Другое: Раздаточные материалы

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При публикации файла на другом ресурсе, активная гиперссылка на studizba.com обязательна

Распознанный текст из изображения:

Математические модели дискретных процессов и цифровых динамических фильтров

Обобщенная блок-схема цифровой

автоматической системы управления.

Математические модели дискретных временных процессов.

Можно выделить следующие основные типы моделей дискретных процессов:

- временные модели дискретных процессов х "ф,

- модели дискретных процессов в форме их =:- изображений х":~);

- модели дискретных процессов в форме их 1тт-изображений х "~и:);

- комплексные частотные х "Дф или псевдочастотные спектры х"Дл). дискретных процессов;

ей дискретного по времени процесса х~ф может быть представлена в б,(7 — 7' ЛТ) - периодическая, с периодом ЛТ, импульсная

Временная модель соответствующего

г-преобразование дискретного процессах "ф можно получить с помощью формулы --преобразования:

х т'=) = ~> хЛ.ЛТ,т =' '

Т00ПЩИ е-т7 ГОб 030ВПЙ77и П7й770ВЫХ ЛООЕЛЕй и ЭОИЕСС06

хф х "'~'г) х(г)

!

х "~'~)

дЯ !

1

!

-стт

е

ась

с7=е '

е — ст

и-преобразование дискретного процесса х*® можно получить с помощью формулы и'-преобразования:

или х т'-,) — хФз)

: -т 1

процесса х "ф может быть вычислен с помощью

.. ~т) =. *~'-)

1-и

Комплекспый частотный спектр дискретного

соотношения:

! . 27г 1

х (У'г0) = У х(Ага+А.— 1) = — ',Гх~ло+А в, ~)

ЛТ,. ' ХТ ЛТ „.

где: х( ~О) - комплексный частотный спектр непрерывного сигнала, представляющего собой огибающую

хф дискретного процесса х "Й);,, — " - частота дискретизации процесса х "ф по времени.

ЛТ

Комплексный псевдочаст07пный спектр дискретного процесса х"Г7) может быть вычислен с помощью

соотношения: х (ф,) = х ' ~Пт) ~, где: )„— Г~ - относительная псевдочастота такая, что при

и ЛТ

Ы=/,:.

2

ст ЛТ

< т т '',аПРИ Ь7 + — Х +~,

„,.~Т ы,

2 2 2 АТ

Математические модели цифровых динамических фильтров,

Математические модели цифровых динамических фильтров устанавливают связь между

соответствующими дискретными значениями процессов на входе и выходе этих динамических фильтров.

Можно выделить следующие основные типы моделей цифровых динамических фильтров:

— временные модели в форме разностных уравнений;

- е - передаточные функции И'"~=,7;

Даскретаач часть таскаемы ' Непрерыачач часть системы

т',: кт:к;т

последовательность

единичного уровня; ЛТ-

дискретизации

:"'~ ...'!„,~':.',:-,';',!„;:',~,'.,";.',:;;:~'.,:„::,;:.:;:;:; процесса по времени;

«'„„','.;,;~.,:;;~~~~.:';:;,:',,!,.:,;,;,:~:.~„,,,':,~,",„.'...",,:.,"'1: 7' — индекс, номер шага

дискретизации.

Распознанный текст из изображения:

где Е~.у — символическое ОООзъаче~йве аф~~~~'"'я чФ п$ ч$Й за ~$~м"'.. Втата Операции.

ОчеВидно, что в этом слъча мозг: аБззсго-ькфр0%юго преобразования может быть предстаВлена В виде:

.1„~.„~7.ЛУ~ = Е ~Г,~„1й'ЛТ~-.0.5.яуз~у~7 ЛТф

Статическая характеристика цкфро-аназо'"Ового преобразователя ~ЦАП) также имеет нелинейную

статическую характеристику Еозффициент передачи его линеаризованной статической характеристики:

Ь вЂ” Г „.

Р3йх ~~ъ7 и ~ ~'' урр- ~ ' д~~ц

Цлй = 44Л

2 ' — 1

где: пллл - число разрядов цифра-аналогового преобразователя:

С'- напряжение на выходе ЦАП ~В1; Л~г~г~ - разреиенне ЦЛБ.

Передаточная функция ЦАП может быть представлена В виде

~'цлпМ = ~"цлп ' ='~цла ~'зоМ

Х

где И'ул~ — передаточная функция экстраполятора нулевого порядка.

Распознанный текст из изображения:

Эквивалентные преобразования дискретных и непрерывных моделей . Преобразования структурных схем моделей дискретных фильтров. Возможны три основных типа соединений динамических дискретных фильтров; - последовательное соединение; - параллельное соединение; - соединение с обратной связью.

Структурная блок-схелга последовательного соединенггя дискретных динамических фильтров представлена на следующем рисунке: Эквивалентная Х-передаточная функция последовательного соединения дискретных фильтров определяется выражением:

И. ( ) =И' (=) И. (=:)

Сгггругсгггу1зггая олок-схеэга ггараллельного соединения дискретных динамических фильтров представлена на следующем рисунке: Эквивалентная Х-передаточная функция параллельного соединения дискретных фильтров определяется выражением:

И' ф = И'., (г) + И', (г)

Сгггр) гоггурная блок-схе1га соединения с огггрггг1ательной обратной связью дискретных динамических фильтров представлена на следующем рисунке:

Эквивалентная Л-передаточная функция соединения с отрицательной обратной о*г~г связью дискретных фильтров определяется выражением:

И; (=')

1+И', (=) И', ( ) Преобразования моделей непрерывных динамических фильтров в эквивалентные

модели дискретных динамических фильтров.

Для эквивалентного преобразования непрерывных моделей в дискретные возможно использование разли гных методов: - метод, основанный на использовании прямых разностей; - метод, основанный на использовании обратных разностей; - метод Тастина (Тггзггг1); - метод экстраполяции нулевого порядка; - другие методы. Мегггод, основанный на использовании ггря ггыхразносгпеи.

Суть метода, основанного на использовании прямых разностей, заключается в том, что значения производных в дискретные моменты времени в дифференциальных уравнениях непрерывных динамических фильтров приближенно выражаются через значения соответствующих прямых разностей. Эквивалентное выражение первой производной через первую прямую разность имеет вид:

.ху' угг,,)- угг, ) у'" - у' уг'г.)- ' = ' ''~ ' — '; г =0,1, сс

ЛТ ЛТ ЛТ Эквивалентное выражение второй производной через вторую прямую разность имеет вид:

Л'у' Л'у' ' — А'у' уТг, .) — 2у~гг,)+у~г,.) у' ' — 2у" +у' гг'г ) - , „ "-' ' ', ' ' — , ; 1 = О, 1,...=о

ЛТ ЛТ АТ ЛТ

Аналогично можно записать выражения для эквивалентных преобразований производных высших порядков. В результате этих преобразований могут быть получены разностные уравнения, эквивалентные исходным дифференциальным уравнениям, от которых можно легко перейти и к другим формам математического описания эквивалентных дискретных динамических фильтров, Прияерг Лусгггь модель непрерывного дггггаггггческого филыггра в форме дифференггиального уравнеггия гг.ггеегг'г вид: г у + у = К ' гг(г ) Найти Х-ггередаточггуго функцию эквггваленпгного дискретного фггзгьтргг, для заданного такта дггскрегггггзаг)гггг прог)вссов по вреиени ЛТ. 1. Выразгт ггроггзводяуго через первую разность дискретного проиесса ~' (г ) .

Л~у' уг'~ у: 1, К у1г ) - — у + — и, г = О, 1,... ж

АТ АТ Т' Т 2. Оггределггглг згодель эквггваленгпного дискретного фильтра в форме рсгзносгггггого уравнения:

г)Т; ЯХТ, 1 ЛТ1 К.ЛТ у' ' = г' — — у' + и' =; 1 — — ~у' + гг' г аг г' +Ь,,гг'; г = 0,1,...х

Т '~ Т~ Т

Распознанный текст из изображения:

или в форл|е Л-переда>почггой< фу>гкц>ги: у 1") <г„.

и г',=) е-а,

Метод, основанный на использовании обратныхразнос>пей.

Суть метода, основанного на использовании обратных разностей, заключается в том, что значения производных в дискретные моменты времени в дифференциальных уравнениях непрерывных динамических фильтров приближенно выражаются через значения соответствующих обратных разностей.

Эквивалентное выражение первой производной через первую обратную разность имеет вид:

Ч'у' у«.1 — уй, г1 у' — у"

у<<,1: — ' " — '; 1= 1,2,...:с

лт лт лт

Эквивалентное выражение второй производной через вторую обратную разность имеет вид:

~,-:у'-г к<1 Э 2у<1,1+ г11, г,, 2,: '+, --'

111 1-, =, = ' ' ' ', ' =, .' 1=2,3,.".- лт лт' лт лт

Аналогично можно записать выражения для эквивалентных преобразований производных высших порядков. В результате этих преобразований могут быть получены разностные уравнения, эквивалентные исходным дифференциальным уравнениям, от которых можно легко перейти и к другим формам математического описания эквивалентных дискретных динамических фильтров.

Пример: Пусть модель непрерывного динамического фильтра в форме <>к~и~>ерен>1и<>льного уровне>гггя изгеет вид. Т у + у = К 1<(1)

Найти У-переда>ночную функцгао эквиваленпгного дискретного филь>пуэа, для заданного такта дискретизаи><и процессов по времени Лт.

1. Выразиэг производную через первую разноспть дискретного процесса у (1) .

'~'уг у' -у' ' 1 К

у1> Эа = = — — у'+ — г<'; г'=12....ж

лт лт т т

2. Определим модель эквиваленпгного дискрепгного фг>дыра в форлге разностного ъравненигя:

Т+ЛТ,, КЬТ, т, г КЛТ

у — у = гг::>у у' ' = гг' =:> у' — а,у' ' =Ь,,гг'; г = 1,2,. эт т т.лт т,лт

или в форме Х-передан>очнойг функцгпг: у~='1 6„

И' <= '1=

гг<: 1 ! — а,:

Мет<п) Таст«на.

Метод основан на использовании билинейного преобразования и его суть состоит в аппроксимации

передаточной функции исходного непрерывного динамического фильтра эквивалентной дискретной 2-

передаточной функцией путем формальной замены:

В'( ) ~ Иг(з)~ . г-г

ьт г-.г

В результате этих преобразований может быть получена Х-передаточная функция дискретного

динамического фильтра, эквивалентного исходному непрерывному динамическому фильтру. От полученной

в результате преобразований эквивалентной г-передаточной функции можно перейти к разностным

уравнениям, а также к другим формам математического описания дискретных динамических фильтров.

Пример: Пусть .1<одель непрерывного д«натического фильтра в форме передапгочной фу кц<игг имеет вид.

>>Ъ) = — =

у1в) К

и® Тв+ 1

Найгп>и У-передато сную функ>1ию эквивалентного д><скретного фильтра, для заданного такта

с)искре>пизации процессов по вре.иени ЛТ.

1. Вг г1><гзггэг г'-гге1эед<ггпоггную ф)тгкигго эквивалеггтного дискрет>юго <ргг<гьтр<> герез перед<>почт ю функч1>гго

непрерывного ф>>дыра путем соответспгвуюгцей подстановки:

КЛТ КЛТ

и,у ь к 1,1. , . . 2 т т

1>г,-+ 1>

пг 1 75+1~ ЛТ ~ г — <7,

— 1 —-- /

2. Определим модель эквивалентного дискрепгного фильтра в форме разностпого уравнения:

У"' — а,,У> = Ьгги"'+ Ьгиг; 1= 0,1,2, .с

Метод эксп>р<~голяиии нулевого порядка.

Метод основан на использовании точной аналитической связи между преобразоваш1ем Лапласа,

лежащего в основе описания непрерывных динамических фильтров передаточными функциями, с Е-

преобразованием. Эквивалентная г.-передаточная функция дискретного динамического фильтра может быть

получена в соответствие со следующим алгоритмом преобразования:

У 1'г) г — 1 ~И'ф~

1г) - ~ з !

Распознанный текст из изображения:

где: У~*~ - символ вычисления Е-преобразования от функции, заданной своим преобразованием Лапласа. Алгоритм вычисления с'.-преобразования следующий. Пусть х® — преобразование Лапласа, тогда: тф = ~ Лет

х® где:

1 сгт ел — / яелитСвЛ= Пю — ~т® Сл — е.) ~ — вычет ф„нкпии тгвт в полюсе т, крктности т,

"-",. 0п — 11.' сЬ"' ' Пример: Пуспгь мос)ель непрерывного динамического фильтра в форзге передапгочногс функиии и.ивет вид: Е4'Я = — ' =— уМ К и® в Наггтгг Х-передаточную функцггю эквивалентного дискретного фильпгра, для заданного такта дискретизации процессов по времени ЛТ . 1. Определгсм У-преобразовангге (с использованием гпабзицы У-преобразовангггс)..

,'ггг.11 ~К~ Кхтг Е~ — ','=2~ —,~=

в, ~в' ~ ~- — 1)г 2. Определит модель зквивалентного дискретного фильтра в форне 2-передаточног~ функгггггсс

— ~ИЪ~1 Кит 1е И'1='1 = — 7;, — ~ =—

е ~ в 1 з — 1 =.— 1 3. 7огда модель зквивалентного дискретного фильтра в форме разностного уравненгсяс

у"' — у' = Ь„и'; г = 0„1,2,...~

Анализ устойчивости дискретных фильтров.

Возможно использование следующих критериев анализа устойчивости дискретных фильтров и цифровых систем: — корневые методы анализа устойчивости; — алгебраические критерии анализа устойчивости; — частотные критерии анализа устойчивости. Корневые метос)ы анализа устойчивости основаны на исследовании значений корней характеристического уравнения дискретной динамической системы. Пусть Е-характеристический полином дискретной системы имеет вид:

Вг'=) = а,="+а г" ' +...+аы = О и =ь .-», .-„, ..., -„— корни Л-характеристического уравнения Критерий устойчивости: Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее Х-характеристического уравнения лежали внутри окружности единичного радиуса, то есть:

~ —,. ~ < 1, г =1,2е...,гг Алгебраический крипгерий анализа устойчивоспги основан на исследованиипт-характеристического полинома дискретной динамической системы. Пусть ггт -характеристический полином дискретной системы имеет вид:

В(ат) = а,ат" + а,аг" ~ + ... + а„= О Составим матрицу: Критерий устойчивостггг Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы и все ее диагональные миноры А, >О. сгы, П„

Распознанный текст из изображения:

Часггготпый критерий анализа устойчивости дискретных фильтров основан на исследовании логарифмических амплитудно-фазовых псевдочастотных характеристик 1 (1) и фр (Л.) разомкнутой дискретной динамической системы.

Случай 1. Пусгггь дискретная сисгпеиа в разомкнутом соспгояпии усгпоггчшш и, следовательно, ее 7- харакпгеристическое уравненгге дискретной разомкнутой системы не гглгеет корней, модуль которых больгие единицы, то есть р=д. В этол случае„для устойчивости дискрепгной системы в замкнутом сосгпоянии необходимо и достаточно, чтобы во всем диапазоне ггсевдочаспгопг, где логарифмическая амплигпудная псевдочастотная характеристика разомкнутой систелгы Ер ~1) >О, логарифмическая фазовая псевдочасгпотная характеристика ф, Я) не пересекала линию — 180'+ 1г.360', где И=0,1,....

Случай 2. Пусть дискрепгная сиспгема в разомкнупгом состоянии неустойчива, следовательно, ее 2- характерггсгггггческое уравггегггге имеет р корней, .иодуль которых больгие едгиицы, то есть р ~0. В эпгом случае, для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходи.ио и досгггаточно, чтобы во всеи дггапазоне псевдочастот, где логарифмическая аиплитудная ггсевдочасгггоггтая хсграктерис тика разо.гггснугггой систепы Х, ~1.) >О, .гогарггфлгггческая фазовая псевдочастотная харакпгеристика ф,~Я)

пересекала — раз в поггожггпгельном направлении линию — 18гг" + 1г. 360", где 1=0,1, ...

2