Курсовая работа: Динамика механических систем вариант 21

Задание №21

Однородный диск радиуса r и массы m₁, прикрепленный шарниром к середине стержня AB, качается в вертикальной плоскости около горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка (рис. 21). Стержень АВ длины l и массы m₂ подвешен на двух параллельных невесомых стержнях АА₁ и ВВ₁одинаковой длины l, которые качаются в одной плоскости с диском. Трением в шарнирах пренебречь. Расстояние от шарнира O до центра масс диска равно OC=b. К диску приложен момент сопротивления M=-kθ`, k=const, пропорциональный угловой скорости.

• 1. Ввести подвижную систему координат, начало которой совпадает с точкой O, а оси движутся поступательно. Считая φ(t) и θ(t) заданными функциями времени, вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки С. Изобразить на чертеже составляющие векторов v_абс и ω_абс.
• 2. Принять в этом пункте, что вместо диска к точке O прикреплен невесомый стержень OC длины b с точечной массой m₁ на конце С. Считая φ(t) заданной функцией времени, записать уравнение движения точки С относительно подвижной системы координат, введенной в п. 1.
• 3. Полагая, что φ(t) и θ(t) — заданные функции времени, найти проекции R_x и R_y реакции шарнира O. Применить теорему об изменении количества движения системы. Показать, что
• 4. Найти момент, который надо приложить к диску для условий п. 3, чтобы обеспечить заданное вращение по закону θ=θ(t). Применить теорему об изменении кинетического момента,
• 5. Считая φ=const, определить скорость центра диска в момент прохождения верхнего положения, если в нижнем положении ему сообщена скорость v₀. Применить теорему об изменении кинетической энергии. Найти условие, которому удовлетворяет наименьшая угловая скорость диска в нижнем положении, необходимая для достижения диском верхнего положения.
• 6. Считая φ(t) и θ(t) заданными функциями времени, найти главный вектор и главный момент относительно точки С сил инерции диска, а также главные векторы и главные моменты сил инерции стержней АА₁ и ВВ₁ относительно точек подвеса.
• 7. Используя принцип Даламбера, найти усилия N_A и N_B в стержнях АА₁ и ВВ₁, полагая, что шарнир O прикреплен к середине стержня AB. Показать, что справедлива формула
• 8. Составить дифференциальные уравнения движения системы, исходя из общего уравнения аналитической динамики и приняв за обобщенные координаты φ и θ.
• 9. Составить выражения для кинетической и потенциальной энергии системы, вычислить обобщенные силы.
• 10. Используя уравнения Лагранжа второго рода, показать, что дифференциальные уравнения движения системы имеют вид
• 11. Считая, что φ=const, составить уравнение малых колебаний диска в окрестности его нижнего (θ=0) положения равновесия. Проинтегрировать это уравнение для двух значений параметра k: k=1Н*м*с и k=10Н*м*с. Значения остальных параметров задачи приведены в п. 12. Построить графики функций θ(t).
• 12. Задавая численные значения параметров и начальные условия: m₁=5кг, m₂=5 кг, r=0,25м, l=1м, b=0,125м, k=10Н*м*с, t₀=0, φ₀=π/2, θ₀=π/2, φ₀`=0, θ<sub>0</sub>`=0, составить программу решения системы дифференциальных уравнений на ЭВМ построить зависимости φ(t), θ(t), N_A(t).