Ответы: РК2 Теория (РЛ1 2018)

Распознанный текст из изображения:

1з з!з ф)нкпней Г( ) нвзывзетс интеграл

Г(г)=) з 'Г"Л

г ге з — комплексный аргумент, реальная часть которого поло

жз!тельна в — Велюр.

Нам понадобятся следующие свойства гамма. функции* >:

!) Г(!)= 1, Г ~ —,' ) =Ргп.

2) Г(г-1-1)= гГ(з). В ч с и т, ес. и з—

та Г( -1-!)=л!

3) Теорема умножения.

натуральное . о,

Г(з) Г(! — з)= —"

(2.3)

4) Представление в виде контурного интеграла Римана — Хан-

келя

ез — !

(2. 4)

на — Ханксля (2 4) определяет

гамма-функцию всюду на комп

лексной плоскости з При з=

— и, где люб — аелое число,

гамма-функаия имеет полюсы

5) Из формул (23) и (24)

получается полезная лля азль.

нейшего формула

С

г 1, ч. П

= —., 5" '-'" ""

Рс.4!

где т — любой контур на иомпленсной плоскости 1, обходящий точку 1=0 прогна часовой стрелки и копны которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси Например, эта может быть контур, изображенный на рис. 4.1 (!- = !, 4- г (з) .

Заметим, что интеграл Рима. г,

Распознанный текст из изображения:

о.б. Уравнение Лапласа в цилиндре

Поотяьюака зазапп Р. р у юд пуд р .«д. а ур

ь =-о, ое ° -., отз==,. (1)

(1)

,=о, ое (з)

а),о=О, О- (4)

Б 1ап рнукпзу, Уры а ла .а (1) п ар

дз 1д 1 дза дз

д„з „дт „д,з д.

(о)

Таа «а раз а з азаз (,,„ фу «и а а ъ с ат у

(.т ) = (.а).

д зда д

(. )=Л( )а(з),

р . )я(о)) ., я(.)=о г(е)=о.

Распознанный текст из изображения:

б(бн бзя

— — — =1= яс

я я

Нсз а у фу « я( ) Ф(, ) « с рс с с зада сада

) яе я' ля=о, ос с „. )я(о)) с, я( ) =о.

1

б) Ие — ДИ = О, И(;.) = О.

ор .. д у()

1

Обзссрс а сура саа и' — — Яе Дв=б едессе д

Я( ) = Лде(РДУ) 4 ЯР.( Ъ).

У и — Фу Вс«ися . Н .. 1 )Я(О)) с Ус( ) -с р — сб,,а ас.  —.О.

и . у Р» уд я( )=о.

Д. = ( Рбб'), Я„=- Л„.Ус ( — '".),

д Р. -- Уд Фу 1 В «д,я(,) .. Ус(Р„)=О. =Ря..,

3. Рс,~ д, ° у (б), пр д„= (Р,Я а)с „,ес,

ге — (~— ") и =О.

Общссрс е с, урсс с«.,уд м р, зщссус и( )=-о,

4.И, . а е. Р ур «(б)» Д

Н,(с,) = Л„Я„У„(У'— "* ) и '— '" (Ф - ) =.1„У„('— " ) 1 '— '" (:. — ).

Распознанный текст из изображения:

5.9. Уравнение Гельмгольца в шаре

а (а«=а ф . л(ь )фа, =)),, Ш

(2)

)р. г. (1) ф гн

иф . (й

ц гф)

— (р — ') ~-; —,— (»ф'-",) — )' ° -а (о

(, о =и )ор),

а(п) . е( ° )) ., е(-,.))-

Распознанный текст из изображения:

5.8.Уравнение Гельмгеиьца в круге

и » )' = о, ю ., л,)юе) о ю . = ю ), , И )

"и я)=ц"мм)

ю(юлО р,л ню

л Ф

,)о" — ою —.ю, ю)о 2 ).— о)о),

и;Мл" ю,и ° ))о" ил=о, )л)ю)) .

и-о °

оцю)-) Ю ю о.-ь.=а

'и)о) ю ) =к= ' )-.=юлю ) и „.

.'л" ° .и ° Нь'- ')я= о

Распознанный текст из изображения:

с~- ~~ — Г

1) ~=с>

Ъ ~т*'-7 ) 1

~ч '~

~ д О~ О 'р 4ы

Ь Ж~лм ~=~и

х с — се 4Ъ

.ЧсК-

2'

л

~~Щ

й . 3"-=

('~0 ) с)

~-.са- ~

ф ~ Ъ~ ~/~~ -~

~я ') ~ (

).1=~

Ы аЗ мс.'. Фора -Пу ='0

Распознанный текст из изображения:

у>- ц* ®

Ож=бт г~ ~6 у с~) аФ Ь: й МР

', О ~ Т Ж= г-Г 1, -, ~л>- "~ Э

~,= Х,~) у=1~.-, Ж

~д~ ~„сы . 4 е)

р.;„7р Ь~ ~Ф -~~> ~'В

И~с) ~- ~-С~)

— п.ч.~,

~к= ~~-ь> - -ы~

у,=с~ ~ь' Ск~

рГ» Ь7

;~) ~~ ! ~ !)

аЖ=с,~,ь~ ~ с Т„. Г~~

Распознанный текст из изображения:

о~аыылы.ы р.л о.и>

1й Г(А+!) Г(Х+т+1) ), 2 )

А=а

называется функцией Бесселя

с,

л,)

с,

(2.32)

где контуры интегрирования С, и С, имеют вид, изображенный

на рис. 4.4.

Л' (х) = — (Н ~ ' (х) — И~~" (х))

2)

(2 43)

зывается функцией Неймана.

и обозначается У„(х).

Фу а ~' р р

рода называются функции, определяемые интегралами

Н~~ (х) ~ с -~х мл ",ч-ж" Д

(2.3 !)

Распознанный текст из изображения:

«."9, уе джессе.~Л

Ю~ «~+(~-~,!~=о

2~ х -~Х~'Р ~~)~=~

У~ ~г

~'~'-Х ц ~<~

у~ у = в - освсй ~ 1о~а

Т. Й . ~ у ~,; Б;

~ Г Р Г"; Т '"Ф'TЯ"М д~йыТ-8у.яда,.д ~ 1 ~ ~.~ ~

-е~а ж~ й

Щ~~~ ~ ~.- ~~ ~~~~-у

С~о

хГ~к) 2р М

~~ ~ ~) ~ А» ~у 2

Распознанный текст из изображения:

Начнем с задачи Штурма — Лиувилля для кру-

га У~,:

(7.1)

Ли+ 3и = О, (х, у) ~ К„

и — + ри = О, ) а ~ + ~ р ~ у'= О, и ~ О.

дй

(7.2)

1 д ди 1 д~и

Ли= — — ~ +

дг дг г~ д(р2

Введем полярную систему координат (г,~р) с началом в центре

круга Р;,. Напомним, что оператор Лапласа в полярной систе-

ме координат равен

Распознанный текст из изображения:

Собственную функцию будем искать в виде

и(г, ф)=Я(г) Ф(ф) ф О.

(7.3)

Уравнение (7.1) запишем в полярной системе координат, подставим в него (7.3) и разделим переменные. Получим

сИ

» — » — + Л»Ч~

Я (») Ф (ф)

Поскольку собственная функция должна быть периодической по ф с периодом 2л, то для Ф(ф) получаем задачу Штурма — Лиу- вилля

(7.4)

Ф" +иФ =О, 0 (ф(2ч,

Ф (ф) = Ф (ф + 2л),

решение которой имеет вид (см. $8 гл. 111)

Ф (ф) = Ф„(ф) = ~ ' ~ = ~„= и, и = О, 1,

1 81п пф,

(7.5)

Прн каждом ~=п2 получаем задачу для Я(г):

г — ~ г — ~ +(Лг — и ) Я=О, 0(г(а.

2 2

Й~, Й

(7.6)

Функция Я должна удовлетворять граничному условию

я — +рй =О, 1а~ +1р1=,2ьО,

вытекающему из (7.2), и естественному условию ограниченности при г=О

~ К (0) ~ ( оо,

поскольку г=О является особой точкой уравнения (7.6). Следовательно, для определения Я (г) получается задача Штурма— Лиувилля

118

»2~" +»Я'-+(Л»2 — и2) Я=О, 0(г(а, (7.7)

а — +рЯ =О, )а~+ [Я ~йО,

/Я(0)/ (оо, Х~(г) фО. (7.9) Уравнение (7.7) заменой х=фЛ приводится к уравнению Бесселя и-го порядка:

х2у" + ху'+ (х' — а2) у = О.

Поэтому общее решение уравнения (7.7) можно записать в виде

Распознанный текст из изображения:

Я (г) = Я„(г) = С,,7„(р' Л г) + С,И„(~/Л г).

Учитывая неограниченность функции У,(рЛг) при г-~-0 и условие (7.9), находим С~=О. Будем считать С) —— 1, поскольку собственная функция определяется с точностью до числового множителя, который в свою очередь определяется из условия нормировки. Поэтому собственная функция задачи (7.7) — (7.9) имеет вид

Я„(г) = 7„( ~ Л г).

(7.10)

Подставляя (7.10) в граничное условие (7.8), получим дисперсионное уравнение для определения собственных значений Л:

а 1/Л,1„Д/ Ла) + р.)'„( ~Л а) = О. (7.11) где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Обозначим 1(=~Ла. Тогда собственные функции и собственные значения задачи (7.7) — (7.9) можно записать в виде

(л) (~) ' 2

Р„(.) =Х,„— "' ), Л=Л',"'= — '"

а а

(7.12)

где р,(,") — Й-й корень уравнения

и»„(г, (р) =7„(1г Л»("~ г) ~ ' п=О, 1, 2,..., 1=1, 2,...,

(з1п п(р,

(7.14)

( (л) ~ й

а собственные значения равны Л» = ~ — ) Наидем норму

(и) ~й

а

собственной функции (7.14):

а 2л

!!и „!!2=1 ~ и' (г (р)гйп1(р= !!Уп!!2 !!Ф~!!'. (7.15)

о' о

Поскольку норма Ф„(Ф„=соз пр или Ф„= з1п п(р) известна, остается найти !!У„!!.

Чтобы найти !!1„!!, вычислим интеграл

Г= ~ г,'(х) Ь„

где 2,(х) — произвольная цилиндрическая функция. Имеем

1= Л~~(х) х(1х= Л~~(х) д ( — ! = — х~Л~(х) — х~Л,(х) Л (х) дх.

(,2/ 2

119

а1(/„()») + ~аУ„(1») = 0 (7.13)

при фиксированном п=О, 1, 2,....

Таким образом, собственные функции круга имеют вид

Распознанный текст из изображения:

Используя уравнение Бесселя

х'2„+хЯ +(х' — »') Л,=О,

находим

х'Л = — х'2 — хЛ +ч'Л,= — х — (хЛ )+ )'Л,

Их

Поэтому

7= — Л,'(х)+ хЛ, — (хЛ,)йх — ~' Л,Л,дх=

)Х

2 2 2

Итак,

2~(х)хбх= — *(2„(х)-б(1 — — )2„'(х)). (7.!б)

2 Хб

Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы

функции Бесселя для соответствующей краевой задачи:

((7„(('= 1 У,()22х)л3х= — 1 1 (х)хбх=

= — ( 7„(а)х 2) -1- (1 — — ~ .1 (а)7 Х), (7.1?)

Рассмотрим теперь первую, вторую и третью краевые задачи отдельно.

Для задачи Дирихле (а=О, р=1) собственные значения определяются из уравнения (согласно (7.13) )

.7„(12) =О, Х=

Следовательно,

(7.18)

Для задачи Неймана (а=1, р=О) собственные значения опре-

деляются из уравнения

Следовательно,

(7.19)

2 ~ 1~2(77)12 /

Распознанный текст из изображения:

'ц Л-;Ь ~Ям 6и~~еле.ыи с ~ 'ф -~. ~ ~~~Ы~Ф;Йй-

йЯ6ыдлфцдо . ' ~-а 6) ~.~ М ~~4 3~у ф — ~ "~. =сэ ~ ~~Я= И (,2

,( к .д ٠— ~ум~.саррд.м ~ д; ' ~, -'е Ляле-жм)юа .

%;".,'~-~-~у — ~у~~ 1~~~., ~ =а жд ~ 'ре ~ = ~ ~~~ ~-~) ~ф -е (~' ~ ~.~л~.е ~ .у- Лаи.аегм а, ~й= ~ Ъ)= Й-~) ~~ - ~ %6Я -~ ', -~7,."

ф