Системы счисления
2. Системы счисления.
2.1 Основные понятия.
Системой счисления называется совокупность правил записи чисел.
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Обе системы счисления используют определённый набор символов – цифр.
Последовательное сочетание цифр образует число.
Непозиционные системы счисления появились раньше позиционных. Они характеризуются тем, что в них символы не меняют своего значения в зависимости от местоположения в записи числа.
Классическим примером такой системы счисления является римская. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I означает единицу, V – пять, Х – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысячу. Для получения значения числа в римской системе счисления необходимо просто просуммировать полученные эквиваленты входящих в него цифр. К примеру, 577 это DLXXVII. Другой пример CDXXIX =429.
В позиционной системе счисления количество символов в наборе равно основанию системы счисления.
Рекомендуемые материалы
Место каждой цифры в числе называется позицией.
Номер позиции символа в числе называется разрядом.
В системе счисления с основанием p любое число можно представить в виде:
A(p)= an-1*pn-1+an-2*pn-2+…+a1*p1+a0*p0 , (1)
где p – основание системы счисления (некоторое целое положительное число); а – цифра данной системы счисления; n – число разрядов кода.
Для получения числа в некоторой позиционной системе счисления необходимо сложить произведения значений цифр на степени оснований, показатели которых равны номерам разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля). Все системы счисления, которые будут рассматриваться ниже, являются позиционными. Число А(p) представляется в виде последовательных цифр, А(p)=аn-1an-2...a1a0. При этом всегда выполняется неравенство ak<p. Видно, что одно и то же число А в зависимости от основания p при кодировании формируется из разного количества разрядов.
Для кодирования заданного диапазона чисел в машине в зависимости от выбранной системы счисления требуется разное количество оборудования.
Определим, при каком основании p0 для представления данного множества чисел М требуется наименьшее количество аппаратуры (аппаратных затрат). Множество чисел М=pn. Предположим, что объём используемых электронных элементов для обработки каждого разряда пропорционален основанию системы счисления. Тогда для реализации множества чисел М=pn потребуется N электронных схем: N=α*p*n, где α – коэффициент пропорциональности, p- основание системы счисления, n – количество разрядов. Так как lnM=n*lnp => n=lnM/lnp. Подставим в выражение для N значение n. N=α*p*lnM/lnp. Поскольку N есть функция p при прочих постоянных значениях, для определения p0 найдём и приравняем нулю первую производную:
=> lnp-1=0, p0=e.
Таким образом, наиболее экономичным основанием позиционной системы счисления является число e =2.718 .
Из целочисленных значений оснований ближайшими к значению e являются цифры 2 и 3. Код с нецелым основанием e технически нереализуем. По соображениям простоты технической реализации явное преимущество на стороне кода с p =2. Для него необходимы дискретные элементы с двумя устойчивыми состояниями. ованием стемы счисления является число
скольку p.выражение для ения, М=ов для обработки каждого разряда пропорционален основаниюппаратных затрат).
Типы данных
Данные – это представление фактов и идей в формализованном виде, пригодном и удобном для фиксации, передачи и переработки в процессе их использования.
Информация – это смысл, который приписывается данным посредством соглашений, принятых при их представлении. Данные являются изображением информации.
Содержание (смысл) сообщения - это информация, а знаки, в которые сообщение воплощено, - это данные.
В ЭВМ используют двоичное представление информации, поэтому символы «0» и «1» являются единственными элементами машинного алфавита. Принято называть символы «0» и «1» двоичными цифрами или разрядами и связывать с ними понятие бита как минимальной единицы представления информации. Восьмиразрядное двоичное число называют байтом. Формат байта представлен на рисунке .
ся позицией.
имволов в наборе равно основанию системы счисления.
Разряды байта разделены на две группы по четыре двоичных разряда – тетрады.
Вместе с этой лекцией читают "Краткий экскурс в теорию сетей".
Иногда к восьми информационным разрядам байта присоединяется девятый разряд. Он используется для контроля правильности передачи байтовой информации в ЭВМ путём определения чётности или не чётности «1» в коде. При значении этого разряда, равном 1, число единиц в передаваемых данных нечётное, а при равном 0 – чётное. Этот метод получил название контроля чётности.
Слово – это последовательность знаков, которую удобно рассматривать как одно целое.
С точки зрения размерности МП поддерживает следующие основные типы данных (рисунок 2)
В данном случае слово – это последовательность из двух байт, имеющих последовательные адреса. Размер слова – 16 бит; биты нумеруются от 0 до 15. Байт, содержащий 15-й бит называется старшим байтом. Младший байт содержит нулевой бит.
Двоичное слово – последовательность из четырёх байт (32 бита), расположенных по последовательным адресам. Нумерация от 0 до 31. Слово, содержащее нулевой бит, называется младшим словом, а слово, содержащее 31-й бит, – старшим словом.
