Построение сечения объекта

Построение сечения объекта.

Продемонстрируем принцип параллельной обработки графической информации  на примере решения  следующей, весьма часто встречающейся в машинной графике, задачи:

- выполнить сечение трехмерного объекта;

- заштриховать площадь сечения, используя заданный вектор штриховки.

Поставленную задачу можно решить следующим образом.

В зависимости от параметров плоскости сечения, за счет соответствующего преобразования координат, объект располагается в трех мерном системе координат, в которой плоскость сечения перпендикулярна одной из осей координат (предположим, что это ось Z). В этом случае плоскость сечения  задается одним параметром  – координатой z_cч, и искомое сечение будет представлено  в виде множества рецепторов, образующих  параллельную  матрицу с координатой z_cч в трехмерном рецепторном кубе (Рис. 7.1‑1).

Рис. 7.1‑1

Предположим, что  матрица сечения Q в память имеет вид, приведенный на Рис. 7.1‑2a), где каждая «1» соответствует одному элементу объема тела трехмерного отсекаемого объекта. Матрица изображена для случая, когда размеры по осям X   составляет 24, а по оси  Y - 20 рецепторов. Матрица организована в виде 20-ти  векторов q_i. Каждый вектор q_i представлен 24 бинарными параметрами и соответствует одной i-ой горизонтальной строке матрицы сечения Q.

Рекомендуемые материалы

На Рис. 7.1‑2b) приведены матрица контуров  сечения, которые необходимо сформировать при решении поставленной задачи.

Рис. 7.1‑2

В рассматриваемом алгоритме границы матрицы сечения формируются по отдельным фрагментам в следующей последовательности:

S^{1 –} матрица левых фрагментов границ сечения (Рис. 7.1‑3 a);

S^{2 –} матрица правых  фрагментов границ сечения (Рис. 7.1‑3b);

S^{3 –} матрица верхних фрагментов границ сечения (Рис. 7.1-4a);

S^{4 –} матрица нижних фрагментов границ сечения (Рис. 7.1‑4b).

Отдельные элементы матрицы левых фрагментов границ сечения ищутся с помощью следующего логического выражения:

Матрица левых границ S¹ составляется из совокупности векторов s_iл, каждый из которых представляет 24 рецепторов i-ой горизонтальной строки. Отдельные параметры векторов формируется согласно выражению  (7.1-1). Элементы матрица, представляемые одним вектором s_iл, обрабатываются  одновременно.

Каждый s_{i л} вектор левых границ формируется следующим образом.

Соответствующий вектор q_i матрицы сечения Q сдвигается вправо на один разряд и инвертируется. Вектор, полученный после инвертирования, логически умножается на  вектор q_i.

Таким образом, вычисления вектора s_10л, соответствующего десятой строки снизу матрицы S¹, выполняются следующим образом:

011111000000000000111110   -  q₁₀ - описание 10-ой строки  исходного сечения;

001111100000000000011111   - q₁₀ , сдвинутый вправо на один разряд;

110000011111111111100000   - отрицание сдвинутого влево q₁₀ ;

010000000000000000100000  - s_10л - результат логического умножения 1-ой и 3-ой  строк.

Элементы матрицы правых фрагментов границ сечения ищутся с помощью следующего логического выражения:

Матрица правых границ S² составляется из совокупности векторов R_iп, каждый из которых представляет 24 рецепторов i-ой горизонтальной строки. Отдельные параметры векторов формируется согласно выражению  (7.1-2). Элементы матрица, представляемые одним вектором s_iп, обрабатываются  одновременно.

Каждый s_{i п} вектор правых границ формируется следующим образом.

Соответствующий вектор q_i матрицы сечения Q сдвигается влево на один разряд и инвертируется. Вектор, полученный после инвертирования, логически умножается  на вектор q_i.

Таким образом, вычисления вектора s_10п, соответствующего десятой строки снизу матрицы S², выполняются следующим образом:

011111000000000000111110   -  q₁₀ - описание 10-ой строки  исходного сечения;

111110000000000001111100   - q₁₀ , сдвинутый влево на один разряд;

000001111111111110000011   - отрицание сдвинутого влево q₁₀ ;

000001000000000000000010  - s_10,п - результат логического умножения 1-ой и 3-ой  строк.

Элементы матрицы верхних фрагментов границ сечения ищутся с помощью следующего логического выражения:

Матрица верхних границ S³ составляется из совокупности векторов s_{j в}, каждый из которых представляет 20 рецепторов j-ой вертикальной колонки. Отдельные параметры векторов формируется согласно выражению  (7.1-3). Элементы матрица, представляемые одним вектором s_jв, обрабатываются  одновременно.

Каждый вектор s_jв верхних границ формируется следующим образом.

Соответствующий вектор колонки q_j матрицы сечения Q сдвигается вправо на один разряд (на Рис. 7.1‑4а) это соответствыет сдвигу кода соответствующей колонки  вниз) и инвертируется. Вектор, полученный после инвертирования, логически умножается на вектор q_j.

Рис. 7.1‑3

Таким образом, вычисления вектора s_10в, соответствующего десятой колонке слева матрицы S³, выполняются следующим образом:

00111100000000111100 – q₁₀ -описание 10-ой колонки  слева исходного сечения;

       00011110000000001111 - q₁₀  , сдвинутый вправо (вниз) на один разряд;

       11100001111111110000          - отрицание сдвинутого вниз q₁₀ ;

       00100000000000100000  s_10в - результат логического умножения 1-ой и 3-ой  строк.

Элементы матрицы нижних фрагментов границ сечения ищутся с помощью логического выражения:

Матрица нижних фрагментов границ S⁴ составляется из совокупности векторов s_jн, каждый из которых представляет 20 рецепторов j-ой вертикальной колонки. Отдельные параметры векторов формируется согласно выражения  (7.1-4). Элементы матрица, представляемые одним вектором s_jн, обрабатываются  одновременно.

Каждый s_jн вектор нижних  границ формируется следующим образом.

Соответствующий вектор колонки q_j матрицы сечения Q сдвигается влево на один разряд (на Рис. 7.1‑4а) это соответствыет сдвигу колонки вверх) и инвертируется. Вектор, полученный после инвертирования, логически умножается  на  вектор q_j.

Таким образом, вычисления вектора s_10н, соответствующего десятой колонке слева матрицы S⁴, выполняются следующим образом:

00111100000000111100 – q₁₀ - описание 10-ой колонки  слева исходногосечения;

      01111000000001111000 - q₁₀ , сдвинутый вверх (влево) на один разряд;

      10000111111110000111  - отрицание сдвинутого влево q₁₀ ;

       00000100000000000100  s_10,4 - результат логического умножения 1-ой и 3-ой  строк.

Рис. 7.1‑4

Общая матрица границ сечения будет получена как логическая сумма четырех бинарных матрица: матриц левых S¹, правых S², нижних S³ и верхних S⁴ фрагментов границ:

Решим задачу штриховки площади сечения.

Введем базовый вектор линейной штриховки F, задающий шаг между штриховыми линиями. Размерность этого вектора соответствует количеству рецепторов в одной горизонтальной строке исходной трех мерной матрицы.

Пусть для рассматриваемого примера этот вектор имеет вид:

W= 100010001000100010001000.

На основании базового вектора штриховки для каждой i-ой строки матрицы определяется вектор штриховки R_i. Элементы r _j вектор штриховки R_i определяются по следующей зависимости:

r _j =w _i+j, если  угол наклона  линий штриховки равен 45⁰;

r _j =w _i-j, если  угол наклона  линий штриховки равен -45⁰,

где:

  j – номер колонки матрицы сечения;

  i - номер строки матрицы сечения.

Переход от исходной матрицы сечения Q к матрице заштрихованного сечения F осуществляется следующим образом.

Формируется матрица F, каждый элемент которой при штриховке под углом 45⁰ подсчитывается согласно выражению:

f _i,j = q _i,j . L w _i+j,                                                                    (7.1-5)

где f _i,j , q _i,j , r _i+j являются, соответственно, элементами матриц F,Q,R _i.

Формирование элементов матрицы F выполняется при использовании  24-х битовых векторов, каждый из которых представляет фрагмент матрицы, составляющий  одну строку.

Например, при формировании вектора 10-ой строки матрицы F (строки F₁₀) используются 24-ти битовые векторы R₁₀  соответствующий штриховке, и Q₁₀, соответствующий 10-ой строке матрицы сечения Q.

В этом случае, реализуя выражение (7.1-5), вектор F₁₀ будет получен следующим образом:

Q_i =011111000000000000111110

R_i =000010000000000000001000

___________________________

F_i =000010000000000000001000

Общий вид матрицы F  приведен на Рис. 7.1‑5а).

Для получения требуемого вида площади сечения V необходимо объединить матрицу F и S_ш, что можно сделать путем логического сложения этих матриц, при котором каждый элемент результирующей матрицы формируется согласно выражению:

v _i,j = s _i,j  + s_{ш i,j} , где   «+» означает логическое сложение.      (7.1-6)

Формирование элементов матрицы V также выполняется при использовании 24-х битовых векторов, каждый из которых представляет элементы матрицы, составляющие  одной горизонтальной строке.

Например, при формировании вектора 10-ой строки матрицы V используются 24-х битовые векторы F₁₀ и S₁₀, соответствующий 10-ой строке матрицы сечения S.

В этом случае, реализуя выражение (7.1-5), вектор V₁₀ будет получен следующим образом:

S₁₀=010001000000000000100010

F₁₀=000010000000000000001000

        ________________________

V₁₀=010011000000000000101010

Для рассматриваемого примера результирующая матрица V будет иметь вид, приведенный на Рис. 7.1‑5 b).

В рассматриваемом алгоритме обрабатываются одновременно несколько точек графического объекта, кроме того, при обработке выполняются простейшие логические операции. Поэтому данные алгоритмы достаточно

Люди также интересуются этой лекцией: Лекция 10.

Рис. 7.1‑5

быстродействующие. Недостатком такого подхода для обработки графической информации являются большие затраты памяти.