Ответы: Программа курса к экзамену по лин. алгебре (II сем)

Распознанный текст из изображения:

1. Линейные пространства.

1,1. Понятие линейного пространства.

1.2, Примеры линейных пространств.

2. Линейная зависимость ц независимость системы векторов в линейном пространстве.

2.1. Г1онятия линейной ~ави~имо~ти и независимости системы векторов, нх своЙства,

2,2. Критерий линейной зависимости системы векторов.

:.3, Критер й сохранения линейной независимости при расширении системы векторов,

2.4. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости для системы геометрических векторов,

2.5, Понятие полной системы векторов, свойства полных систем. Теорема о соотношении числа векторов в линейно неза-

висимой и полной системе.

3. Размерность и базис линейного пространства.

3.1. Определения базиса и размерности линейного пространства. Примеры конечномерных линейных пространств и базисов в них.

3,2. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Выражение линейных операций над векторами в координатах.

4. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.

4.1. Определение линейного подпространства. Примеры.

4.2. Линейная оболочка системы векторов в линейном пространстве и ее свойства.

5. Линейные операторы и их матрицы,

5.1. Понятие линейного оператора, его свойства и примеры.

5.2. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Векторно-матричная запись действия линейного оператора,

5.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства.

5.4, Умножение линейного оператора на число, сложение н умножение операторов; соответствующие действия с матри-

цамии операторов.

5.5. Обратный оператор, его линейность, Критерий обратимости линейного оператора в терминах его матрицы и ядра.

Матрица обратного оператора.

6. Замена базиса.

6.1. Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому и ес невырожденность. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

6.2. Преооразование матрицы линейного оператора при ~ере~оде к новому базису. Инвариантность определителя матрицы линейно~о оператора при замене базиса,

7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

7.1. Понятия собственного значения и собственного вектора линейного оператора. Примеры.

7.2. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

7.3. Линейный оператор простого типа, диагонализируемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа.

7.4. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора с помощью характеристического

уравнения.

8. Билинейная форма и ее матрица,

8.1. Понятие билинейной формы,

8.2. Матрица билинейной формы в заданном базисе. Координатная и векторно-матричная запись билинейной формы.

8,3. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса,

8.4, Симметрическая билинейная форма и ее матрица, Квадратичная форма, порожденная симметрической билинейной

формой, ее координатная и векторно-матричная запись.

8.5. Теорема об однозначном соответствии между симметрическими билинейными и квадратичными формамп,

9, Приведению квадратичной формы к каноническому и нормальному виду. 9,1. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому.виду методом ЛвсрайжЖ 9.2, закон инерции квадратичных форм. положительный и отрицдтвлвный. индексы инерции: кввдрдтцчной.форм;Фе

Распознанный текст из изображения:

1О* Зивкоопределениые квадратичные формы.

10.1. Положительно (Отрицательно) Определеннай квадратийнай форма. Канонический йил «кзложнтельно «гг«рн«««х«ейьн:,:

определенной квадратичной формы„ее индексы и ранг.

10.2. Критерий Сильвестра положител~ной (отрицательной) определенности квад1~а «ниной форчьь

з1 Евклйдово пространство.

11.1, Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение, 1'1ричеры евклидойь«х пространств

112, НЕраВЕНСТВО КОГПИ-БуияКОВСКОГО. ДЛИНЫ ВЕКтОрОВ Н УГЛЫ МЕжду НИМИ, ИсраВЕНСтВО трсу ГОЛЫ«НКВ ()рт. «зйй;С«ЬНЬ«Е

Векторы. Теорема Пифагора в евклидовоч пространстве.

1;2. Матрица $ рама.

12.1, Матрица Грача скалярного произведения в заданном базисе, Координатная и векторно-чатрнчнай гзпнсь

скалярного произведения.

12.2, Критерий матрицы Грама. Преобразование матрицы Грача при замене базиса.

13. Ортогоиальный и ортоиормированный базис.

13,1. Линейная независимость ортогональной системы векторов.

13.2. Ортогональный и ортонормированный базисы, Запись матрицы Грача, скалярного произведений всат~ров и длин

ВектОров В этих базисах,

.13,3. Метод ортогонализации базиса.

14. Сопряженный оператор. Самосоприженный оператор,

14,1. Понятие сопряженного оператора в евклидовоч пространстве, его матрица в артонорчированноч б«гаке.

14.2. Определение самосопряженного оператора, симметричность его матрицы в ортонорчированноч базисе.

.14.3, Свойства самосопряжеиных операторов.

1.4,4, Ортогональные матрицы.

15. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом

'вртОгввалв«выж преофразований

15:.'1-., 21квивале«итиовтв формул преобразования матрицы квадратичной формы и матрицы самосопряженного оператора

'ври переходе От'-одного ортонормированного базиса и'другому Построение канонического базиса квадратичнои форм $

в«аф:(у~ън~фмв1зощнново базиса из собственных векторов самосопрйженного оператора.