Пространственная решётка

1.4. Пространственная решётка

                Познакомимся теперь подробнее с построением и некоторыми свойствами пространственной решётки.

            Примем какой-либо узел пространственной решётки, например, узел А₀, за исходный узел решётки (рис. 1.1). Пусть ближайший к нему такой же атом (узел) А₁ находится на расстоянии а (а --> А₀А₁). Продолжив прямую А₀А₁, найдем серию узлов А₂,А₃, А₄, . . . , А_n, расположенных вдоль этой прямой на равном расстоянии друг от друга.

            Совокупность узлов, лежащих на одной прямой, называется рядом пространственной решётки.

Расстояние между соседними узлами ряда называется промежутком ряда. В нашем случае промежуток ряда равен  а.

Число  узлов,   приходящихся на единицу длины ряда, называется плотностью ряда. Очевидно, что плотность ряда обратно пропорциональна величине промежутка: чем меньше промежуток ряда, тем больше будет его плотность.

            Одно из основных свойств пространственной решётки состоит в том, что через любой узел решётки всегда можно провести ряд, параллельный данному ряду, причём все параллельные ряды имеют одинаковую плотность. Ряды же разных направлений в общем случае обладают различной плотностью. В частных случаях и у непараллельных рядов промежутки могут быть одинаковыми.

Рекомендуемые материалы

            Возьмём теперь относительно исходного узла А₀ ещё один ближний к нему узел, лежащий в плоскости чертежа, но не вне ряда А₀А_n. Пусть это будет узел В₁, отстоящий от узла А₀ на расстояние b (рис. 1.2). Соединив узлы А₀ и В₁ прямой линией и продолжив её дальше, получим новый ряд А₀В_n с промежутком ряда b.

            Два пересекающихся ряда А₀А_n и А₀В_n, определяют положение плоскости, которая пройдёт через бесконечное множество узлов пространственной решётки.

            Совокупность узлов пространственной решётки, лежащих в одной плоскости, называется плоской сеткой.

            Узлы всякой плоской сетки можно расположить в вершинах равных и параллельных друг другу параллелограммов, смежных по целым сторонам. Такую систему параллелограммов в нашем случае получим, если через узлы В₁, В₂, . . . , В_n проведём ряды, параллельные ряду А₀А_n, а через узлы А_2.,А_3,А_4, . . . ,А_n, - ряды, параллельные ряду А₀В_n (см. рис. 2) .

            Число узлов, приходящихся на единицу площади плоской сетки, называется её ретикулярной плотностью.

            Согласно второму основному свойству пространственной решётки через любой узел решётки можно провести плоскую сетку, параллельную данной и имеющую такую же ретикулярную плотность. Таким образом в решётке параллельно каждой плоской сетке проходит бесконечное множество тождественных плоских сеток. Совокупность параллельных друг другу плоских сеток пространственной решётки будем называть серией плоских сеток. Расстояние между двумя ближайшими параллельными плоскими сетками называется межплоскостным расстоянием.

В пространственной решётке имеется бесчисленное множество различным образом ориентированных плоских сеток, поскольку через три любых узла решётки всегда можно провести плоскую сетку.

            Непараллельные плоские сетки отличаются друг от друга не только положением в пространстве, но в общем случае и ретикулярной плотностью.

            Для дальнейшего построения пространственной решётки возьмём относительно исходного узла А₀ ближайший к нему узел С₁, не лежащий в плоскости построенной нами плоской сетки А_n-А₀-В_n (рис. 3). Проведя прямую А₀С₁ и продолжив её, найдём на ней серии узлов С_2,С_3, . . . ,С_n, образующих третий ряд А₀С_n, непараллельный первым двум и имеющий промежуток с.

            Через каждый узел этого ряда проведём плоские сетки, параллельные сетке А_n-A₀-B_n. Все они в совокупности образуют серию плоских сеток. Вторую серию плоских сеток получим, если через все узлы ряда А₀А_n провести плоские сетки, параллельные оси В_n-A₀-C_n, определяемой пересекающимися рядами А₀В_n и А₀С_n. Наконец, можно построить третью серию  плоских  сеток,  проведя  через  узлы ряда  А₀В_n  плоские  сетки,  параллельные  сетке А_n-A₀-C_n, определяемой рядами А₀А_n и А₀С_n.

                Три серии построенных плоских сеток, взаимно пересекаясь, образуют систему равных, параллельно ориентированных и смежных по целым граням параллелепипедов, т. е. пространственную решётку. На рис.1.3 один из параллелепипедов решётки выделен жирными линиями. Все узлы полученной решётки располагаются только в вершинах параллелепипедов. Если известно расположение узлов решётки у одного параллелепипеда, то можно построить всю решётку параллельным повторением данного, поступательно перемещая параллелепипед на величину его рёбер по их направлению.

            Параллелепипед, поступательным перемещением которого на величину и по направлению его рёбер можно построить всю пространственную решётку, называется параллелепипедом повторяемости.

            Параллелепипеды повторяемости можно выделить у данной пространственной решётки самым различным образом (рис. 1.4).

В одних случаях параллелепипеды повторяемости могут не иметь никаких других узлов, кроме узлов в  вершинах  (например,  параллелепипеды abcd и hikl).В других же случаях параллелепипеды повторяемости, помимо узлов в вершинах, могут заключать узлы ещё и внутри себя или на своих гранях (например, параллелепипеды mnpq и stuv). Вершины подобных параллелепипедов не образуют всех узлов данной пространственной решётки. Параллелепипеды повторяемости, имеющие узлы только в своих вершинах, называются примитивными. Вершины примитивных параллелепипедов образуют все узлы данной пространственной решётки.

            Если узлы решётки располагаются только в вершинах параллелепипедов повторяемости, то каждый узел принадлежит одновременно восьми попарно смежным параллелепипедам (рис. 1.3). Следовательно, на долю одного параллелепипеда приходится 1/8 узла, находящегося в его вершине. Поэтому на один примитивный параллелепипед приходится всего 1/8 × 8 = 1 узел пространственной решётки.

            Одна и та же пространственная решётка может быть разбита на примитивные параллелепипеды различными способами, но каким бы способом мы ни разбивали нашу решётку на параллелепипеды, её общий объём и количество узлов остаются неизменными. А так как каждому узлу отвечает всегда один примитивный параллелепипед, то любые примитивные параллелепипеды данной пространственной решётки имеют одинаковый объём. У всех других параллелепипедов повторяемости, не являющихся примитивными, объём будет больше, так как количество узлов, приходящихся на непримитивный параллелепипед, всегда превышает 1.

            Построенная нами пространственная решётка представляет собой бесконечную фигуру, поскольку каждый из рядов решётки может быть продолжен неопределённо далеко.

            Реальные кристаллы являются телами конечных размеров, поэтому, как  уже  отмечалось выше, их можно рассматривать как части пространственных решёток,  ограниченные плоскостями - гранями. С точки зрения учения о пространственной решётке грани кристалла представляют собой плоские сетки, а рёбра - ряды его решётки.

            Необходимо при этом иметь в виду, что реальные кристаллические вещества часто образуют сложные решётки, состоящие из двух или нескольких геометрически равных простых пространственных решёток, определённым образом вставленных друг в друга. Такие сложные решётки получили название кристаллических решёток. Узлами кристаллических решёток являются всегда только атомы или ионы химических элементов.

            На рис. 1.5 приведены кристаллические решётки некоторых элементов.

Кристаллическая решётка хлористого цезия (рис. 1.5 б) состоит из двух простых решёток, одна из которых имеет узлы, соответствующие ионам цезия, а другая - совпадающие с ионами хлора. Обе решётки совершенно тождественны и сдвинуты друг относительно          друга на величину расстояния между ионами Cs⁺ и Cl^- так, что вершины параллелепипедов одной решётки находятся в центрах параллелепипедов другой решётки.

Бесплатная лекция: "Введение" также доступна.

            Кристаллическую решётку хлористого цезия можно всегда заменить простой пространственной решёткой, примитивным параллелепипедом которой будет являться ромбоэдр.

            Решётка кристаллов хлористого натрия (каменной соли) состоит из двух одинаковых решёток, подобных кристаллической решётке меди (рис. 1.5 а). При этом решётка, отвечающая ионам натрия, так вставлена в решётку, соответствующую ионам хлора, что узлы натриевой решётки занимают середину ребра параллелепипедов повторяемости хлорной решётки и наоборот.

            Кристаллическая решётка кальцита состоит из двух одинаковых решёток, одна из которых отвечает катионам кальция, а другая - анионам СО₃^2-. Параллелепипед повторяемости этих решёток имеет форму ромбоэдра с узлами в вершинах и в центре параллелепипеда (рис. 1.5 г).

            Всякий атом или ион представляет собой весьма сложную систему, состоящую из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронных оболочек. Поэтому между атомами и ионами действуют как силы притяжения, так и силы отталкивания.

            В грубой схеме два соседних атома (или иона) будут притягиваться друг к другу до тех пор, пока силы притяжения не будут уравновешены силами отталкивания. А так как атомы (ионы) различных химических элементов имеют различное строение, то неодинаковы и силы их взаимодействия. Следовательно, и расстояния между атомами (ионами) различных химических элементов в кристаллической решётке должны быть разными.

            Вот почему вещества различного химического состава имеют различные кристаллические решётки. Это - основной закон о кристаллических решётках, на котором базируется вся кристаллохимия.