Основные понятия теории вероятностей

2020-06-032021-03-09zzyxelСтудИзба

2. Основные понятия теории вероятностей

2.1. Основные понятия

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций. Рассмотрим значение термина «случайный» применительно к событиям, величинам и функциям.

Каждое событие, происходящее в окружающем мире, является результатом воздействия большого числа других событий, влияющих на возможность возникновения данного события. Случайным событием называется событие, которое может в данных конкретных условиях или произойти, или не произойти. В отличие от этого достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, а невозможным – событие, которое не может произойти. Что дает основание считать то или иное событие случайным, достоверным или невозможным?

Только опыт или наблюдения за событиями могут привести
к каким-либо выводам. Однако опыт или наблюдения должны быть при этом достаточно длительными, иначе суждение о том, что событие является случайным, достоверным или невозможным, может оказаться ошибочным. Только при достаточно большом количестве наблюдений за данным событием можно установить, является ли вообще данное событие случайным.

Естественно, возникает вопрос, существуют ли закономерности у случайных событий? Не являются ли понятия «закономерность»
и «случайность» взаимно исключающими? Нет, эти понятия диалектически связаны между собой и не исключают друг друга. Если рассматривать достаточно большое число случаев, когда событие может произойти или не произойти, или производить большое число проб (испытаний), то у любого случайного события начнет проявляться определенная объективная закономерность.

Давно было замечено, что если многократно наблюдать то или иное случайное событие, то относительная частота его возникновения слабо колеблется относительно некоторой постоянной величины, причем, чем больше число наблюдаемых случаев, тем меньше размер этих колебаний. Устойчивость относительной частоты возникновения случайного события при значительном числе наблюдаемых случаев (испытаний) дает основание считать, что та величина, около которой колеблется относительная частота, характеризует объективную возможность осуществления данного случайного события. Эта величина в теории вероятностей называется вероятностью события. Таким образом, закономерность случайного события проявляется при достаточно большом числе наблюдений или испытаний.

Случайной величиной называется величина, принимающая
в результате опыта то или иное значение; это значение неизвестно заранее. Между случайной величиной и случайным событием существует тесная связь. Все случайные величины подчинены тем или иным объективным закономерностям. Так, например, они могут иметь ограниченные области возможных значений; различные значения случайных величин могут иметь различные вероятности. Заметим, что
к числу случайных величин относятся такие величины, как ошибки измерения, ошибки прогнозирования и т. п.

В энергетике случайные события имеют место также, как и во всех других отраслях деятельности человека. Энергетические системы объединяют большое число различных технических устройств, как генерирующих, так и передающих энергию; особенно велико число устройств, преобразующих энергию. Естественно, что условия работы большой совокупности даже однородных технических устройств резко отличаются друг от друга и носят, с точки зрения энергетической системы как целого, случайный характер. Так, например, то или иное устройство потребителей (электродвигатель, электровоз, электрическая лампа, электронагревательный прибор) случайно может быть или включенным, или отключенным от электрической сети, работать с той или иной степенью использования. В результате наложения друг на друга таких случайных событий получается та или иная величина спроса электрической мощности в энергосистеме, зависящая от совокупности случайных событий.

Только зная вероятностные характеристики таких случайных событий можно правильно определить суммарную величину спроса, величину необходимого резерва мощности и т. д.

Возможны два метода определения вероятности случайного события: классическое и статистическое.

2.2. Связи между событиями

Различные связи случайных событий и их символическое изображение даются ниже:

1) . Событие А содержится в В, т. е. если событие A происходит, то обязательно происходит и событие В;

2) . Событие А происходит, если происходит В, и наоборот. Это условие эквивалентно двум условиям: и ;

3) . События А и В происходят одновременно;

4) . Происходит или событие А, или событие В, или оба одновременно (происходит хотя бы одно из событий А и В);

5) . Событие А происходит, но при этом событие В не происходит;

6) – событие противоположное А. Если А происходит, то не происходит, и наоборот. При этом т. е. одно из событий А и обязательно происходит. Кроме того, , т. е. одновременно А и не могут происходить;

7) . События А и В несовместимы, т. е. одновременно произойти не могут. Отличие несовместимых событий от противоположных в том, что несовместимые события могут не происходить;

8) и . Событие А подразделяется на частные случаи: В₁, В₂ и В₃, которые попарно несовместимы. Событие А может не происходить вообще;

9) и . Полная группа несовместимых событий. Одно из них обязательно происходит.

Наглядное графическое представление указанных связей между случайными событиями дает рис. 2.1.

Описание: p-2

Рис. 2.1

на данном рисунке рассмотренным случаям соответствует квадрат с площадью, равной единице. На площадь этого квадрата произвольно ставится точка, что соответствует некоторому конкретному случаю. Если точка попадает в область A, то событие A происходит. Если она попадает вне области А, то событие А не происходит (площадь области А характеризует вероятность события А). Заштрихованная часть квадрата соответствует событию.

2.3. Вероятность события. Определение вероятности сложных событий в энергетике

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

В дальнейшем будем обозначать вероятность события А через .

Два случайных события, например А и В, будут считаться независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого, и зависимыми – в обратном случае.

Обычно в энергетике приходится изучать вероятности не простых случайных событий, а сложных случайных событий, являющихся комбинациями ряда простых (элементарных). Определение вероятности сложного события через известные значения вероятности простых событий производится, исходя из так называемых законов вероятности сложных событий.

Для независимых случайных событий эти законы могут быть сформулированы следующим образом:

1) вероятность возникновения хотя бы одного из двух случайных независимых и несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Возникновение одного из двух случайных событий А и В символически обозначается их суммой :

; (2.1)

2) вероятность возникновения хотя бы одного из двух независимых и совместимых случайных событий А и В может быть записана как

; (2.2)

3) вероятность одновременного возникновения двух несовместимых событий А и В равна нулю. Одновременное возникновение двух событий А и В символически обозначается их произведением АВ. В данном случае

; (2.3)

4) вероятность одновременного возникновения двух независимых и совместимых событий равна произведению их вероятностей:

; (2.4)

5) сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Событие А, противоположное данному событию А, всегда происходит, если не происходит событие А, и всегда не происходит, если событие А происходит, т. е.

. (2.5)

Вероятность противоположного события

. (2.6)

Рассмотрим применение указанных законов в энергетике. Аварийные повреждения оборудования являются случайными событиями. При большом числе агрегатов электростанций и элементов сети повреждение одних устройств может сочетаться с повреждением других устройств. Возникает задача определения вероятности одновременного повреждения двух, трех и более устройств (агрегатов) или элементов сети. В ряде случаев необходимо также определять вероятность того, что никаких повреждений в энергосистеме нет, т. к. эта величина характеризует надежность работы всего оборудования. Эти задачи возникают обычно при необходимости выбора оптимального решения, связанного с обеспечением надежности работы энергосистемы (выбор оптимального резерва мощности), или надежности питания отдельных потребителей (выбор оптимальной схемы электроснабжения потребителя), или устойчивости энергосистемы (выбор оптимального уровня устойчивости). Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как независимые и совместимые случайные события. Вероятность каждого из них может быть определена как статистическая вероятность на основе длительного наблюдения над аварийностью данного или однотипного оборудования.

Рассмотрим вероятности зависимых случайных событий. Пусть события А и В являются зависимыми, т. е. вероятность одного из этих событий изменяется, если происходит другое событие. Для оценки этого вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А по В называется вероятность события А, если происходит событие В. Она обозначается через .

Основные законы для взаимозависимых случайных событий формулируются следующим образом:

1) условная вероятность события А по В при их совместимости и взаимозависимости равна отношению вероятности одновременного наступления событий А и В к вероятности события В:

, (2.7)

причем в этом случае не равно ;

2) вероятность одновременного наступления двух взаимозависимых и совместимых событий, как это следует из (2.7), равна произведению условной вероятности первого события по второму на вероятность второго события:

. (2.8)

Взаимозависимыми событиями в энергетике являются, например, повреждения отдельных фаз линии передачи. При повреждении одной фазы линии передачи в сети с незаземленной нейтралью напряжения других фаз возрастают в раз, что увеличивает вероятность повреждения других фаз. Но даже в сети с заземленной нейтралью, где повышение напряжения на других фазах не происходит, ионизация воздуха, обусловленная коротким замыканием на одной фазе, способствует перекрытию других фаз. Если исходное повреждение одной фазы является независимым случайным событием, то одновременное повреждение фаз в том же месте является зависимым случайным событием.

2.4. Формула Бернулли и общие случаи определения вероятности повреждения оборудования

При большом числе однотипных агрегатов в электрической системе вероятности повреждения различного числа агрегатов могут быть определены по биномиальной формуле вероятности для схемы независимых испытаний (схема Бернулли).

Во многих практических случаях при многократных независимых испытаниях могут быть только два исхода: случайное событие А произойдет или не произойдет. Пусть вероятность того, что в каждом из этих независимых испытаний событие А произойдет, равна р,
где р – статистическая вероятность. Тогда вероятность противоположного события (событие А не происходит)

Зная р или q, можно определить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А, например, повреждение агрегата, случится m раз. Обозначим эту вероятность через . Она равна произведению числа комбинаций из n по m на вероятность события в степени m и на противоположную вероятность в степени :

. (2.9)

Выражение (2.9) называют формулой биномиального распределения. Очевидно, что

, (2.10)

т. к. эта сумма охватывает все возможные события (т варьируется
от 0 до n).

Формулу (2.9) можно получить также, рассуждая следующим образом. Рассмотрим выражение . Оно, очевидно, равно единице, так как . Разлагая n-ю степень бинома в ряд по известному закону, получим

(2.11)

Нетрудно понять смысл членов разложения. Первый член qⁿсоответствует вероятности того, что в n испытаниях событие А не произойдет ни разу, т. е. равен , второй член – вероятности того, что в n испытаниях событие A произойдет только один раз, т. е. равен . Действительно, вероятность того, что событие произойдет при каком-то одном определенном испытании, будет , а вероятность того, что событие произойдет при каком-то любом одном испытании, в n раз больше и т. п. Член разложения -й, соответствующий вероятности того, что событие происходит m раз, равен ,
т. е. .