Ответы: Задачи для подготовки к экзамену

Распознанный текст из изображения:

ДО 2 семестр Алгебра и геометрия

Задачи для подготовки к экзамену

ДО 2 семестр Алгебра и геометрия

Задачи для подготовки к экзамену

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Задачи типового расчета

Тема 1. Линейные прост1занства

1.1. Пространство геометрических векторов 1'з

1. доклзвть. что миохгество всех геометрических векторов. удовлетворяющих условию !т и)= 0 т где а = !/,-З О). является линейным подпространством в пространстве 1з. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

2. докезвть. что миохгество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию ~т т1= О, где о = !т, 1,-з~т являстся линейным падпространствам в пространстве Гз, Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства да базиса всего пространства.

3. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства р';:

1) радиус-векторы точек данной плоскости;

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором а угол а:

3) множество векторов. удовлетворяющих условию х = /.

4. Перечислить все линейные подпространства трехмернога векторного пространства.

5. В пространстве р''з задана система векторов о = (/, 2, 3), Ь = (3, /, 2), с = Г-/, О, /), Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы векторов. Записать общий вид векторов. принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства !' „,

6. В пРостРанстве Р з заданы вектоРы о = /, Ь = -У + /. с = ! — /+ Я . Показать. что система .~' = 1а, Ь, с~ обРазУет базис в пространстве 1; . Найти матрицу перехода от этого базиса к каноническому базису и координаты век-тора х =./~ -3/+21 в базисе,~ .

! .2. Пространство арифметических векторов /с"

7, Доказать, что векторы вида (Ь, — а, о+ 1/1) образуют линейное подпространство в пространстве /с'. Найти его базис.

РазмеРность, Дополнить базис подпРостРанствп до бстзисп всего пРостРанства.

8, Доказпть, что векторы вида (и+Ь,2с -о,3/у.с) образуют линейное подпрастрпнство в пространстве Л . Найти его

базис и размерность, Дополнить базис подпространствп до базиса всего прострпнства.

9. Доказать. что векторы вида (а-Ь, — 3Ь,О,о+ Ь) образуют линейное подпространство в пространстве И . Найти его ба-

зис и размерность. Дополнить базис подпросзранства до базиса всего пространства.

!О. Образуют ли векторы х~ = (/,2,-/,-2),х, = (2,3,0,-/),х,, = (/,2, /,-/), х = (/,3,-/.0) базис в пространстве арифметиче-

ских векторов /с ?

11. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства Л". В случае положительного

ответа найти базис и размерность подпространства,

1) Множества всех векторов, удовлетворяющих условию х~ + х, + ... + х„= Г) .

2) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию х~ + х, + ... + х„= / .

3) Множество векторов (х~, х,, ..., х„). у которых все компоненты х, - целые числа.

!2. В пространстве /с задана система векторов и = (/,0,0,-/), Ь = (2, /, /,О), с =(/,/, /, /), с/ = (/,2.3,4),

с = «Г), /. 2,3). Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы векторов. Записать общий вид векторов, при-

надлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства Я

1.3. Пространства многочленов Р„

з

!3. Доказать, что многочлены вида Р(х)=(п+Ь)т' +(а — /з)т+и образуют линейное подпространство в пространстве

/',, Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

14. Доказать, что многочлены вида Р(х) =(а+ 2Ь)х +(Ь вЂ” с)х + ЗЬх+и образуют линейное подпространство в пространстве Р; . Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. 15. Пусть /. - множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию РГ/)+ Р'Г/)+ р'Г/) =О. Доказать. что /. - линейное подпространство в пространстве Р,. Найти его базис и размерность, Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. !6. Пусть /. - множество мнагочленов степени не выше 2. удовлетворяющих условию РГ0)+ РГ/)+ рГ2) = О. Доказать. что /, - линейное подпространство в пространстве Р~. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства да базиса всего пространства.

1 Ъ з 17. В пространстве Р задана система многочленов р Гх) =Зт +2х+ /, Р,Гх) = 2х' + /х+3, Р;Гх) = /х' — /. Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы многочленов. Записать общий вид многочленов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства /' .

Ъ 18. Образуют ли многочлены Р,Гх) =х' +х — /, Р,Гх) =х —.х, рзГх) х' +х, Р Гх) =х' — 3 базис в пространстве /д

з !9, Доказать. что система многочленов Я = т +/, — х + 2х, х — х образует базис в пространстве /'. многочленав степени не выше 2. Найти матрицу перехода от базиса .~' к каноническому базису и координаты многочлена

Р(х)= — Зх + /х — 7 в базисе Х. 20. Установить, являются ли заданные множества подпространствпми пространства /'„. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства. 1) Множество многочленов степени не выше и. у которых коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. 2) Множество всех многочленов /'(х) степени не выше п таких. что /'(х„) = 0 для некоторого хд ~ Й, 3) Множество всех многочленов /(х) степени не выше и таких. что /(х„)= / для некоторого х„е И. 1.4. Пространство матриц И„„,

2н а+ 3Ь вЂ” 2с 21. )1оказать. что матрицы вида об)зазую1 линейное Надпространство в пространстве матриц М „. Найти ега базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

с~+/) 5Ь 0 22. Доказать. что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц И,з. Найти

Г) а Ь его Оазис и рс1змернасть. Дополнить базис т1одпросояранства да базиса всего пространства,

0 / 23, Найти общий вид матрицы, антиперестанавочной (.-.1Л' = -Х-!) с дпнной матрицей А = . Доказать. что

-/0 множеств~э мацмц Л' образует линейное подпространство в просзрпнстве Л/, матриц 2-го порядка. Найти его базис и размерность, Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

/ / / †/ / †/ / / 24. Обрпзуютли матрицы /.~ =, /., =, /:; =, /., = базис в пространстве матриц /И,'? / / †/ / ' / †/ †/ †/

/ — /, О / 25. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки системы матриц /.', =, /.',

0 0 — / О

/ О 5 — 2 /".з , /.',

— / -3 3 26. Установить. являются ли заданные множества подпространствами пространства лг/„„, В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства. ! ) Множество всех симметрических квадратных матриц порядка и А = Л . '/

/' 2) Множества всех кососимметрических квадратных матриц порядка и Л = — А, 3) Множество всех квадратных вырожденных матриц (сЫ А = О) порядка и.

Распознанный текст из изображения:

Задачи для подготовки к экзамену

ДО 2 семестр Алгебра и геометрия

Задачи для подготовки к экзамену

4. Скалярное произведение

собственные векторы оператора А .

29. В каноническом базисе пространства йз

собственные значения и собственные векторы

э /

30, Найти

зз 'у

-/ — 2 /

имеет вид -2 3 О . Ортогонализовать базис и), с" . Вз / О /

5. Ортогональиые операторы

)з. переводит базисные орты ) и

3. Квадратичные формы

! . Ортогональный оператор.

действующий в пространстве геометрических векторов

3- /' — /—

с» = — ) + — /+ — /Г . Чему равен образ орта /Г 7

/3 /3' /3

./,,>—

/ в векторы ~~ = — ~ — — 1 и

> 5

ЯВЛяЕТСя ЛИ ОН Орто! ОНьЗЛЬНЫМ'".

ДО 2 семестр Алгебра и геометрия

2.7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

///

24. Линейный оператор А в пространстве Г,. имеет в базисе ', !', ~ матрицу / / / . Найти собственные значения и

///

собственные векторы оператора А . показать, что это оператор простого типа.

5. В пространстве р'з линейный оператор А - зеркальное отражение относительно плоскости )'07. Найти собственные

значения и собственные векторы оператора А .

26. В пространстве )."з линейный оператор А - проекция на ось О)' . Найти собственные значения и собственные векторы

оператора А .

27, Линейный оператор А - проекция на ось х+ 1 = О, Найти собственные значения и собственные векторы оператора

/

28. В пространстве 1'; оператор действует по правилу Ах = ~х.а! а з где а = — (/+ /'+ ~/. Найти собственные значения и

Д

оператор А действует по правилу Ах =(х1 — х +х;, х, — х,, 2л;). Найти

оператора,4 .

31, Линейный оператор А в каноническом базисе пространства /', многочленов степени не выше 2 имеег матрицу О / О

— / ./ О . Найти собственные значения и собственные векторы оператора А . Является ли оператор А оператором про-

— 2/2

стого типа'?

32. В пространстве /', многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу А/ф) = ~/+ 2)/>"(Р). Найти его матрицу в каноническом базисе, собственные значения и собственные векторы. Является ли оператор оператором простого типа".

О / 33. Оператор А действует на матрицы второго (юрядка по правилу АХ = В Хв. где />'=, Показать. что А-

О линейный оператор на подпространстве симметрических матриц второго порядка. найти его собственные значения и соб- СТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ. 34. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А из задачи 22. 35. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А иэ задачи 23. 3б. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А из задачи 24. 37~, Пусть х, и - собственные векторы линейного оператора А, отвечающие различным собственным значениям. Доказать, что вектор х+ и не является собственным вектором этого оператора. 38*. Как связаны между собой собственные значения и собственные векторы операторов А и А '>

з 39'й. Как связаны между собой собственные значения и собственные векторы операторов А и А

з з

Привести квадратичную форму р~х/= л ~ + 5Х, †./х; + 2х,х, — -/х)х, к каноническому виду методом Лагран>ка.

Найти положительный. отрицательный индексы и ранг формы.

у

2, Исследоват~ на знакоопределенность квадратичную форму ф~х~= -/х~ + "хгх з + (ух)хз + л ~ + х; .

3. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

з

фр) = Ух, + бх, + (ух'; + /2хр, — /Ох~ха — 2х,хз.

4. Найти все значения параметра А, при которых квадратичная форма

з з з

р~х(= 5х~' + х, + Лг; + /х/х — 2х/х ~ — 2л .х;

положительно определена,

э

з

5, Значение квадРазичной фоРмы на вектоРе х = х,б У +хуе. Равно Г/>~х1= 2х~ — бх~х, — х,. Как выРажаетсЯ Р~х)

5

/—

ЧЕРЕЗ КООРДИНатЫ ВЕКтОРа Х В баЗИСЕ ~ У + Е., Е1 — -Еа

2

3 э

6. Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму ур/= х~ -6х,х, +х к каноническому виду.

Найти положительный. отрица-ельный индексы и ранг формы.

7, Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму

з

ф~х/= хе + х з + 5х; — з)х/х з + 2х зх, — 2хух

к каноническому виду, Найти положительный, отрицательный индексы и ранг формы,

8. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка. определить ее тип, найти каноническую систему

з

координат и сделать чертеж: л — 2хг+ )з — /Ох — 6 )у+ 25 = О,

З. Базис кз, ез( является ортонормированным. Составить матрипу Греме в базисе рз -» з. гз ь з» з ~.

1 -/ — 3 2, Матрица Грама в базисе ~1. ~" ° ~ имеет вид

3

! ) Найти длины базисных векторов и угол между ними,

2) Найти длины векторов х = (/. — /), )у = ~2, /) и угол между ними.

1

3. Найти длины векторов» = » ь - т»». у = зг» з гз и уз»зл между ними, если катрина Грвь»в в базисе

32/

4. ОртогонализоВать базис ~, е'', б, матрица Грама в которо~ ~~ее~ Вид . 2 /

/ / !

5Р, В пространстве /'. многочленов степени не выше 2 введено скалярное произведение по формуле (зз.»з) = р(- !)»З( — з)и уз(ЗЗ)Ч(0)ь ЗГ(У)»З(!). Показать евклидовость скалярного произведения (Р.»у). Найти »озимь» векторов !>(/) = / — /+/ . с/1Г) =1 и угол между ними. Нанти матрицу Грача в каноническом базисе и записать скалярное произведение в векторно-матричной форме.

6*. Скалярное произведение в пространстве /'; многочленов степени не выше 3 задано формулой

l

(зз»з)=) г зз(г»з(з)»гг. покет»зть евкззидовость скалЯРного пРоизведениа (Р,»з). пРовеРить. по лл» вектоРов

0

/>~/)= (-Г ', б!(/)=/ выполнено неравенство Коши-Буняковского. Найти матрицу Грама в каноническом базисе и записать скалярное произведение в векторно-матричной форме.

2. О»»оратор переводит векторы ортонормированного базиса (». » ) в векторы з = — (у»з — »' ) з з = — (г» ь»»'').

-/

3. Является ли ортогональным оператор. имеющий в некоторс)м ортонормированном базисе матрицу