Ответы к экзамену: Теория

Теоретические вопросы к экзамену по курсу
«Интегралы и дифференциальные уравнения»

Неопределенный интеграл

• 1. Дайте определение первообразной функции на интервале. Докажите теоремы о первообразных и приведите примеры.
• 2. Дайте определение неопределенного интеграла. Сформулируйте и докажите его свойства. Приведите примеры. Таблица неопределенных интегралов.
• 3. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании подстановкой и заменой 4 .переменной для неопределенного интеграла. Приведите примеры.
• 4. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла. Приведите примеры.
• 5. Интегрирование простейших дробей. Приведите примеры.
• 6. Интегрирование произвольной дробно рациональной функции (опишите алгоритм и приведите примеры).

Определенный интеграл

• 7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл. Необходимое и достаточное условия интегрируемости. Сформулируйте определение интегрируемости на отрезке функции (без доказательства).
• 8. Определенный интеграл и его свойства. Докажите линейность и аддитивность определенного интеграла.
• 9. Определенный интеграл и его свойства. Докажите свойство интегрирования неравенств и теорему об оценке.
• 10. Дайте определение среднего значения функции на отрезке. Докажите теорему о среднем. Объясните ее геометрический и механический смысл.
• 11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной и формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).
• 12. Сформулируйте и докажите теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в определенном интеграле.
• 13. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. Интегрирование периодических функций. Докажите формулы и приведите примеры.

Несобственный интеграл

• 14. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от α.
• 15. Несобственные интегралы от неограниченной функции (2-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от α.
• 16. Сформулируйте и докажите признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.
• 17. Сформулируйте и докажите предельный признак для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.
• 18. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и свойства. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.
• 19. Несобственные интегралы с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость. Сформулируйте определения и приведите примеры.

Приложения определенного интеграла

• 20. Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых и полярных системах координат и параметрически (с доказательством).
• 21. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox (с доказательством).
• 22. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy (с доказательством).
• 23. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах (с доказательством).
• 24. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически (с доказательством).
• 25. Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения Ох).

Дифференциальные уравнении

• 26. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, определения частного решения и интегральной кривой. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения.
• 27. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, его геометрическая интерпретация, изоклины, общее и частное решения. Сформулируйте определения и приведите примеры. Особая точка и особое решение.
• 28. Дифференциальное уравнение п-го порядка. Задача Коши. Ее геометрическая интерпретация для п = 2. Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения (формулировка). Краевая задача.
• 29. Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения (вывод). Приведите примеры.

Линейные дифференциальные уравнения

• 30. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные. Теорема Коши существования и единственности решения (вывод из общей теоремы Коши).
• 31. Линейный дифференциальный оператор. Докажите, что решения ОЛДУ образуют линейное пространство.
• 32. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Примеры линейно независимых систем. Теорема об определителе Вронского системы линейно зависимых функций (доказательство).
• 33. Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений ОЛДУ (доказательство).
• 34. Фундаментальная система решений ОЛДУ, сформулируй к* определение и докажите ее существование.
• 35. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения п-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения ОЛДУ п-го порядка.
• 36. Формула Остроградского - Лиувилля для ЛДУ (вывод для п-2).
• 37. Понижение порядка ЛДУ при известном частном решении однородного уравнения (с выводом).
• 38. ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Сформулируйте и докажите теорему о связи между корнями характеристического уравнения и решениями ОЛДУ (случай различных действительных корней).
• 39. Построение фундаментальной системы решений ОЛДУ с постоянными коэффициентами в случаях кратных действительных и комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
• 40. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения НЛДУ n-го порядка.
• 41. Метод вариации постоянных Лагранжа для НЛДУ (вывод для п-2).
• 42. Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений для НЛДУ. Нахождение частных решений уравнения с правой частью специального вида.

Системы дифференциальных уравнений

• 43. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема Коши существования и единственности решения нормальной системы (формулировка). Приведите пример.
• 44. Связь между нормальными системами ДУ и дифференциальными уравнениями высших порядков. Докажите теорему о сведении уравнения к системе и системы к уравнению.
• 45. Первые интегралы нормальной системы ДУ. Интегрируемые комбинации. Симметричная форма записи. Применение к решению системы ДУ.
• 46. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнении. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы ОЛДУ. Фундаментальная матрица системы.
• 47. Формула Остроградского - Лиувилля для систем однородных ЛДУ (вывод для n=2).
• 48. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы НЛДУ и теорему о наложении частных решений.
• 49. Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем ЛДУ (вывод для n=2).
• 50. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения (вывод для случая действительных и различных корней).