Лекция 2 - Импульсный элемент и его уравнения
Лекция № 2
Тема:
Импульсный элемент и его уравнения
План лекции:
Предварительные замечания.
Амплитудно-импульсный элемент и его эквивалентное представление.
3. Идеальный импульсный элемент и его математическое описание.
4. Формирующее звено и его математическое описание. Экстраполятор нулевого порядка.
1. Предварительные замечания
Как и в непрерывных системах, исследование динамики дискретных систем может проводиться либо с использованием переменных состояния, либо с использованием входных и выходных переменных систем. В первом случае исследование обычно проводят во временной области, рассматривая систему разностных уравнений и анализируя свойства ее решений. Этот подход и разработанные в его рамках методы являются весьма плодотворными. Они позволяют рассматривать нелинейные многомерные дискретные системы, проводить исчерпывающее исследование их свойств, решать задачи синтеза в различной постановке.
Во втором случае исследуют не весь набор переменных состояния, а лишь поведение некоторых величин, по изменению которых и оценивается качество САУ - выходные переменные системы. В задачу исследования может входить анализ зависимости выходных переменных от входных величин, решение вопроса, как придать системе требуемые свойства по этим переменным и т.п. При этом для линейных импульсных систем наиболее простым и распространенным математическим аппаратом описания и исследования является аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z -преобразования, позволяющий получить уравнение САУ в изображениях и найти дискретные передаточные функции.
Рекомендуемые материалы
Рассмотрим вопросы описания и исследования дискретных систем каждым из указанных методов. Начнем со второго подхода, когда для математического описания системы используются уравнения в изображениях и дискретные передаточные функции.
2. Амплитудно-импульсный элемент и его эквивалентное представление.
Простейшую импульсную систему можно представить в виде соединения импульсного элемента и непрерывной части. Рассмотрим амплитудно-импульсный элемент (АИЭ). Импульсный элемент представляет собой устройство, на выходе которого в момент времени t=0,T, … nT, … наблюдается последовательность импульсов произвольной формы с амплитудами, пропорциональными дискретам входного сигнала x[nT]. Обозначение АИЭ в схемах и соответствующие при этом друг другу входной и выходной сигналы показаны на рис.5.
 |
Рис. 5
При математическом описании ИЭ оказывается удобным понятие идеального импульсного элемента (ИИЭ). Под идеальным импульсным элементом будем понимать звено, выходная величина x*(t) которого представляет собой последовательность 
-функций с площадями, равными дискретам входной величины х[nT] . Пусть функция s(t) задает форму импульса на выходе ИЭ, соответствующего единичной дискрете входного сигнала, приложенной в момент времени t=0 , в силу свойства линейности дискрете х[nТ] соответствует импульс
(1)
(сдвиг аргумента t на nT объясняется тем, что импульс возникает при t=nТ и не раньше). Определим реакцию на дискрету x[nT] последовательного соединения ИИЭ и непрерывного звена c импульсной переходной функцией s(t) (см. рис.6). При этом 
.
Пройдя через непрерывное звено, дельта-функция в силу свойств импульсной переходной характеристики развернется в сигнал 
и, таким образом, на выходе цепочки получим функцию 
, совпадающую с функцией (1) .Отсюда следует, что импульсный элемент с произвольной формой импульса s(t) можно представить как последовательное соединение ИИЭ и непрерывного звена с импульсной переходной функцией s(t). Это непрерывное звено может быть также задано своей передаточной функцией s(p)=L[s(t)]. Линейное звено, определяющее форму импульса, называют также формирующим звеном, или экстраполятором, и обычно присоединяют его к непрерывной части системы. Таким образом , в линейной импульсной системе с одним ИЭ можно выделить идеальный ИЭ и непрерывную часть.
 |
Рис. 6
3. Идеальный импульсный элемент и его математическое описание.
Рассмотрим идеальный импульсный элемент. В соответствии с определением уравнение, связывающее входной x(t) и выходной 
сигналы ИИЭ, имеет вид
, (2)
т.е. выходная переменная есть поcледовательность -функций, промодулированных входным сигналом. При этом
,
т.е. преобразование Лапласа выходной величины ИИЭ равно дискретному преобразованию Лапласа решетчатой функции x[nT]. Связь между изображениями непрерывной x(t) и решетчатой x[nT] функций устанавливается зависимостью
(3)
В итоге ИИЭ может быть описан зависимостями (2) или (3). Зависимость (2) устанавливает связь между входной x(t) и выходной переменными, зависимость (3) - между соответствующими изображениями.
4. Формирующее звено и его математическое описание. Экстраполятор нулевого порядка.
Формирующее звено порождает из -импульсов на выходе ИИЭ последовательность физических импульсов, характерную для данного устройства. Как отмечалось ранее, импульсная переходная функция формирующего звена s(t) (весовая функция) определяется формой импульса. Передаточная функция формирующего звена S(p) задается выражением
S(p)=L[s(t)]
Например, если выходная последовательность импульсов имеет вид, представленный на рис.7, то передаточная функция формирующего звена будет
"3. Статика и динамика систем" - тут тоже много полезного для Вас.
,
где k-коэффициент пропорциональности амплитуды выходного импульса и соответствующей дискреты входного сигнала.
 |
Рис. 7
Если выходная величина ИЭ остается постоянной в течение всего интервала квантования Т, то формирующее звено называется экстраполятором нулевого порядка. Его передаточная функция имеет вид
(5)
Здесь и далее будем считать, что k=1 . В практике импульсного регулирования могут встречаться и другие формы выходных сигналов ИЭ, однако в САУ наиболее часто используются прямоугольные импульсы. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением формирующих звеньев с передаточными функциями (4) или (5).
