Ответы к экзамену: Сборка теории + решенных задач для подготовки к экзамену по курсу "Кратным интегралам"

Билет №1 1. Дать определение и вывести свойства двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Формулировка теорема существование. 2. Сормулировать и доказать теоремы о почленном дифференцировании и почленном интегрировании степенного ряда .   Билет №2 1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Сформулировать теорему о замене переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. 2. Вывести интегральный признак Коши сходимости знакоположительного ряда. Исследовать ряд Дирихле.   Билет №3 1. Дать определение и вывести свойства тройного интеграла. Физический смысл тройного интеграла. Формулировка теоремы существования.

2. Вывести признаки сравнения знакоположительных числовых  рядов.   Билет №4 1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. 2. Дать определение сходящегося числового ряда. Вывести простейшие свойситва сходящихся числовых рядов.   Билет №5 1. Вывести формулу Грина для односвязной области . 2. Доказать теорему о сходимости абсолютно сходящегося знакопеременного числового ряда.   Билет №6 1. Дать определение и вывести свойства криволинейного интеграла первого рода. Его вычисление, геометрический и физический смысл. 2. Ряд Тейлора. Вывести условие разложения бесконечно дифференцируемой функции в ряд Тейлора.

Ряд Маклорена. Разложить в ряд Маклорена функцию функцию y = sin X .   Билет №7 1.Дать определение и вывести свойства криволинейного интеграла второго рода. Его вычисление и физический смысл. 2. Вывести радикальный признак Коши сходимости знакоположительного числового ряда.   Билет №8 1.Дать определение поверхностного интеграла первого рода. Его вычисление и применение. 2. Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда.   Билет №9 1.Дать определение поверхностного интеграла второго рода. Его свойства и вычисление. 2.Вывести радикальный признак Коши сходимости знакоположительного числового ряда.   Билет №10 1.Вывести формулу Грина для односвязной области.

2.Вывести признаки сравнения знакоположительных числовых рядов.     Билет №11 1.Поток векторного поля. Вывести формулу Остроградского-Гаусса. 2.Вывести признак Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда.   Билет №12 1.Циркуляция векторного поля. Сформулировать теорему Стокса. 2.Вывести радикальный признак Коши сходимости знакоположительного числового ряда.   Билет №13 1.Вывести условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 2.Вывести признак Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда.   Билет №14 1.Вывести формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала в односвязной области.

2.Степенной ряд. Доказать теорему Абеля.   Билет №15 1.Дать определение потенциального векторного поля, вывести его свойства. 2.Вывести интегральный признак Коши сходимости знакоположительного числового ряда. Исследовать ряд Дирихле .   Билет №16 1.Дать определение соленоидального векторного поля, вывести его свойства. 2.Вывести признаки сравнения знакоположительных числовых рядов.   Билет №17 1.Дать определение гармонического поля, вывести его свойства. 2.Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда.   Билет №18 1.Оператор Гамильтона. Вычислить с помощью этого оператора div ( rot a ) и rot ( grad Ф) 2.Доказать теорему о равномерной сходимости степенного ряда внутри его интервала ходимости.

  Билет №19 1.Дивергенция векторного поля. Свойства дивергенции. Вывести формлу для вычисления дивергенции в декартовой системе координат. 2. Степенной ряд. Доказать теорему Абеля.   Билет №20 1.Ротор векторного поля. Свойства ротора. Вычисление ротора векторного поля в системе координат. 2.Дать определение равномерной сходимости функционального ряда. Доказать признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.   Билет №21 1.Вывести формулу Грина для многосвязной области. 2.Вывести признак Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда.   Билет №22 1.Вывести формулу Грина для односвязной области. 2.Дать определение равномерной сходимости функционального ряда.

Доказать признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.   Билет №23 1.Циркуляция векторного поля. Сформулировать теорему Стокса. 2. Вывести интегральный признак Коши сходимости знакоположительного ряда. Исследовать ряд Дирихле.   Билет №24 1.Поток векторного поля. Вывести формулу Остроградского-Гаусса. 2. Ряд Тейлора. Вывести условие разложения бесконечно дифференцируемой функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложить в ряд Маклорена функцию функцию y = e^x   Билет №25 1.Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в троном интеграле. Тройной интеграл с сферической системе координат.

2.Доказать, что степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы..