Ответы: РК1 (Рл1 2018)

Распознанный текст из изображения:

теплопроводности

Р ~««ззм закину Коши,юи траян ния ыи«опр ыьинз ги

',з)(з,г)= змй«) З>О «ЕН

(

(О. )=,()

(й)

К««ем сзизагь, зто как нана нш ус юане о( ). так и решение к(Г, ) при а ох Г > О няян гя юемшпамн ирк.гранстиа Ш арпа й(Н"), ш гзь к ннз ° о«»н» прим вить претр«» на«из» Ф«Рм но и»Р м ашш г = (ть.. «„) Е Н" п ною аишм функпнн »аоиа б\з«ут незя зыа ш Я(К")

Пр гь з (Г, .) = й(1, у), не( ) = йе(у) Т гяа. так как пр обре«онана Фзры п» «п«риз шзнозш «щюшы.икй ио Г.

зо й(».т) = йа(з.у). и ио шюй тнам пршбрш ашы Фуры аа(» г) = (з,' + 9) = ( — И) йз- ( — «у.) й = — (у,'+

-1-у )й = — ()у(( йй р) Тюзам обрзюм, прим»нш щю бразснюшс Фурь .. Р 1а' (з). по««узам зша зз Кони гьш «Кмкноиоано и пафференпиал,нош з р зннешш и фупкпню й шремганого Г» иирш гр у Е Н"

ь (г, ) о«()„()за(1 ) 1 > О

(-'. --" "

й(О, р) = йз(у)

Реисаием мой зн«ша коюи яахяогся фуикиия зй(г,з«)

зуо(у) Тенор« .шя ио«ясная р ~нанз«а»хо«ной .ю.гы зи (3) «штмозн аайта обршиог иреобркюаазше Фуры фзннИнп й(1.д) ис ода ззе и д = (д, у„) Е Н" По свайстаам прыбргош»ишя Фурмь 1" д = «з* д и .знюшт, н =- (» "изин«о(у)) =. (* "»дзйз) * о Т к юмгсбрмное пресбрюоаание Фуры гам»емкой зксп н игм Ду) = е "И«й ють гарс»он«кзя зк»ионюпа ((г) = —; — Г;*р (»м пратер иа сгр

%7:бл

) р т') = О*

Таким бркюм Знш на~а«ьнь«з уш аий из й(Н") мы пшуш.ш Ишенао а«ази Коши (3)

1

а(1,) = ~, †,.6аа(а)Ш

(доз)тле)" /

Эта форму«а на мимоз ш«пзраюм Пзасшна

(з)о13 Решение задачи Коши для уравнения

Распознанный текст из изображения:

~~уф8 ФфЫ~ С ЙЯ.~ФЕЕ ФФ,~.ЯУ~~~~~~~~ ~ ~ у~„~ ~е ур~.,ф,

~Д ~ФА ~ф~М~.д ф~.бМ' б~ ИйЮМ~4 и! ~Ж~Р ар/ ~Д~ ' "~Ы~КМА МФ~ ф~~„~~~Гуж...с ~~~~~р .~.;~~~ж ь~ь~и риска Ы~

у~ е, ~~.~ ~~ м'жаждя ~ру .Ф я~гурд~~ )( и ~~, д~~~ф~~~гЩМ~ ф~Л ~Ф'~~~' '~~ "~~ ~~/

~) — ф~~~ фр~ ~" фд ~Я~Ф ф~Л6фБД . ф,й.йЕ/1 .

~~~, ~,И ~ ~,Ы~~,У)

у(~~Им~ 3

К

Распознанный текст из изображения:

~

~.Л ~". ~-~.м М44л ~ б М~ ~З б~"Тф ~ ~Д ~Л л..» ~;,~А~ ~ ~~,"'

~4.~~и..ы ~~~м.. ~М Ьрр~~4~миы М ~7е ма~~.гр~ ~Л ~/ф 0 ~А ~

Г

~Мр~~еЬм4": ра6~лсХ1 '> ( 1 ~~, ~~ ~= ~ ы~~ ~ > и

~ б~Ю~мм~.г„(~им,ч Яс..м. К.. ~~з~~ '~м е ~ АЙ Ь > ~~ О'

6Л.. ~' Ц Я ~„/~ ~А,/ ки~.-~~ ~, ~ й~ ~~ -' = г~:~.с~ -,",

. у9

~~ ~ йб. ~ а ~ сЗб, М.= О И ~~~,~ $6 ~~ ~Л~~ф~,

С~ ~ ' ) ~:С> /~у~„~~~ < ~ С4~ЛА.~~.,ррд~~~~~/~

~Ж-~~=,» .. ~~ С,4 С''Ьлл-~Х~-~4~( ~-~~ О ~-~3е с» Ад м.о 6~ ц

Распознанный текст из изображения:

2 2

д 11 2 О 11

— и

О1 ОХ

уравнение свободных колебаний струны„или 1эд11ОЛ1Е~УНОГ 6О.7НОВОЕ ЯХ1ВНСНУГ.

Покажем, что если фх) — дважды дифферепцируемая функ-

ция, то Чивнению 11.5) Удоалетворяет функция 11~х, ~) = Фх — и),

ИЛИ 11 ~х. 1) = 1ф+) = Ц)~М ), Ч: = Х вЂ” Г1,

Действительно,

Ю Н

2

1111 =~' ~Г;Л,'

, 111' --- ~~)',„, и'1' — -- — еА11'„,

У ф Г, Р

'" ~ '- 9 . И'~- -. '11и °

,2 «сс

=-' 2 " 'Р~гч ='Ржг °

Ю гг

11хх ~~я:я "

чз о и г13сбовалось,1локазать.

~;1л 1Л ~,~1'.~1

а1л,1,1 — -:1~0-г1,,1 — ~Р .О

11

=-т-- 1/ Ы

Л Г1,

ЯЦ'.~ '1! <;.~1.11

Рис. 2

Частное решение уравнения колебаний струны имеет Вид

и~х„~) = 1р~х — и),

Дадим геометрическую интерпретацию решения. Пусть в начальный момент времени 1' = 0 был известен профиль струны. Посмотрим„что оудет со струной в следу1ощис моменты времени 1',рис. 2). Точка М на струне движется со скоростью г вправо. при этом ее отклонение остается во все моменты времени постоянным. Это движение называется также плоской волной, которая также движется со скоростью г. Сам процесс колебаний струны описывается волновым уравнением ~1.5).

Распознанный текст из изображения:

иассмотрим волновое уравнение для Ч?ункции и]»и, 7».

?блада]ощей центральной симметрией: 77(М. ») = 77(г, »), где

, у" -; ] + „".. В атом случае оператОр Лаи»]аса Л = — — ]»'"' — 1,

7.2 7?»' ~ 7л',~

а волнов7?с равнение прииимае] вид 1 .'-„1, л,(,. »)'

~2

— — — — . (35)

2, 2 2

1: — З»- г- д»* .» /'

Рассмотрим произвольную дважды дифференцируемую функ[ию Я]р), Где и'= »' — п», и покажем, что функция

1

77(г, ») =- — ? (»* — 7Т) есть реп]ение волнового уравнения (3.1). Иай]ем все производные: ]7' = ~„'р и» вЂ” 71 1'у и/р =- 7 Г

»]и = 4 — Яи?) — —,— »' — — 5(и?) = — — 2! — Ь'(1 ) — у . ', ' ~ ],»

1 7? 1

= —.„— ~ — 5 (и'» +»'Ь„, ) = — ( — Я,р + Я +»",Я", » =

дг

1 7 1 р 1

Подставим их в уравнение (3.1) и получим — „и — Ж,",,„, = — 5,",,.„,. Значиз, выражение 7»(».„») = — Ь'(и» есть частное решение уравнения (3.1).

Сравнивая полученное частное решение волнового уравнения (3.1) с решением уравнения для колебания струны, назовем решение

!

»7(»., ») =- —,~' (» — и»» (3.6) сф7~?]р»ес»;0]7 а]?]а7?]с р]]спростраи?]]о]лейся со ско1?остыв 7

. 2»7у

Пусть Яи) = А ехр» и, тогда решение (3.6) имеет вид

А, 2»7~? А, 2]т']?

ирм,1?=- — дахр 7 ю = — ехр ( 1» — пп~,

и »'

А 2]т~?

и(М, »)=- — ехр — » 2]ТИ—

Г

и

0оозначая длину волны как Х = —, запишем решение

А, 2»7

2»(М») = — ехр — » 2»7㻠— — » (3.7)

г

Решение (3.7) (частное решение уравнения (3.5)) носит название сфе?7»7»нес»772»» 1»о»77»т7»ои7»»»»7»?»ес»707» 7»7»2»»»ь». "Это расходя]цаяся волна от источника излучения, расположенного в начале системы координат.

Распознанный текст из изображения:

5

1 д2»»

Рассмотрим волновое уравнение — = »зи. ~3.1)

2 2

и д»

Покажем. что функция 1'=Ж(и), где и!= Г е — И; »" — радиус- вектор точки ЛХ с координатами ~х, у, ":); е — единичный вектор с координатами е =1сови! Совр„сову), удовлетворяет уравнению ~3.1), если 5'~рг) дважды дифференцир"!!емая функция. Действигельно, Ж»' —,'у",ри!»' — «!,:'у",,,; 5,."» = и Л*",„,;

-н 2 р

д2О д 5 д Л'

дх д1»' др

Б,', = Л".и!',. =,'!,'„. (г е — «»») =5,', ~хсови+ усов Д+ =сов',» — «!») =Л,, сова '~'» у = !~ил! СОЬ О! ! апаЛОГИ ~НО '~уу '!л Я СОВ Р» Ь" — 5"'.„, СОВ

2 2 2 „!

Ь! =.!,",.„.~и!г- а+ со«- р-!с!!! у] =5"»и)Р..'!)

1

Подставим (3. ), ~3.3) в (3.1), получим — -«г Л',",.„, — Я,",,„г. е. Ь~1г) ~ас~~~~ 1зешение волнового у)завнения.

Выясним свойства полученного решения Яи). Пусть М~х у, =) удовлетворяет уравнению». е = «»», »' — радиус-вектор точки М~хру,=:)„хсово. + усов)з+ асов) — »»» 0 — уравнение плоскости к с нормальным вектором е =усово,„совр! СОВ1»), «» = сопя« — расстояние ат начала координат до плоскости л ~ото и означает„что точка М(х!у. =) е л), Тогда в любой момент времени

»=-»' получаем и(М, » ) =-Я«;» — «'«) =сапв1„т. е. возмущение в

тОчках плоскости пастаяннО.

Если е ~1Ох и е = (1, О, 0)„то волна распространяется со скоростью р перпендикулярно плоскости у0" в направлении оси х, а в общем случае — перпендикучярно плоскосги » е =-«»" в направлении вектора е . Выберем в качестве 5~и ) функцию

Г

' 2Я~! '1 где А=сон~«;

2

,!(и!=Ае!!р ! и: ~.... То !!!1!, !»=Аехр — ! !!!и ! е)

«»

2л

Введем длину Волны = — Л,. 1 Огда «»(,Ц») =,~екр — » ~лу» — — »' . »»»3 4)

!!! Х

Полученное частное решение ~3.4) носит название»»лаской,у»о

»»»ИРО Ыалт!»ЕЕ»'О»» ВОТ»»»Ь».

Распознанный текст из изображения:

, ~фб~ ~сс .

Ф:;:: ~а и'мж~ам ~-и~ иФ."~

~иФ г 6 рж ~ с

.'Йиф~Ц Д~ф4,ГШ ~а~4~, у

':,:Й Й4

б4~4Л".~Ь Ю~ЙЩй~

— ~а. а. АГ-

~у~, г ~го бра Й, -~ Й() ~--ф~~

3Й

~А~ б )ь',/~-,~:д) РР

Распознанный текст из изображения:

аИ Й м4'

~~МЫм ~ Уа.,

а ~~"/К~~~М2

Я ГЯ3

р) и -~ Ж~~ ~~У!

~

:Ю.~~~ Р~Й~.

~х~ст«4ю7~л сйЙ~Фжж

~, ц~~ ~,~~ ~

~~4~ .Г, ~1К

ГГ4л «= Г~

~Г~ 3- р~+,

~Яр~Я~

~4Я а = ~ Я -~ Ф~.й ~~ =~~8

Д,"

~~с" иск ~

l

Распознанный текст из изображения:

Теорема (обрасцения). Пусть функция )' . Е1(Ж) вепре рывка на рч! ч* иск по ~сииоьк бьп ыюжет. и ютнровап ных то чек

Витта в кажпой точке. в касорон т Нифферснппрусна. справсьи

тпсва формула:

Л*>=к,)„Лф)" н *е( — .е ) ана'и "Ч

Распознанный текст из изображения:

Предложение 2. Если з', з"' е Ьг(В). причем в любой то 1ке

х Ж д ~я з' справедлива формула Ньнггон,з Лейбнгща

.((х1 = у(й1 + / у'(11г1б

то преобразованием Фурье функции з"(т) яя.шется функция гуД~ур те Р (у( = гуз' (у)

Дейсчвигельао, Зс'(у) = ( 1т(х1е "тг1х 11птегрпруя цо частям полу шм. яу) = з(х)е '"г( Ф гу ( Йу(г' "гс1а'

гутс(у) Последнее равенство выполняется в силу того. что

функция ((х1 стремится к нузпо при х хъ. (это следует пз формугпп Ньютона Лейбница и тогш что з" е Ег(ИЦ. а значит, 1(збс "з( = 0