Книга: Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей

Распознанный текст из изображения:

~::-.,::. Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Распознанный текст из изображения:

е„:-дщРОятоОСТЬ

яоя«ч(остей рассматриваются такие явлен„

я или '. кеход'«ксторь«х не определяется олнознач

«ачно сф~ча«ен«),'но по результатам большого чц

числа

еднем мОжст быть прслсказан (свОиство с|а чияоспф вбьпйем, (элементарным исходом) назьгнаст „ од«''бпьгга), которое нельзя представить н ви уг«нх событий. Так как исхОд Опыта случае нтарное событие случайно. Далее будем гоно «гтиях,,не подчеркивая их случайность. элементарных событий л2 (исходов) назынает-

еХ 'элементарных событий (исходон) й результате опыта обязательно наступает ка

нтарных походов и только Один. Пространст '« ытий может содержать конечное, счетное

ожество элементарнь«х событий. й(!«-.«!~~!~~~фй~«ф::событием (событием) называется подмножество ;.в~~~т'.~аиэ«гв«а,'элем«ентарнь«х собьгп«й. Элементами события ~~:-:.;:;"-~)~я'~ЙЪМ<ейгар«ные события, образуюшис это событие. ~~,,-:;".'".:,",-.'-::-'.;.':,'.~.«:.-",.'Яр~:.:':,:;Бр«охсалется«одна монета. Рассмотрим события- г,б !,::.:.';:;:.'::=„:~Ф~:-'=,,Ё~;:-'~йа:«(«а, = Р),тогда Й = (Г, Р). :.:.";,'':;,-:,,'~Дюне«р Бросаются две монеты, тогда

а = ((Г,Г),(Г,Р),(Р, Г),(Р, Р))

::." - ' Мф)эн«ЕР КаПЛЯ ДОЖДЯ Паласт На ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ПЛОШаДКУ :.";, .х((гда,Я'= ((х, у), а < х < ««, с < у с д) .

Достоверное событие — событие, которое нсегда происходит '.''в:.резэуль«тате данного опыта, оно содержит нее элементарные

события 'и обозначается Я, так же, как и пространство элемен-

' тарных собьпий. , ',, ззевозм

евозмажиае событие — событие, которое не может про: изоФтив ез

из, Фти в результате данного опыта, оно не содержит злементар:::. щи':;.Сфйгий:и обозначается И.

«ф;,

ется

сосго

при

Рнс. 1

со

Рнс. 2

зы эле

Рнс. 3

Пример

гие — выбо

Сумма

. Пуст

р черв

собы

юбой

ь выбираю Онной карт

тийА, В: С=

карты нли л

Произв Разнос кроме десят

десятки. событи ггий А,

и А,  — выбор десниц червей.  — выбор любой червФЗ«в(йЖ

едение ть собь

1''1'-'-:::Дейс~)йна

Пусть собь«тйя;:А„::."В:::.:6)цщ

действия иад Ними-,.'аиало~б~щ

хорошо илл«ос«трирувзтс«я::,,'дв««

обозначим прямоугол«ьнщсом,

ПРЯМОУГОЛЬНИКа,'" а" КзжКДОЕ:

этого прямоугольника., Резуль

дем заштриховывать.

тся карты из кодоаза::,:,)«)«Р~';,;~;..„;..;,,::-:-~ ',"Е А +  — выбор любкой«чФ)зййй«й~"'""' "' '

Распознанный текст из изображения:

~янееЖеекое опРезхеление вероятности

ти собь„ фдузврйэйв:нйзьгзнйются равновозможные. нес „ со4йЬайяющие' полную группу. тньзе со. э'~'

ссонместны Зф4;~!~~анстно элементарных событий г, ~ужо;:~лкучаев. соле рхог,

! жят ко- ~'"!Ф,:-".:. общее 'число случаев в й, а у чи

числа случаен ~::убытие А (или, как говорят, благо„„„„

тнуклцнх Вей)н6ьть)о'события А назынастся отношение

Л'

Р(А) = — л.

.ф~!(Ссисческое определение вероятности, фа)(й!),",'',".''Бросается итральная кость, тогда а=(<

"зь) цвгхе'.'А:— ,:: 'количество очков кратно трем, А =(„, Позвтогмзу Р(А) = — = —. 2 ! б 3' !рйщ.';:В'урне находятся п белых и Ь черных шараа. Вы-

,,'оун. шар. ытиеА -'.шар черный. Тогда Р(А) = —.

Ь

и -Ь ~.';:.",!.;,;х!вбйствю

:;;,'.!„'-;,~~Ис~щ)гиз классического определсния вероятности события, ' "-;,':'-.:,,";ФЮОдот~зазтК"свойства вероятности и их следствия. ';,~,~.:.':,::-,;;,"-."-:;-'-:::1)',::Рх(я) =.! (У, = )у); ;-";--'-",:'=::",=;:;:,.-"::2):;:;:О:< Р(А) < ! (О У„< Ф) . :;-,:'г,:."-!:,:;-::;.;;;:3):если АВ = О, то '"=':-;''-;.':::,:!;::,::::Р(А+В)= р(А)+ р(В) (М~,В = Ф пл) !'",;,:,:-" .следствия: ;,;:-.:;:..';.,:::,:;:;:::::;'-:::-;,:;:.!)Ар(9) = О (У, = О);

2),:Р А =!— ~!"'.;:: '; ). (А)ге)-Р(А) (А+А =й, АА =И. Р(А)+ Р(А) = П ;":,::. „.;.. 3), если А, !- В, та Р(А) «р(В)()у < )у,)

абшега числа равновозмажных исходов " !,'.;, ""!:::,::,.:;":;;::;;,,„:-:,'.;?.',":,: „, уюпнгх исходов используется основ"о" ',;-;,"'".!!!!;:::,:;,.;„:,:.;..:,:-,,:;,,:,:,,~, ОРики: пусть некоторая операция Р представ;

Сочеганнх

ВЫЕОрха

щ л(л — !) ...(и — за+ !),

с,'," =

лз!

л!

и! (л — лз)!

Без нозп рашен ил

С возвра- щением

т и

с„= с„

'":.' ',„...;с~ф,

о получаются .(аз, "',.",'.".".,' ' .,„:-' ".4.';-'-.

н

ений легк

а чтобы пе

~м (без воз

ючить те, к

збарки, развя

я перестан

= А" =т!

Формулы инаторик ащений) выборки ком элс лемента

для размеш и. Для тат к сочетанш , т. е. искл ментов. Вь в, называютс в ранна Р

комб нозвр чить поряд ком э

нз лз элемента

Сл—

Л$

ство формулы: для

ебнике [!).

Даказатель едена н уч

прин

ляст собой последовательность',.'и'::опе) "' " ' ' " "

лвя из которых может' .быть; ззф4с)тй~;,"'-'".'"" операцил Р мажет быть вьша<луьейа'"-''~~~~::!~~"".='

Пусть мы лелаем вйборку.пзоогче~ййфф"":- мср, шарон из урны) 'из зг'.нзгемайг)зр'.: э -'~а очередной шар (в урну) тогда:зафи'::,';~ц~г.~" мы будем иметь все те же л 'Шаро«в'"Т~;,

выборкой с возвращением. Мы ь)бам.,':~~.,"~~~«" ':~ глн прп каждом выборе мы будзем"!вью~~~~!"'~!" ь;; ' числа шараа. Такая выборка назьпздетбйзн)Ь(ф~~~„-"~у ння, С другой стороны, если учитзйвзагтт~";ф~~~з~)~) ' ров, то выборка наззявается упорзл(з~~йй(й)й':,':~!':Щ~~"""и '' и по лз (шарон). Если порядок шаваев'-',з)й

кне шары выбраны, но не важно;-"в"3(а~оМ!!а~фа выборка назьзнается неупорядоченион,:'))лзг'",„'

(шаров). Выясним, сколькими спобобазйн',:.мьо~з~Ь"';;"зз' шш иную выборку (табл. !) -;:.:;;:.';:,',"::::;,!-,.;:;:,';,;',",'""''„'!!!~-",','. ' '

Распознанный текст из изображения:

вереитиость си(иязии 4. хняърос Из Охбытиа й~ Их, т( несовместных сииытил

тии вулси иизыеи~ь 1и °

и'

л

+ Н„1=~ЛИ,

.и

яероппюсти (см. ря1л ! 1 и

~= ~ Р(й,~Р(ЛУО,~:

(,4/а, у

х билстое стулент знает а ать из зкззмсие билет иср-

лл «хорошийэ билет

и, то Р(.4) =. —.

':: ф.: фйфй(фДййа' ве(ииффио)ать собъпии

~~~~!::,;,.".,.':::":~:. !;.::,'.::;ф ащфвйтатййи со ~лизйством Зу

Р(,4у= ~Р(ЮР

ю!

Хфиаийх Из и экзамснэаионны

(скарошиеь билстыт. Что лучцсс: бр

'Вйедем событие А — студент вз

х(Фтв;етулент берст билет нервы

дусте стулент берет'биавт'ваврй((й„'.!':,~ф.'.~~О

(т, — первый стулетсу айвам ', ' ' '

Вычислим веройтНОСТЬ ОдбвеФЦбйф!";.".";!!~'-""'

Р(4) = Р(И$ЮМУНФ+:~'

л л- "х:;::Ф::,:~Ф';: хх,,

С'лслоиетслъио, безразлйеио~ ~;,„,',

рым,

У.й, фОРЫУЛи $ВХйййа:.6айв6(61~~~ „.

В с итсзстстиии с теоремой ума(икФйй;:,:,,

Р(А(У ~ -- РЯ~УР(Ж Я='-ЯМ.':

й псе равенство иолставим зиа%~;:."~ф„:: "",;"

формуле полной вероятности, и яаййеуа Р~~,::~:',;,:.,";-:!,:;-:,'т~.

Р(М = ~Р(ЙДР(ФЮ-'~."::::,':::::.':..,':::;'-,'~ "'

~~~~ П,'~' '-:-:Ж' '~~Ф

Р(,у',4> = Р(Н,)

Эттх следствие из теоремы «миесйевии, Ф

ролтности нззьеяетсл Формулой Бай(и а, %6КеВероятности тииотез Р(Щ,.вйоуёФйр:„:Ф::,' ','

роятности, называкхт авриориыми,' е', е.

опыт Оровслен и сто результат нзвеФехс, т.в;"4~~:-

изошло ияи нс Ороизоцзло собьттие 4. 'хввй6$-' ", " '''

Оолучси нри осувзествлсиии какой-та-: цдйОВ!.'уф '

полнитслънгл инФориаиии Об иехойв,атййй(в

вероятности Гипотез. ЭГЙ персрасйрелфиеййыф,

тез Р(0~4) называхзт ввеетериарвмии, т. е. «Ф

Пример. В первой корзине иахойатей,'4: тсйвй~й~:":,, '

хлеба, во второй — 4 камешка и, й тсуесФЙ6'М1е~",

выбирает корзину, белост и ией Ф втатвйййй((йФ . „',. „

Распознанный текст из изображения:

чск зате событи обежит к сть того.

м вновь возя А? Каковы первой корчто опа вто-

ности

5 1/2+ 1

/5 1/2 = 1/2;

шую зн зпачени

роятност (Р, +...+ личина

Р1 ". Рз

Зако зываетс

Р(Нз)Р(А/Нз) !/2 !/5

!/2

между е

торыми

Осл

случайн

го уголь

Рз

Р1 Рл

Х! Х2ХЗ . Ка

Рвс. 8

,г,'-.Г

еоба(аи"".'";;:А,' (зтуе4пелагается;,.что' этот кусо

~а~:;,в,'-:-корзийг),; Какочва вероятност~

аншеф~ ~~й~":.ю~,"' что'.;второй раз мышка и

~а';:.:~.~~о~Ф':."кбфинеУ Какова вероятно

йт~~:."в~; кусочек хлебай

Йт';,'.†."-,",,",".)!г)яшка?бежигк первой корзине;

~~:-';;,~',„;::,))тйШка."'бежит ко:втброй корзине;

~ЯД, ='"'~2/2;;="'Р(Лз)' — априорные вероят

/Ф~):-.-",":М;.5;:;РР(А/Н~) = 1/5; Р(А) = 4/

' Р(г /А Р(Ц)Р(А/Ц) 1/2 4/5

~Р(//,)Р(А/Н,)

Вероятности Р(Н! /А) н Р(Н~/А) являются апостерпорнымн

атно стями. ри втором подходе Р (А) = 4/5 4/5+ 1/5 ! /5 = 17/25 > 1/2 . ышка. обучилась, второй раз она выберет первую корзину шей вероятностью и добьется большего успеха

аметим, что это — один из основных принципов обучсшгя етических систем.

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная вели пина — зто величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.

Более строго, случайная величина — это числовая функция случайного события Х = Х(со). га е й а Ю. Здесь 5 — алгебра событий.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, Например, число очков на

грани бр герба—

Слу' 1ения за ный. Зде расстаял прибора чины.

Расс

Распознанный текст из изображения:

той Фуи

слева.В

.'- Д««я

расПРе

нии. В .Вилс аналитической

ння;;(хи,, х„и вероятности

'ну«о величину. Для непре х) = О, поэтому рассматриэтих событий. «аной«случайной величины

«я Хсх:

тн ости,

извод

Ясно

Р(а

коно Бная

«ости ва пл

ия

Рве, У

т е Функния распрелелегом деле, Хсх, ~хсх (Х с.;) = Р(х,)'

) = 1, Действительно, собыероятность нулевая. Собыоягность равна 1; )-Р(а). Так как события А = (Х с а) естны и собьггие С = (Х с Ь) есть сум-

Р(1«) = Р(Х с Ь) = Р(С) = Р (А) + Р(В) =

,4э„~,~~~~~ .„...досто, Р ~~Ъ'.,.:,'::".'-;':"'ц~;;;::-~~~~Х::с-~).,=,. РИ ''::::"":"::='"!Х~аР+.":Р(в -.Х с л).

::-';.'~!",:-":;,':"',.' ~~~~~~д~' Функции рас .:;: ч)йад«лт«акч на'рис. 9.

Ях)

пределения имеет примерно такОй же

Функни«о распределения можно опрелелить и лля дискретнол" случайной величины. Ее график будет графиком ступенча-

'2Э.,;

том всрояп

Свойст

1) р(х)

«пая функп

2) )" р(

Расс мо

грааген«те р(х)а1г нааываеиа«г впввв«яй

Отност««распределения так как фуч«кция распределения —" неубнвад~ -;.,',

— (условие нОрмирОВкн), так как Р(+~а~-"4~ ' ':.;,'"-';, числовые карактеристики случэаййаиг ~,:;:;;.,-:„';;:,':;::

Распознанный текст из изображения:

';~,,'в,та варавва.

Яфд.'

ь»с;"

х 'вели»и»»

»у (х)»ух,

случайной величины называется

„= М(х» = а~(Х).

йньсх величин т =л;р, »....+х„р,,

' и ь

жить точки лц...,х„с ь»ассах»и

ентра тяжести системы тачек, случайных величин математичеимеет смысл абсциссы центра

ункции случайной величины

2) м~сх):=:СМ(Х)';::В,":))йй~Ъг

суммы:в дискретйм6~!~»я»й)вФ нам случае; 3) ЖХ+ у).=:Жа)=.;:~":ЩУ~ 4) М

р, = ) (.х — ш„)'р

Дисперсией называется ной величины: .О, = 0(Х) = По свойствам математи

В, = М(Ха)-~(

К::=,-''.:..--:;-':";,";:.:-' '- ".';." ~'. ~~с)))~атеней "случ "!'::::;щв»-непрерывной ; „";,: ' С»войства метем

»с дсррвтиастью р = ,;.;ча)6»(ях' величин

»н (((Х)) = ~У(х,)р»

айной величины;

М(,(<Х) = ( ((х) р(х) Ух

случайной величины.

атическага ожидания:

Для дискреп»ых случайных величин. если Х = С

1, то»н(С) = хр =С. Для непрерывных слу- М(С)= ) Ср(х)ах= С) л(х)Их = С по усладля плотности вероятностей;

Эта формула часта при концентрацию кривой расп пределения) около математи вай аси расположить точки момент инерции системы центра тяжести»лх. Для д»»скретнь»х случайньс» величин

и ~)х = Х(х -"")'р'.

»=» Для непрерывных случайных величин

Юх = ) (х-»лх)-фх)е(в

Распознанный текст из изображения:

под знака

я а(х) =

спользуютмера остро-

рифметиче-

е значение

лучайной величины О2 = О и 12 = 1). По-

';.:-';«,;,-",;:.~:;,;;;',:~:':::::~ия'распределения равна Р(х)= у, 0<х< 1;

1 1<х~+ . Математическое ожидание разно

М(К) = ях = Од + 1р = р.

Ясли составить ряд распределения лля с

Хл, то мы получим ту же табл. 3 (так как

ость макси— абсиисса

плотности х) = 1(2) ятностью р ний в мимаюшал два р соотаетст-

этому М(Хз) ь:р,', .а': лисде1МММф:.'л(о ,О(Х) = М(Хз) — (тх)з'=Р—:"Рз,="":лз("::Ь

распределение н(авивается'::,'рй~иома если плотность случайной' ''мййвйир~ (а, Ь1 р(х) = р и равна нулю::виа.':~тбто Из условия нормировки:Лазя,'',:за' 1= ~ р)Ь: —:.-."р(

а Отсюда вьпекает, чти р.=,,'- ..';:,:,,'

'-'1"; распределения. Функция распред ленной равномерно на отрезке 1а,Ъ

,О,

х Е(х) = ) р(х)ах = Ь 1, Вычислим математическое ожид ны, распределенной равномерно н

г х 1 х а3„= ) — ах =—

Ь вЂ” а Ь вЂ” а 2

а '+Ю =1 0 а

аз (а+ Ь)(Ь— =р

3 2 а~+аЬ+Ь~ а +2аЬ

3 2

= — ~4а'+ 4дЬ+ 4Ь' — 6а~ — 12аЬ -6Ь + За . + 6дЬ+% 4:=:-':':,;:::.-:!-,"..~-.":.":"~~~Я 12 1~з 12 То есть при равномерном распределении..а„;=:д~~д~ф~~."'~ = (Ь вЂ” а)-"(12.

Распознанный текст из изображения:

1

!

п!(и — е!)!(и — и!! —...- еп !)!,

пй ! ез!...ел 1

так как л = е, + ... + и!и . Поэтому

~!!!1,.::;.:~::::-::;",„:~'"';;:.;.:::~!!:,:::::.',:,:,:::.:-',:;:,;.;.-:4.':!ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИИ

~'„"~~ ~ '~'-;:;~~",';!'„с!!ф „фл!р!>ВОдится.п",а(пытОв (испытаний), в каждом пз кото- ~~~,~';";:;.::,',"',.:.:,';!,.,:::р~йй,~~шоу;'цаФ~шпь, один!из М исходов. Если результаты одно',""';-;,';~!~;-',;;;.'-,.!::(!о:.""" ~~6~~~:::Ие:,::зависят от результатов хруп!х испытаний, то в~';:~",':;:;!!",д~".",;!и ФЪ~тания,назыда!ется независимыми. Например, стрелок =,':~~:;;,.';:~:,,";,~~:.~в()а~!';Н,::."~стРпевол' в 'мнщеигь в котоРой иместсЯ !У областей ~4~-':.;:!~".:;~;"„'!!:;-,""Мй~~вэкй)з(!две.'сигу!ации: условия проводе!шя испытаний пе ~~~!~~1!:,;-",";.';.',."йе~:,'~«сзг)уодия:"А):или меняются ат испь!тания к испыта- ~Ч!~~!.,~~;::-:::~!:~,::;«~атб~т".:8)з

:-':.~~!;:~-;!:;-,:":-";:':~,:-';:;;:,'!:П~~!число,исхо!дов' равно двум (Ф= 2). Схема независимых =,~~".„'-; "'ф~й!с;-')(вумя,'ис!ходами называется схемой Бернулли

:::~„.:"'.~~;::;.:,';=':::~",;:::~'':имад!а:-'зсоотвегствутот в приведенном прнмерс попада;."-.::;:.',-,'::--,":;,;.::: —:,Й~к1::«уайду):,'и)!и:не!попаданию в мишень, причем в каждом вы- 1!„:~';"-",„фу(8)де;:,в~рояй~ость попадания. равна Р, а вероятность промаха !,::-;::::;, Урадна..д —.-',"Х;,.-"':р';,Обозначим вероятность попасть е раз из и вы.;;,'",::;:;~Моя''„:Р«ж,:л);::Вероятиость не попасть в мишень равна :-',":„.„:;.)Р(Оул);.=;;,:д,:,;",тр)к':как в каждом опыте стрелок промахивается. Ве!-,-';: ":: ~~й~йорть':попасть олий раз равна Р(1, и) = пР!)" '. так как стре".л ~".М' -' х - ' ..

.-, ".:;;,::;,'~к;"Может'-г!опасть при первом, втором, и-м выстреле. Вераят',:;;..:,'"'",'ное(1в попасть',в;:мишень два раза равна Р(2,п) = с„'р'д" -. так :„;:.'".-,',~йй,дв~ поп~иания (порядок не важен) должны быть размегнены ;...-".. «вгаборпкн-без,возвращения) среди и выстрелов. Аналопппго! вс,,." ',пбяун6сть 'попасть в мишень л! раз из и раз равна

Р(т,п) = Р„(т) =С,',"Р™дп '",

" т.':,е:,получили формулу Бернулли

Распределение Р„(т) = С„"'Р дп называют биномиальным.

В самом деле, Рп(т) — коэффициенты прн л"' в разложении'по степеням гпроизвод!пней функции ч!(-.) = (де Рг)

Из формулы Бернулли вытекают два следствия

1) вероятность появления успеха в л испытаниях не менее

т1, раз и,не более тз раз равна

2) вероятность хотя бы одного успеха и-л йспьг(гатп$яй;-р~;:,;;:..;:~'-;::-;:.'"~:„:- (е =1,и!,=л)

! ' з

Л(1, п) = Р (!и > 1) = 2' С~р"д~" = 1,— 'С„'"'раф;="."2'-:~':.-;=::,,!~.",:;,,~::",',~~:;;,

е=!

Если Х имеет бинамнальное распределение':'ж,".Ме"::;;-":;:;-'""'';-'~,"„-.:,;;.:~'-:..Й~~ 2), = лрд.

Пусть в ситуации А число исходов равно' 'К; 'аз!х„'й~~~~~~.'",'"=:,":..~~! ~~. сти равны Р,,...,рл., Вычислим вероятйость'="того"",~',"~;-й;::~":::-',.':,~'-;"; пспъгппгнй !'-и исход наступит т. раз (т ..+..'.)чзтл...'—- .й);,:."::.:!:;::~';!.'-.":.-."-~,;~:,!"::~-',,'!!'!~!~ „

!

Заметиь!. чта

т! ! (п — т! )1 ее! (и — и!! — пь )! ел 1(л — т! —..— егг)т:::: '-:::;,';;:

п!

и!

Р (т!, „и!и. п) = Р "'! Р,~п,.. Р ~'", .

т!т,!...т !

!' " У

Это — палиномиальное распределение. Здесь,р(т,', -'„ти',,п~'::,: —,,':;-':;::::,:":,",;::::; —:"::;:::=;'

это коэффициенты при ~!"!... г",„и в разложении по степеняМ,:"' '::;-";;,:.::~.;:-::-:.-'

~!,...,.и пРоизводвщей фУнкции <Р(~!, ...,дд) = (д!Р, + ..+:~лРД .

Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или Им~,=",:,:,:-':";:;:

го исхода зависит от номера испытания, так как условни: М)

пытаний различны. Вероятности Р(т!,...,тл',л) — ' это коэффФ;

28:

Распознанный текст из изображения:

дарко,"«вв3а??рлить-по классическому опрсле-

4.,'.!~~~о«м':,у6орем«"ы«умножения:

:,::-,'=,";:.':;";:::::':".-:.";::::-"::::::: 'С С ... "

««

««

„"'~.'-'-":2:(М',"'='".т-",т,; и, = и - »,) 1зала«>л о

Пуассона и распределение Пуассона

таннй"и. велико, вероятность успеха р мала ф~~ф~М,",а~~а)аааще,;;Жч?ар мало. Тогда вероятность наступления т успс- трУ,;":~~~ф$1в,,"р;;~д~~йн?прсуьтожно приближенно определить по формуле ,!~~;;:~":*;,"";-';:::;~~ .'что« "по' формуле Пуассона можно считать всроят- ,~«'~!-'-:,~,="'.,~му«'спой;-'если значение д мало, приняв Л = »д. ',;-,,«'.,=~.'-'-,,',::.,;.',:...;,";,:,':~.">?3«?ч(ьйня?я«величина с рядом распределения

«««

т! ;""= 'ра?ей':распр«еделенне Пуассона. Чем больше п. тем формула Пу',;,'.;асс«она,'хрчнее'.:Для грубых расчетов формулу применяют прн и =

..:-',,::1$'.;-':«Л.";-" О...'2 и при и = 100, Л = 0...3; для инженерных расче' 'т«ов? — ',';пря'п='20«Л = 0...3 и и =100, Л = 0...7; для точных расчетов †",:при и= 100, Л= 0...7 и и = 1000, Л = 0...15

Зычйслим математическое ожил«анне и дисперсию случаййоьй величины, имеюшей распределение Пуассона

— х Л - -х Л -х х М(Х) = ~ ', т — е ~ = Ле >' 2 ' = Ле " ~' — = Ле >.ех = Л; ь«ма т М (»' 1) ?=а Х

,)л „,, л

л >и.', (т — 2)1

(х(х

Заметим

ИН

Неп

распрел

мулой

рерыв елсни

где Л>0

Для

ел у'

прсдсление

Есл которог ленные ний это с парах кретны.

и вреь о соб случа> го соб ?стро ь и анал

Нсп

деление

ность р

рерь

»р кп

явна

«

-(.«-««1

1

р(х)= — е ы,хе й

ля

— 1)) = м (х')-м'»х«)::=:::л~'',:.:.:,",т':.":,'Л):ь~-";.~'-:":-'~"' р-

0(х) = и (х') — (м (х))': =::Лз+л-;=::::.."."з.".:::."-.'о";-.",.;,.;.,,~" атд

, что в распределении-Груаб«сохи»а"!Мч'«»~:,~ч=.-~~~»"" "' "" '

5 ЭКСПОНЕНЦИАдфН«ОЕ:-.::-''-.'",';,':„".-',.г«';.,'";:.'-'..',,'"!~~~';,:;,

ОРМАЛЬНОЕ РАСНРЕДЕ3) ~-;.",'-~4~=;~

5. 1* Экспоненциальное 'рас,фе«д~~е~)щ:.-,.",--;;:,'..."~)„.,~,

ная случайная величина имеет~ экснцне~~9фф~ь«

е. сели ее плотность распредедеййя'л~дта~4а-'„'~~~ф);,

— параметр экспоненциального'р«а«с«пред«Н«'11е~'.'.";:-.'!!.-";~;:~~эь~

~айной величины, имеюшей экспоне«н«циаль«?т«ое>!1М~~~«1~~~'-,~~3~

, м(х) = —; о(х)= —,; г(х)='~ ':;

?сна между последовательными наступлениями;:!~':.'-;~:::-.'~~?"..«й„

ытия — независимые, экспоненциалъно.',:раС~~-",:,."-':,-'-,:::;:;,-~,'..-'„.~~~

?ные величины с параметром Л, то',,*щсло;:напав~~:,"":!;:,.;::~~~,'.,

ьп ия за время ? имеет пуассоновское р«а«сйре4е«>азине,:::;";-,':,'.~«'-,:,-:,';:"~,"".

~ Лс Геометрическое распределение: явля«ет«с?е'.";:дй~-',:,"-',-:;.':!:::;,':,:.«,:;,':,",,".«,.'

агом экспоненциального распределения: ',:,".:,.,': ':,;,: '::.';:,-;.';:,':;,,-«Л«!;:-::,;„!!';-,,

5.2. Нормальное распределение

»распределение Гаусса)

~вная случайная величина имеет нормальное распре-'

ределена нормально, или по Гауссу), если ее йд«от;-. ' ' ' ..;:='ь

Распознанный текст из изображения:

— М (Х) М ( ?') .

Х?)(у- М(у?) =

ХМ(У)+ М (Х) М (у))

У)- М(Х) М(? ).„М (Х) М(у) ?'):

вот)с)'ву ) ? имеем соз (» Х? Р( Х);

.::,'~=,:;:,:;,,';::=,=,.':„::.',.",:;,",.-.:.=::М(Щ-М(Х) М(

;-';.::.~":,",-~;,";-„,".,'.:..:,."!,'"':,;;,'„,':::,':;2)';::,Пот(Х, Х) = Р (Х) .

':~:::"-,".,;-;:::,::,=,.):;.-:-:=-':;М.((Х').-(М(Х))' =

,и;

.„.;-;.~;:,;;:!::.;::-';:;.,:;::::;!":=:: 32-' если; Х У независи

:;.~!:,'::-'.,»':.-::;:-'::.'-:-:::Ю);:::,: Були: случайные в

;:;:".,:::;;::;,::,'-:,;:::;:;:„;;=,:::М(л):.М)(Уд), тогда по

;-"".-.:.'::;;!;:~'..",!'-;:,;";:: ~вниз(а)»н?а;. Х" У называются

',"--;О -;:ж"н)екоррелированиос

'!~'::~''":::":=::-::: "-зсй)ййтн''следует некоррели

'4):::,сов((аХ+ Ь), (с У +

По Свойству Ц имеем

:=';~И ((рХ+6)(~У+ а)))

= асМ)(ХУ)+ ЬсМ(У)+

:.' 'са (Х)М(У)-Ьсм(

=.'ас(М(ХУ) — М(Х) М

5))сок(Х, У)~ < Р(Х)

свойства. Рассмотрим сл

Р(~) = З(аХ + ?') = М ((аХ +

+ ( — М(Щ~ = М Га~(Х

+ (У- М(У))-"? = а~Р(Х)+ 2

сюда следует свойство дисп

+ 2соч(Х,У)+З(У). Так

+'2асоу(Х', У)'+ Р(У) > О.

минайт . этого квадратного

а ссп (Х, ?') + Р(?') . Заметим, что отерсии (при а = $) Р(Х+У)= Р(Х)+

как В(л) > О, то азР(Х)+ Это возмоэкно только, если дискри-

трехчлена относительно и меньше

сов(Х У) = О (обратное

сливины независимы

свойству )) - (» у) О

Рре ~ированиыми ) сл)) со~ (Х у)

ти ие след)уст независимость, из иезавироваи иост ь;

г))) = ассог(Х,У) .

сог((ах+6),( У ьд)) =

— М (аХ + Ь) М (с У -)- г!) =

ааМ (Х) ь Ы—

У) — г?аМ (Х) — Ы =

(У)) = ас со)) (Х. У ),

,Г ОП). и ° ' р апп, „„...

учайную величину е = аХ+ У. Имеем

У) — М(аХ+ У)) — М ~ а(Х вЂ” М(Х))+

— М(Х)) + 2а(Х вЂ” М(Х))(?' — М(У?) ь

ерное раснределенне.:".",:,-':,':,'::,':.::.:, †:',:;:..-':.'-;:,':.:,~!м~з номерно распределен'в»об)ла~:'.";::!::;-:!-::,',",';;;:::-;~~ плотность распределениК:~'„;::;:;:;::-„:":",::: '-";-."~;":",~~ (Х у) ра но расггредге)(йр~'~":=""'-':4-" ) у <6.

6.4. Д

нумерное равном

Случайн

Р (плогпадь

на так: р(х, у

е Р,

Пример.

прямоугольн

величины Х,

ый вектор (Х, У? рав Р равна 5), если его ) = О, если (х, у) е

Случайный вектор икебьхна, ОУ некоррелированн

Ны(попам,' это )требоваин или Равен нузпо. (соч(Х, Р(Х)Р(У) йО. О лл .,лечДУ 6? лля то ого )тобы случаиные вел„„

Х + 6? иеобкод о симы (сом(Х, ' ) =

и ~'))- Л7ГОю. д = аХ + 6. Тогда Р(у)-М(((

(Х У)-М

(( ™(Х ) На» + Ь вЂ” а М(Х) 6) ' ~""(Х'Н =!'1 Р(Х) =,/Р(Х),~,з Р(Х)

Лака)к~ы аоста „„„ гла (см. доказательство свойства 5) Р( в))зельне.

льна. е — летерминированная = сопи, поэтому величины Х, ?' — лин Коэффициентом корреляции назыв Свойства коэффициеггга корреляци )? Р(Х,Х)=); 2? если Х, У вЂ” независимы, то р( 3? р(аХ + Ь, с У + г?) = з)ап(ас)р (Х, У 4? — 1 < Р(Х. У) < 1. 5) 1р(Х,У)~=! тогда и только то висимы

Распознанный текст из изображения:

Хф::=!,-') .: '.,' х' РР!»

::!!:,',!»е(у): ~=!

а Бернулли. При независимых исп ости к вероятное ательство. Чебышева.

Теорем

опытов

по вероятн

Доказ

ио теореме

неограничени

ытаний — часто

ти события.

Доказательство

Еп ».

~~0 <

п~ и и

еравенству Чебышева следует

уст угвертедьство сходимости по вероятности едыдущей теореме).

сть Х», Хе — зависимые случайные

кими ожиданиями т,,..., пь, и дпспер-

ифметическое наблюдавшихся значений тических ожиданий.

о. Доказательство сходим

~мости по нерокак в теореме Чебышева.

)~(.,з~ф~~ф-:,~)»';;-';;: 4~„:Пусть' '1:;

;;»::."» оща':: средчцее. ар :-': . аФ~~ййьпг'величии сх ',ме(з(чтеск(уму их' матема

Дока:з',ательств

хйттосьтя )заводится,

:=;-,':: —::;.'-':М:~~."Х„- М(х; Х, ))'

Хь)1.: — з й( (Х(Х вЂ” БУ(Х,))'),

» независимы, следонате „

7.3. Предельные

ьиая предельная вия, при которых о малых случаин я к нормальной »ьная предельная случай ного экс айных факторов мало, то такой з ьным рзспредел ответствуюшнм о Ляпунова Пуст еюшне математи ) = О». Обозначн

раиными со

Теорема »гичины. нм персии 0(Х»

Если можно подобрать такое значение 5 > О, что

то при и — »

!

Р; (.х) сходится к Ф(х) =—

Ял

равномерно по »с

Централ вяшая уело днвидуальн мых сходите

Центра» если исход числом случ небрсжнмо, ется нормал

теорема— функпия

ых велич

»)»ункцни теорема перимент , влияние кспериме енисм с и бразом. ь Хе — не ческие ожид

м

"~~ (ь( (Х» — »пД'

»ы — ~0

Распознанный текст из изображения:

1тия в и исп

собь

Лсви — Линд

Тогда по теореме

1'огда ~~ри

) сходится

Р'

авномерио по сс Отсюда сл

пения

«

з л

«

б» = чпо =и-/л. »--~

юбыс значении

условие

!

Фо(х) ,/2к

~; лтг )Л'» — пл»~

»ы

Тзк кзк значения ча а мо

0

/с! — пр

образом, заменим и пав

/прфу

Выведем интегральную формулу

сти нахождения числа успехов в

,/л )пр

и, а. Тогда

... '.Ла

ков " и-.-, Лепи — Лиидебе

ово ра.сире е ерга. П

чесхззе ' ' ' ые случайные » — незави

кис олсидаиия .~т, е вели нп,ь, „и исимьл

ти дис ' имеюплн „одииаисперсии Лз( ), матам

«

л- =О-.О'

бозиачи„.

Х ('А'л -пл)

у( ) сходит я ! . 3

~~)е2 у

равномерно по х.

В теое

р мс Леви-Линдеберга с

'центральной предельн "

!ой теоремой)

и называют

выгюлнено„оно превращается в—

ается в — — ----~0 (проверьте саин)

пз

из-за т ебо а

р в ния «одинаковости распределешшаь т. е. вкладов ся чай»

делешшаь т. е, равенства

ов сяучайных величин в случайну!о величину У. Поэтому, теорема Леви — Линдеберга следует из теоремы Ляп

р тривать схему Бернулли, то из теоремы Лсви— Линдеберга следует интегральная теорема Муавра — Лапласа.

Интегргьгьпап теаре»иа Муаара — Лапласа. Пусть производится и нсзависимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может появиться событие А Введем следуюгдие обозначения:

ния: Х» — число появлений события в лс-м испытании

«

(»!«(-'!») = р ~)Щ = РУ)1; К = ~', Хл — обшсе число появлений

тайиях. '( МИ)"-.-„'пр ':"~СЖ;: —.:,'~Ж)~~'::,: '',,

'Р'Ж-'.с.й";.".~;~=~*„

— лр Ф(ь) Ф(а)'=. Фо(а1,.,:;;Фа(:::,,:;-;=':;::„:;::,':;".:::",:;.!!!:'~ж!!~-"'"~' '

, Х,Т,,„-,.Я-:,~ФЕЕ

1 э

о

быль выбраны п(ютзг~,: .;::„;::;: '= -' г'и

Муавра — Лапласа д

заданном интервал

гп1 — пр т — лр пгз — пр

р~п!,с~" Х слп. =р 1 с — с

~ .,~пру,~лр) 4пРЧ

п и

Заменим а на а —, Ь на 6 — в силу произвольности

ргу рс)

Р а — с — Рсб — =Фа а — — Фд а:—

Распознанный текст из изображения:

ь Е.С.

ель ЕС'-,

1973, 17

~ В.Е. Ру

матем

В.Е. т

Высш. ш вероятн МГТУ

ическа

01, т.е, а=-е,Ь=е, то по нс-

получим

се = 2Фо

велена

о, что

лл герб аления

фермул» лля вычисления отклонения

появления события р=0,8. Про спытаний. Найти вероятность тот нее 75 и не более 90 раз. Лапласа получаем ~ 90 — 100 0,8 ~ ~ 75 — 1ОО О, 8 ) '-;;".-'„-;": „"';~'" „."".' "мФа(25)-'"'Фа(-1,2ч= О 4938+ 03944 = 09882 ~"~;:::-.':-':''-'::.'.;'::,:..;;-:::::;:,:.И~ий~ер,.',.'Зюффон бросил монету 4040 раз и полу и =."":;-""'2((4~::раз';, Найти вероятность отклонения частоты поя '"героя'от',вероятности,

Получаем:

''' "Р~~--1~се! = 2Ф ~0,007 1 — ~= 2Ф (0,89) = 0„626.

Веяе цел

564 с.

Веялш

М; Наука,

Гмурлил

ятностей и

334 с.

Еиурма

стика. М.:

Теория

шенко. М.:

тика в техн

Оечарое ХА ТеОРИя.~фр, ... ководство к рсеше~ивз!~:,"~4~, ','

атической статист~,':,':.':,М!'.!!ф~""

сория вероятностей:;И,','ь(9, к,, 1972. 477 с, остей / Поп Реи. ВХ.-':фаРлойиаь

им. Н.Э. Баумана, 2001 .4Ы:-:В.""4'