Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задана таблица измерений:
Тогда задача формулируется следующим образом: для функции F(xi), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:
В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:
- степенная
- показательная
- дробно-линейная
- логарифмическая
- гиперболическая
- дробно-рациональная
- линейная
- квадратный трехчлен
a, b, m, c – неизвестные параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.
Рассмотрим задачу в общем виде.
Приближающая функция имеет общий вид:
Сумма квадратов:
Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:
т. е.
Вам также может быть полезна лекция "Использование адаптивного поведения в процессе деятельности".
Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).
Естественно, что F(xi) отличается от yi , но отношения
будут минимальны в среднеквадратичном случае.
Рассмотрим метод наименьших квадратов для различных функций.