Идентификация объектов управления

Чаще всего системы работают в режиме стабилизации, когда отклонения переменных от номинальных значений малы. Это позволяет не исследовать статические характеристики, а ограничившись линейной моделью, определить ее параметры.

При идентификации динамической модели необходимо решить две задачи:

1. Выбрать структуру модели.

2. Определить коэффициенты этой структуры по дискретным значениям входа и выхода объекта.

Современные методы идентификации позволяют выдать рекомендации по выбору структуры объекта.

Так, например, для линейных одномерных ОУ существуют алгоритмы, позволяющие оценить порядок ОУ:

Первый порядок: задается моделью .

Второй порядок: .

Такой подход приводит к сложным моделям с большим числом неизвестных коэффициентов, так как прямо не учитывается запаздывание в объекте.

Отсюда зададимся структурой ОУ:

Вторая задача – вычисление неизвестных коэффициентов – сводится к нахождению таких их оценок, которые обеспечивали бы наибольшее значение.

Наиболее просто такую идентичность оценивать с помощью ошибки идентификации:

Тогда метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы квадратов ошибок: , N – объем заданных массивов входа и выхода.

Рассмотрим процедуру вычисления оценок для модели первого порядка с запаздыванием по известным массивам входа и выхода.

Запишем уравнение модели ОУ в матричном виде:

- оценки параметров; .

- вектор оценки параметров, - вектор измерения.

Ошибка идентификации .

Модель ОУ может использоваться двух видов: явная и неявная.

Лучшее качество обеспечивает неявная модель, которую мы будем использовать.

Если модель явная, то вместо в выражении будем иметь .

Рассмотрим выбор пределов суммирования. Начинать суммирование с k=0 не имеет смысла, так как выходной сигнал y(k) будет полностью определен, начиная с k=2+M.

Предположим, что M задано, и управляющий сигнал u(k) хорошо возбуждает ОУ; например, с помощью псевдослучайного вторичного сигнала, т.к. идентификация возможна только при движении (динамическом) ОУ.

E должно быть минимально по .

Т.к. функция зависит от трех переменных, то для отыскания ее минимума необходимо использовать условия , которое распадается на три условия:

1) .

2) .

3) .

Введем обозначения сумм (в выражениях 1-3 сократим двойки).

Матрица этой системы симметрична.

; ; ;

; ; .

Учитывая обозначения, система записывается в виде

Или в матричном виде . (1)

Т.к. матрица А симметрична и положительно определена, то обратная матрица всегда существует.

Формула (1) – классическое выражение метода наименьших квадратов.

Для вычисления запаздывания в ОУ, т.е. величины М, необходимо несколько раз просчитать оценки и обобщенную оценку Е для задержек М=0, 1, 2, 3,… по одному и тому же массиву данных и выбрать минимальную обобщенную ошибку.

Здесь М=2 – оптимальное значение.

На практике объем массивов N выбирается в зависимости от зашумленности процесса и интенсивности колебаний его. При малых шумах N берут 50-100 точек. При больших берутся 1000 точек.

Метод наименьших квадратов обладает свойством фильтрации белого шума, т.е. свойством сглаживания кривых.

3.2. Формирование псевдослучайного двоичного сигнала.

Использование сигнала ПСДС позволяет резко повысить точность вычисления оценок при одновременном сокращении длительности эксперимента. Это достигается тем, что сигнал ПСДС, имея широкий частотный спектр, достаточно хорошо возбуждает ОУ. На практике его используют по следующей схеме:

Существуют различные схемы генерации ПСДС. Наиболее простой является схема, основанная на регистрах сдвига (см. книгу П. Мармарелис “Анализ физиологических систем. Метод белого шума”, 1981 г. стр. 191).

Далее начинается повторение.

С увеличением числа регистров увеличивается максимальный период генерируемой последовательности “0” и “1”.

Наличие повторяемости комбинаций говорит о псевдослучайности получаемой последовательности. В реальных условиях n выбирают значительным.

Существуют и другие генераторы случайных чисел. В частности, генераторы с нормальным распределением.

Например, сформируем последовательность случайных чисел, меняющихся от 0 до 1 и имеющих равномерное распределение вероятностей.

5 M=(24298*N-99991)/199017

10 M=M-INT(M)

115 N=199017*M

2N=10-199017

N=0; M=0,5024; 0,4109; 0,0647; 0,7083.

Используя этот генератор, сформируем последовательность нормально распределенных чисел с дисперсией, равной единице, и средним значением “0”.

Для этого будем использовать две пары случайных чисел и . По этим числам определяется: . - среднее значение. .

3.3. Вторая форма записи МНК:

Другую форму записи МНК рассмотрим на примере (случай фиксированной задержки М=1).

Задача: по значениям входа и выхода вычислить оценки a, b₁ и b₂. Будем последовательно решать это уравнение.

k=0 ;

k=1 ;

k=2 ;

k=3 ;

k=4 ;

k=5 .

Последние три уравнения (k=3,4,5) составляют систему. Эта система – работающие уравнения. Их достаточно для вычисления неизвестных коэффициентов a, b₁ и b₂, что возможно только в идеальных условиях – при отсутствии шумов и точных измерениях входа и выхода.

На практике с целью повышения точности вычислений стараются использовать большое число уравнений.

Продолжим запись уравнений:

k=6 ;

k=7 .

Полученную систему запишем в матричном виде.

Поставим задачу: определить из этого уравнения (это переопределенная система). С целью получения квадратной матрицы перед вектором домножим левую и правую части на .

. (**)

Из сравнения новой формы записи со старой делаем вывод, что

Т.о. получили другую форму записи метода наименьших квадратов (**).

Используя вторую форму записи, можно формировать нужные суммы для любого вида моделей ОУ.

Пример: в результате подачи псевдослучайной последовательности получен массив данных

Задаемся простейшей моделью .

Неизвестными являются a, b и М. Получим аналитические выражения для соответствующих сумм при М=var=0-4. Е – обобщенная ошибка, Е должна быть минимальной.

При идентификации реальных ОУ необходимо:

1. Выбирать достаточно большие объемы массивов исходных данных.

2. Необходимо осуществить борьбу с трендами, т.е. с постоянными смещениями входа и выхода, возникающими из-за действия неконтролируемых, медленно нарастающих возмущениях.

Способы борьбы с трендами:

1) центрирование исходных данных.

Под управлением (центрированием) понимают где - средние значения.

2) центрирование данных при линейной аппроксимации тренда.

3) работа по приращениям входа и выхода.

3. Выбор нужного порядка модели. Начинают отборку данных с простейшей модели первого порядка с запаздыванием. Далее порядок увеличивают до второго и сравнивают величину выигрыша по обобщенной ошибке Е. При значительном выигрыше переходят на модель третьего порядка.

3.4. Определение параметров объекта второго порядка методом МНК.

Задача по входным и выходным сигналам определяет коэффициенты методом МНК.

Определим структуру матриц А и В.

(1)

Элементы матриц А и В представляют собой суммы произведений компонент векторов и Y.

Для нахождения этих сумм удобнее сформировать обобщенную матрицу вида размером .

Введем обозначения (см. (1)). Тогда структурный вид матрицы имеет вид:

Сформируем матрицы В и А для простейшего объекта первого порядка с запаздыванием .

Введем обозначения: . где

Замечание: при переборе М от 0 до М_max (0-4) важно, чтобы во всех случаях количество суммирующих членов было постоянно при значимых значениях элементов сумм, т.е. должны отсутствовать нулевые члены. Это обеспечит сравнимость обобщенных ошибок Е для различных М.

3.5. Смещение оценок в методе МНК.

Оценка величины смещения может быть произведена только для данных, полученных с сумматора объекта с известными параметрами.

В реальных условиях истинные значения параметров ОУ не известны. Однако установлено, что точность оценивания зависит в первую очередь от интенсивности и характера шумов, действующих на ОУ.

Для шума с нормальным распределением при большом объеме данных величина смещения оценок стремится к 0. В тоже время, при наличие коррелированного (окрашенного или цветного) шума МНК дает постоянное смещение оценок.

Примером коррелированного шума может служить модель вида:

где x – шум с нормальным распределением, - интенсивность коррелированного шума, с – коэффициент, степень корреляции.

Существует метод борьбы, который состоит из операций отбеливания данных. Для этого по массиву выхода строят модель цветного шума (коррелированного шума). С учетом модели шума исходные данные коррелируются, т.е. происходит отбеливание.

К недостаткам МНК относится необходимость хранить большие объемы массивов входа и выхода. Другим недостатком является неопределенность в выборе требуемого массива (его размерности) ввода и вывода.

3.6. Рекуррентный метод МНК.

Позволяет в отличие от классического МНК по текущим измерениям входа и выхода уточнять оценки параметров ОУ.

Метод не требует хранения больших массивов данных и кроме этого не работает с обратными матрицами.

Алгоритм рекуррентного МНК:

Модель объекта: .

Ошибка идентификации: .

Матричный коэффициент усиления: .

- вектор измерения.

Определяемые оценки: .

Ковариационная матрица: .

k=1,2,3,… - текущий номер опроса.

- вектор текущих оценок параметров (на каждом такте меняется).

Начальное значение ковариационной матрицы R(0) рекомендуется выбирать в виде , где - большое число (например, 10⁶).

Рассмотрим модель ОУ: .

В доказательстве будем использовать вторую форму записи МНК.

В этом методе используется матрица измерения .

- состоит из k+1 строки.

Сформируем матрицу следующего измерения (k+1).

. Добавилось одно измерение.

- измерительные компоненты.

В соответствии со второй формой записи МНК необходимо вычислять выражение вида .

Для k-ого измерения можно записать . Для (k+1)-ого измерения - .

Цель: (k+1)-ое измерение выразить через k-ое и избавиться от операции обращения матрицы.

- квадратная матрица.

Избавимся от обратной матрицы.

Воспользуемся леммой об обращении матрицы.

K(k+1) – матрица усиления.

Получили ту же форму МНК, но только P(k) заменяем на R(k).

Пример: Задана таблица данных

a=0,5; b=1; M=1.

Модель ОУ имеет вид:

Эта модель неявная (прогноз по предыдущим измерениям).

Задались моделью, имеющей М=1 и два неизвестных коэффициента a и b.

Задано

a=0,4999; b=0,9995.

При наличии точных, незашумленных данных и правильно выбранной модели алгоритм РМК дает очень быструю сходимость оценок.

В реальных условиях сходимость замедляется. Отсюда оценивают величину дисперсии ошибки идентификации. И как только дисперсия устанавливается, считают, что оценки сошлись, и определяют их среднее значение.

Уровень пробного сигнала, подаваемого на объект, определяется таким образом, чтобы амплитуда колебаний выходного сигнала под действием пробного сигнала была больше амплитуды случайных колебаний выхода.

Для борьбы со смещением оценок могут использоваться все ранее описанные методы, а именно работа по приращениям входа и выхода, центрирование входного и выходного сигналов, путем использования текущих значений средних входа и выхода.

При работе с нестационарными объектами желательно иметь алгоритм, обладающий свойством отслеживания изменяющихся параметров объекта.

Возможны следующие подходы:

1. Периодическое включение алгоритма РМК.

2. Основан на придании алгоритму свойств астатизма.

Он заключается в том, что после очередного вычисления значений матрицы R(k) .