработки траектории, простоты программирования и быстродействия наиболее выгодной является интерполяция с использованием оценочной функции по методу Гроссмана.