Ответы: аттестация по исследованию функций

Распознанный текст из изображения:

А~Э

1 (.: фОРЪ|~' 1$(РОВ ЙТЬ ГС;О~ ~~'.М~' Г ОЛ '~Я. 11~3ИЪ|СНИМД ЛИ ЭТЙ ТООРСМЙ К

Г'

фукауим у'~х) =- =; х.(х-41 и ~~х) = ~'х- -4х+4 ий отрезке ~О;4~?

ЕС ~~~ ДЙ. ТО ГГРОВСРГ~ТЬ СПРН~: ~Л~ГЙОСТЬ ЙЙКЛ~~~~СН~ГЯ ЭТОЙ ТЕОР~МЫ„НЙЙДЯ.

СО~ ТВс",ТСГБЪ'МИ~0С ЗНЙЧ~' НИ~ С. УКЙЗЙТЬ КРИТИЧССКИС И СТЗЦИОНЙРНЬХО,

ТОЧКИ„ОСЛИ ОНИ 1ЮЫЮТСЯ. ( ДСЛЙТЬ ЧЕРТ~"Ж.

Распознанный текст из изображения:

1.Р

'3л.д и !3 .~))~1.~~! ~ ~ 1 " ~!~~!» !, ~~~Ъ !~~!„',~>'.,~ ! ' ~'4 ФФ".464 Группи ~ ~,. „',Х 4~ф — 9~'~' '» '~~,;.:~' ~ ', ь ' .."~„„,д;,. ~й,

«.>(;~'~, д '/ б ~~К+')' ь ~ ~~+~ ~ $ (1'.+~ 1~ ~~~д ~ --~ -~ ЬЖ04

~4-~ ~ ~М вЂ” -Д~~ =.' — ~,

„,,Ь

(~~1~

~Л~-.Ф ~~+ ~ ~l.д „р ф' ~ Е ~' ~ь-Э~И ~-ою ' -1

~~-~~-ю х-~»,', ~~+ ~ ~

', ~РАЙ'Р ~М~~яЯ

с у-~- ц~м~,, ~~ЖЯ-~,' ', !

УЙЫма~~~Ы-, '~'~ 0~'~~

; Х~, Ы -+а~ф ~ф~~

' ~Й.'Р "А'.~ ~'- 10~ !

'." ГА'-К й~

Распознанный текст из изображения:

'~ 4' $~

В

ремя вы,.д и мления ' '1~ ~ '»~м,~и. ~~ 3

— А'ГП",С $2ЦНОИИЫИ ЛИС1 ДЗ ХЗ

Ы й.а8

!

Г ФЗХ!И.П3Я ЗТТСС1" 'СМОГО ~ ° 1 Я ~ ~ ~-, ~ .- ~, ~ р д ~ ~ ~ ~ р ~ ~ОРИОф~щц.~ц~. 6,7 ~ ~...„,.-,,;,:„: о„,ц,,;.-

!

3хи и ', Вдрм~п ~ 1Ь .и~,:л: „р»:;:», ь.~~.,в ОЩ ~~~~ййй6 1,",'

~~= ~+ ~-дл.с,сА~х Л.00~ ~~~ ~~- Жу иу, а$.у 1 ~а. Ю. Й2И~ 64 Сф~.~,:~ ~~~у ~, '~~' Моруа й хне ~л,~о ~ рь ,'„, З);,; '6,4~.~."~ Х'=<-~ ~ ЛЭ', '4 — .~~~' фАЩ Д вЂ” О ТО Х+.~-.~д, ~,ф~у — ~ / ~+

У ~0 /

~)

Ю'

Распознанный текст из изображения:

,,'~~~,~~~~~ '~~,', ',, '. '~,~'~'~~М

/

~~- 2'

л

4 ф

е о

-~ сю ~~' ~1 ~ „„~. ~'~ ~ — ~,''. ~. ~,',

'? з ~~-~~'-~~'ь,~,~/х-~1 ь/~'-'.!~-' '''-- '-'-:

-/,,

Х Ъ~ -г-~~~' 8Х+ ~ 7 ~' ~ с/у ~.~' '? ~' ~ ".~,~1-- г ~

'Г~' 7 '~~

р ")~-. 4 ~= ~-."~ ~,. -3 «г= ~~~ ~ ~-'"~)

-~-.Д -~~~, — ~~.~-,+: х ~г

— ~ — — — — -.— --Ф--- -- ъ, Т~ >/= ~

..1....

%= Ч -5'=9

~, -2' Ь ~,--6

Е ~ ~ В~В

6

Г~-~1= '-,'.

/

Распознанный текст из изображения:

, ~:,.;-'!~';~".-

,;,;:.~--,,:-',,:,:-';::,:,"')~авиа)иь„ива)йааМж апаипав. 'Вжрвьаь ааи аааиймаиищаь:- ..

:.::,:::,' -::::-'::;::::",-'::::, ~зауевпв отрищапии слаапаьто мпевавппивпв а „;.'к,)~чч). Маппестав й лейстаатевмььаь часик, чао имиииаь Йфщеаеькутжп а окрестности. Прьппапв ввюапипмк отраькоа-

3 Оцзавпчеппме а аюираьи ьппакестза в В. ОараИММЭ)~Ь",. ' вар%пей а апимей гравей ыиожестайГ"'ь). ДджзФп$ю("' ) ик Девззксь~ ) теареььы о точпььч грмпьч Прьевата прпмсрм,

4 Фупкпаь а ее грьфак. Опрелелепае компомщпп фуикинй и аарбаьава:.';:;:.;.~ фвлплрив. Определение четьи. нечетиьсь и перпощьческиж фуващпй, савФВщаМ44Ы '-".-.":;;„; трефам- Опрелелепие фуижцйи: (в) монотонной; (б) о%рапи%павии щади)иди жврамекутюе

: Ж~~~~ч~~ ~=;еь~ептврпые фупкппп. ак свойства (обнести юфмцаиифнй:та звз апай. жчьотоппость, четпость-нечетност перполльчпоств) а треф~®и..3Ьааа

6. Чь~~овья лосзеловете тьпость. Определение !тредевв ел~ геометри~мскья пнтерпретзцми. Схолйпбййсй Ефапеа' последО~ите:л~ностя. Докззйть: необходимое усйоапе скпфимаааи ~ охрзнечепеость к лостзточное условие сходймости ~елеззь Оцрезелепве пптерболнческнк функций, ик простейнтие свайазив и

6 Рззптчные типы стремленнл действительного в~иманта и енаа ветствуюпие им семейства окр~естпостей. Общее определение ираиаиа ф:нкцнн по Коши прн произвольном стремлении аргумента. Рвспиьффа~аа х-+а,х-+а+,х-+а —,х-+оо,х-++ „х-+ а. Савм меацф иреФющМа функции при односторонних н двустороннем стремлении вртуамзпа. О$ффффффф:,:,,:-~;:~!!''; предела функции по Гейне прн пропзволывм стремлевьии артумю$$$, а~1~-';.,~ зквиваленпюсть пределу функции по Коши. Применение првйиий фЩФйЩйФ М$3~'"-~

9. Дтащзать теоремы: (в) о единственности предела; (б) о а ирадвве (о пределе сло~кной функции).

И). Диквзатв теоремы о локальных саайстаак ирайааФ

Ф~

Распознанный текст из изображения:

1 ~~'ф„; ".ффф~~йф1ФФ фффф1Щфф фуййцйй

:ьй;. ~$фФ)~ййййиФ беейойечйо мйдйй ф)гййцйй ~ ай 4фаумбйтй, фжФйфройка ддя конйратймк стремлений. ДФйаьв 'ИйфФ!ф;;-)в:- ф~й~йй~ ее Йрйдюла и бесконечно малой прй некотором стрймлйййФ ф~~$,,:Ф!-",,-'-" Фь"йства бесконечно малых функций.

13. Определение бесконечно большой функций црй ФЮПММ аргумента. Расшифровка и геометрическая интерпратЖФФ 4ЙФ )ай'.й1а стремлений. Доказать теорему о связи бесконечно больц1ой й беййййй4ЩФ'~!~.'"!'.;.

~".,Я ' 14. доказать теорему о «первом замечательном пределе» и ее едФдйээй~',= 15. Доказать теорему о «втором замечательном пределе» й еа едФДФФЙЖ 16. Сравнение функций при данном стремлений, определение ФПйзйййййя"-' '" «-» и «о»-малое, Доказать критерий эквивалентности двух функций ЙейрФФ4 Ю рыности эквивалентных функций) и другие свойства отношения эквиаалейтностй 1теоремы об эквивалентных функциях). Определение порядка малости 1илй роста) одной функции относительно другой при данном стремлении,

17. Вывести эквивалентности (при х — + О) для функций: а1пх, 1цх, агсяпх, агс1цх, ! — соах. а' — 1, !оц„~1+х), (1+х)р — 1, а также для многочлена Р(х) прн х — > 0 и х — э ~о 1т.е. для каждой из этих функций указать эквивалентную ей функцию вида С х и доказать соответствующие эквивалентности).

18. Определение непрерывностй функции в точке, равйосильные формулировки. Односторонняя непрерывность в точке, ее связь с «обычной) непрерывностью в точке. Доказать теорему о переходе к пределу цод знаком непрерывной функцйн. Д~~~~~~~ непрерывность суммы, произведения, частного й композиции двух непрерывных функций. Формулировка тевремы о непрерывности основных элементарных функций, доказательство Йецрермйййетй мйкйечлена н фуйкцйй агп х. Доказательство теоремы о йвйрармвйоетй айеаммтарйых функций.

$Ф. Определенна функций, непрерывной йа йромезйутка„в чаатйййййз фь аГф~йа:. ДМаазаЩ") таерЕМЫ О ЕЙОйстаак фуййййй, йайрауыйййй йй ~фа~йа Иф$6$ФФЙ Ффй агля~ Й~Гфйрующйе: (а) црймеййййе' ЗФФ ~ФИ~ фя

и уйййййй Й йй формулировках. В::...-:::.'-'~ -:.- ':- ф ф 'М ~ — — -::: .,:-,:-:-'«"-------''-"---:--'-'-"-----'-""-'-'-"-ю--:-:::: -" ф~ййа)Й1 - . ~фйФФ ф)~МЦФБ~,-: -Ф:, 'ЦМФ

' 4фФМЗЙ. $4ФЮФЩФ4ф,4:,',1~~1

Распознанный текст из изображения:

МЭФфй«рв$йфф.':. Еа,ь"~ " '"".'-""

зазццгиых неявно и параметрнческз, Произ физический смысл второй производной.

Определение дифференциала ф~щ,

~ правила нахождения дифференциала суммы, провзвадеап;я н. ~~.;:,.'-.:.:.'-'-," ,' двух Функций. Доказать ннварнантность формы Определение дифференциалов высших порядков.

Определение (локального) экстремума функции. Доказать теа Ферма (необходимое условие экстремума). О „„ онарной точек функции.

28. Доказать теоремы Ролля н Лагранжа и дать им геометрическуаа интерпретацию. Записать теорему Лагранжа в виде формулы кон~анк приращений. Доказать теорему Коши.

29. Сформулировать правило Лопиталя-Бернулли и доказать его дла случая — . Раскрытие неопределенностей других видов. Доказать теорему о сравнении роста показательно, степенной и логарифмической функций при х-++ о

30. Доказать(*4') теоремы о представимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом: (а) в форме Лаграюка; (б) в форме Пеано. Вывести разложения по формуле Маклорена функций: с", яцх, совх, 1ц(1+х), (1+х)р. Применение формул Тейлора к приближенным вычислениям и нахождению пределов.

31. Доказать достаточное условие монотонности дифференцнруемой функции Доказать достаточные признаки экстремума функции: первый (в критической точке) и второй (в стационарной точке). Доказать(") третий достаточный признак локального экстремума (по п-ой производной).

32.Определение выпуклости графика функции (на промежутке) н его точки перегиба. Доказать достаточное условие выпуклости графика. Доказать: (а) необходимое условие; (б) достаточное условие перегиба графика в данной 33. Схема полного исследования функции н построения (эскиза) ее графика. 34, Оцределенне длины дуги плоской н пространственной кривой. Наппаать фпущпы для производной н дифференциала длины дуги (вывод только ддй ,' В)$ц

цайт врвпвзй). Геометрический смысл дифференциала длины дуги пдосаазФ

Распознанный текст из изображения:

"";~",'ЖЯ"„:":.3 ~;" -" *, ф р„..*Ц~фМ~ЯЯР~ !. Основные аарелеленкя. 4 ~с ~,*'~*, ~;Хй ЛФ ЩЖИЗВО~НОЙ ф~й3СЯНП Э ТОЧКА,"~.„ ~.~;~Г~."МЛ~Н И6 ДИфф~~ЮН31И~~ФМОСТИ фУЙЖ63$Ф ~ ~иге.клинке ароизнолной а гс~ йорана. .! I 3~~ю~' 'у ~ -"щ~~» ДЯфф~~~ЦЯфЯр фЯ~КЦЦф, лифф~рсиийййй. ( И~релел~ние монотониасти фуюсцнм $ Теча,,' ', ",', ФфМЭВ. 7. ОПАС.2~Л~ИИС ЗЬЩ~КЧОЙ фУММЦИН. Ь ОЩЖЛФЛ~ВИФ ТРЧХИ ПФ~ХП4ОФ фУ836ФК, ',;;-у'.:,',."':-:;"-,'„,-';,"~"-::::,"-':, -- ',:;: . ', ",'-'.:."':,"."'!:".";."'

Оаиоаные 'Пийрены (е ЛФКФЭВИ4$аФЙММ1ф,-;,.-:,",''~',- 1. ЭкаиввлситвхтрдвфферювФусмас~й и с~: ."', 2. НФЩЩРЬИ$НЖЦ» Д$$ффФ$МНЗХКЩФМЩ ффЯКЦЩЬ„,.„!';:,"',".':~!! 3. АДцфИСТПЧФФКФФ ~ЩЙСТВ$ ЩЮИФЭЦЩЙЙ П 4, Тещин о даф~фФйцщювэаяй ФКПФММ ф ~~~.,"~:::л",,",,-- Я, Т~фф~~ О ф~~фф~ф~~~ф~~®~ййК йбф$ф$99 ф 6. Ч"МрснаФВф~.;:.;: —- 7. 'Хфэуама Ьща~:."."-::::-'::.";-:.: у 1 .„'*~ "-' р'

3.; 3,,'трама;Вацек!фФ$~';- -' Ь- „! '„~"Щ~,ф~~ф~фПф'":,~, ~~, ..., у, '

ЖЪ

ъ