Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана таблица измерений:

Тогда задача формулируется следующим образом: для функции F(x_i), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:

- степенная                               

- показательная                        

- дробно-линейная                   

- логарифмическая                   

- гиперболическая                   

- дробно-рациональная           

- линейная                                

- квадратный трехчлен            

a, b, m, c – неизвестные параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.

Рассмотрим задачу в общем виде.

Приближающая функция имеет общий вид:

Сумма квадратов:

Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:

т. е.

Вам также может быть полезна лекция "Использование адаптивного поведения в процессе деятельности".

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).

Естественно, что F(x_i) отличается от y_i , но отношения

будут минимальны в среднеквадратичном случае.

Рассмотрим метод наименьших квадратов для различных функций.