Книга: Учебник

Распознанный текст из изображения:

4. ОДНОМЕРНЫЕ

СЛлгхяАЙНЫЕ ВЕЛИх)ИНЫ

В пр дыдугл х гл мы эучали случ б ые соб и ая, у

азвол ла н . иссл д вать веро тностные сп йств (эаког

мер ти) ума * э о рпл еаа ° кач отвеин м ур

эа р мя г - ве кмы т.д.

Однак м та зинке ни орин вероя настейд

евонной эадшг Й был уч. не в роятн тных ойств"

и рим оп с луч йными н ходами, а авных с этими,в

° ари ент н чис овык е личин, тор ест отвеин азй

. у йе еы на . Вач выси тояш йглавми до

и книги мы бул м изуч ть и нно учайнье пела ины.

ел.орш ° у Й 125

Случ в ые в я в буд м обозныеть пропп мн латин

схкМ бУКВ МИ, Си бж Л Рп ЙХОДИЬЮСти ПИД МИ

Х Го У, а . Д., п ны начениа — г тп Ующими

. тра ними бу ми: з, у~ь га. В ру ск й литературе

ирины г кже обознач па уч йных вшичип р с к м бу

гквами Сппш п д

р ю р м примеры

В Прим р 4.1. В опыт дн кратпым бросааеем пгр м й

ко,пшуч й Йв нчнн йявляетя Х а х чкав

Мго. оэможныкза ~ й с у йной величины Х н

внЛ

(з =1, 2=2, е б).

1', Вл панвпти к к лилит росшраис е э . р з

нсюд . ы, о будет оч видно ду Ш ответ ц ' стане н я Лу элементарными исх да н и эн пнями случаи

н й . ° пп~ыХ

4.1.Определение случайной величины

ц 'Гог ч бь учше экат Азь, ушеству Шую ы

ду луч Йя ма . чнн и с у бпмл соб лле, качу

с пая пения пятя луч йнаи ве нчиньг.

Случ йк и ел чиной тест вино и ыват и ла ую'

чину, наченн катар й эав нт ат го, как и им нно,'

шар 1 сз д прои шел резул ате « пери та).

с.утай м и х дам. Множа все энач и, нот рые

чюп~ вели маж т принннать, зывают мно еспьл'

еа м жм * зпа ай э й слу йкоб лпч

С ед ват но, д я ладанка слу йной в нчины неабхб

мо .«дому ыем нтарн у всходу поставить в . тветст

и — чеки, катар прим т лу ~ Й е вел чина, е

ре ульт испи ние праизонд имени этот н ход

гэ

Х = 1 2 б

Иными сяовами, каждому ыемектарному исходу „=1,б

ставит соответствие чи ла

ПР м р 4.2. М ° ту дбр ыа юг до л рвота калы~

Иил .,шрба" В этом о ыт южно ввести, наприм р, ак ги ч

Уч и ы еличины; Х вЂ” чн лп бр вкй д рв га в явлепкя,г рб " с множеством возможных зна гений (1, 2, 3, ...) У—

чпш,.пифр", выпавших да е р ни „герба", с

~ж т эм зм ш вч й(0,1,2,...)(ясно, ~тоХ=

;: йу

'; цм

Ч 1). В д ы пр р н тва элементарных исход

ки от ждествить с миож тв н

(г, цг, ццг,, ц..цг, ),

Распознанный текст из изображения:

12б Е ОДНОМВРНЫН бЛУЧЛЛПЫН»ВЛЛЧИНЫ

врач м элементарвому н ходу Ц ..ЦГ таз»те» в соответсг" чцсло т-1-1 к к, д — чясло повторений буквы яЦ».:Дг

Пример 4.3. На плоский зкр ° лада т частица. Пу

считать, чта нам щв стн в раятность попадания част

н люб ( рамос, т.е. имеющее площадь) мн:к т»4г

экране. Случаннымн вели!ялам в даян и случае буй

вапркмер, р та ак Х о центра экрана до точки паде"'

квадрат этага р то»ни» У = Хз, угол Х в поле рнай сгщ

ка рдян тат.д уй

Тея рь мм ж м д ть определение случайной вели гн»

Определение 4.1. Скал»рную функцию Х(ы), зад

ва цространстэе элем»тараьх исходов, нэзынают серчай*

ел й, ела длялюбогол»П(ы:Х( )<х) — »нож

элементарных исходов, для которых Х( ) < л являетса сабы

Для кр ткостн условимся а дэ ь» йш м в та за, ( .Х( ) <х) лспользонать запааь (Х( ) < л), если нео дим л дч ркнуть связь случайной ве»ичнн с пр транст элементарных всходов й, плк д ж н ь (Х < ), если це'., цевтяруется вниманае н эт й связи.

4.2. Функция распределения случайной вели

Для последовав»я вера»та ствых свойств »луча» ой е чаны необхадам знать правило, позволяюще нэ адать »' л т га, что случаацая в»лачина примет эначек подмц жества ее значений. Любое такое правило невы законом распределенпл р остей, ялц распре,

е (»еролтмостей) случайной вел»чаны, Прн этом ', чверсжтцостейч обычно пу к ют.

Обшн запонок раавределения, пр» ущ»м всем случ величинам, валяется фуякцк р пр д ленив.

елюу ц р р.д 127

Опре»е 4.2. Фр ц й р пр деле * (ееролпэ ).г, »с, й) слУ йх й в личвны Х наэывыот фУ»кпию Г(л), зв».

чепие к тор й в т чке х р е в р аа ти гобытия (Х < х) ;Гг',т», обы ия, состоящего из тех к толыю т х ле р

»отде,лл к р хХ()<х

Р(х) = Р(Х < х]

1',

Обмчяа г ворвт, чта эначепне функции р пред я л

точк р н в раятн та , чта случаннзл величина Х

прим т чн нн, вынес

2М рема 4.1. Функция р р д удовлетворяет еле

дующим св й таам

1. 0<Г(х)<1

2. Г(г,) < Г(хз) при *, < *э (Г(*) — неубыпающа функцвя)

3 Г(-с )= йп Р(*)=0, Г(4 )= ! Г()=1

(*! « ' лз) Г(лэ) Г(*1)

б. 1г(*) = Е(х — О), гд Р(л — О) = Ь!н Р(Н) (Г(, ) — пр

» *-о

рмацщ .ва функцн»)

' Ч Пр я к тельстве будем к е ть свойства вер»

эей б ткй, доказ ннь теореме 2 В

П к льку за ч руцкцяи распред бой точке »

я>ыя т я н раятностью, т из найства 4 вероягн ы «ает

ухвержд ане 1

Е ля*!<я»,та бы» (Х<2!) включ*вов бытие(Х<

< лэ) ц, са!м на скак»та» 3, Р(х <,) < Р(х <»э), т . »

тве с. внн пред»внаем 4.2 вып лн а утлерждение 2

ПУ ч гп ..., х„, ... — люб растающал пощед ват »„Ность чи л, стремян!вася к тоо. Соб (Х < рос), садп й

сто

орсам,яел тсядостоееркы, другайстароны,ар д т е .' ',,Л»ет об й б д»щн»е сабе!пай (Х<*,„). Отсюда в селу

'-,. »н»

»о»м к рерыа а н ду т второе раве» т ут р кд

«3. Ан логкч доказывают я п р ра енство

Распознанный текст из изображения:

Рк (*) = Р(Х < х)

122 4 ОДНОМЕРКЫЕ ОЛУЧлйНЫК НЕПИЧИНЫ

с бытие (х < *з) ри *, < л вред т и бои обь '

н . двух нсагр«ющ и собмш Е. (Х <,) — случа"

в и н Х приняла зню ие, меньшее яз, и (, э < Х < эд

у бная велич Х риняла зиа и „ж цгег в цра

жути (*г, 1). Поэт чу таетстнии с и а 1 ш'

лучым утвержд ииг 4.

Наконец, аусть*,,,... — любани р стающая на

в т льнасть чисел, р . янгаяся к л сабит (х < э) яютхй

бьелинением быт й (х < з ) с льэонавшись(

си й прерывности, р лим к утвержд ни б а

и ри 4 1 приведен тин к аид Функции р нр Леде

и .ал

Замечание 4.1. М но показать, чт юбая ксубыоаю'

веер рменая слев функц Р( ), удовл ря щае услон"

Р( — со) =б и Р(тсо) =1

ннля л функцией ра оредел ния нек т р й лу гайкой

чины Х

Длит г бы подчеркнут, к й имени у й йн

чине принадлежит фу ю1 я распределения 1'(*), далее ин,

езл и. 122

м приаи ы э й функции нижний н д «, б зиачан ии к н речную слуг й у ичнну Например, дл лучай цой ыи нны Х

Н кат рыху бникахфункцнеи расяр д л и ншывают <,,рункци , значение к т р й * р ано вероятно тн

сорит я (Х <*) Т к анр деление ничего не мш а у с к н ших рысужд ни к. Рд изм наине касытся

н н ва б функция Р( ) будет неярерынна сарана

Ч бы избежать сл жи х м и т ~ скнх конструкции,

обм прн пернон * у нн» теории вероятностей ,'.ограни ° аю»ся только дискретными и ненр ры ы уч й: -иыми величинами. Н д и р ир д ения, приве.":дм р м ры:

Л р зиых лучайных выичин (~исто очков, выя ашик ',;. ири бр ани игрыьнай кости; чи ла бросаний монеты до нереста ' ' иоан ения „герба"; оценка студента на экзамене и т. л.),

— непрерывных случайных величин (ногрюцность измерю

ний; р мя до отказа нрибара; ар мя и зд ° уд '- лекции г. н).

4.3. Дискретные случайные величины

Оар д ление 4.р. Сличаенр ве чг у Х н ы а

":' иза

ра ар дшюни дискретн и чучайн й личины удобно оци 25:)'- ь с помощью ряд р пред л ния

Сир д 44. Рд р рдл л( р !', ш й) дсшмр б лр й й и мы Х называют та

лицу (т бл. 41), ст ящу и д у р «. в рхн й строке а' бла

';::ие'

Распознанный текст из изображения:

120

4 ОДНОМВРНЫВ СЛУЧЛИНЫВВВЛИЧИНЫ

нижней — среды осюз р, = Р(Х = х,) тот, что случай'"

величина прим ги зим!вин .

!тобы подчеркну ь, ."

Таб вц (Л

Ряд распрсдс иял отзокб

хз " *, ... х именна к учайюй вел

Р 1, р 1,, Р„ие Х, ВУД м наРЯДУ бп'

чеиием р, уп р Влить т

обэп ч ние рх .

Д * проверив р вильнасти «тавления т бл. 4.1 рекам'

ду тс» просуммировать вероятв стн рь В лу аксламм '

роеенкос и эт сумма д л на быть р вца единица

~ р,=!

=!

4ЗД р у !21

с !

бм и (Х<г)«с итиэтехн .О,ногехэ «р мх р, ' д з <е д я к т рых Х(ы) =,, °, следов т

р(з) =р

дв аги при зз « *з событи (Х < х) состоит э

юе ! г!.! Рв х исход н, дли которых либо Х(ы) = *ы л б Х(ы) =., тд

(Х < *) = (Х = „) Ч (Х = х,),

"~'''асюд на льно,

Р(*)=Ы трл

''. !ит,д. И к сц, приз>и б тас (Х<*) досюоесрхо и

Покаж м теперь, как в ряду распр д нил ди «реу

лу йной вели л строить функцию ре цр дкя

Р'(*). Пусть К вЂ” д претная слу йнал величаи, за

нал воим рядом ра р д лепна, при м значения лг,хэ,

р положены рядке возр ст иия Тогд д з х х ф

собы (Х < х) явля еозжож з л этому все т'*

стени с опред нем 4.2 !з(х) = б (рис. 4.2). Р п х, < х <.

Р . 4.З

Р(з) = 1

Т кзм обрезом, функция рзспредел нв дискретной с у ай"ной вюв вля тся кусочв з санной функин й, приин- ":,::И нж и ва промежутка ( —,*!) значение б, и ромежутках

( ' х ы) 1 « и, -- значение р! ф ... -1-р, н на вромежутк

Л.чя ад* з к иа распр д пня дискр твой учайнаи !! .йюи'! н, нарлду с рядом р пределения н фу ц еи рвспрц

свлови и льзуют дру пособы. Та, м жно задет авзлгювче«и в видо н которой формулы плн графически. Н пример, ра пределенн игральной кости (, пример 4.ц ппн . ' гмваю фор ул й

Ф.;ч

1

Р(Х= )=-, л=1,б.

Р фа! к е из бр ж е этого распр д нн» привед в

Распознанный текст из изображения:

!33

п,я

О,!

Т блиц 43

тб по42

РНП >О

132 л ОднОмнриые случяиные Величины 111

! н 3 ! 3

Р .ез

4.4.Некоторые дискретные случайные величм"

В етом параграфе расом тр « « р нб л.е ч,' встречающиеся н пр тик распределения дпскрегн ыл слрц «* величин.

Биномиальное ра пр дел няе. Дискретная случа' ел ина Х распредыена по б н л у «»у,

онанрннвмапт начення0,1,2с..,насоответствин р О!Л* н и, задвинь!и формул й

Р!Х= '1=у !11=С'Р'д" ', Р=О.

илн,:ке самое, рядам рвспред л пня. пр дстанлен

табл. 42, где О<р,д < 1 р1-д=!.

Пр р корректность опреде е ия биномизльного!

пределения. Дей тент л в,

Х'РН ~='У С„'р у-'=[р+Н"=!.

о

Онн мнвльяое р пр д нне является н* чем иным, к к

Рз пр дел ни числа успехов Х н испыт х гю схеме бсрнулл с ролшносшь у ври неудачи д=! — Р Гам.3.6)

Ра р деление Пу на. Дискретиш лучайвая яе и- Е" ИаХ распр д л папава у Пу оиа, если н принимает

Пшы еотрица н е значения ер ятностямн

Рдх = 11 = Р!1, д~ = —,с, = 6,1

Л'

илн, и дру! му, Роятноствми, представленными рядом

.*',, р предел ни в табл. 4.3, где д > Π— параметр р ределения Пузлона

Пр верка коррект тн определения р пределсння Пу «- ,' 1за л

=е =о ша

1 Р вр д и м Пуссона мы т уж ветры!ались !Оор

лр е Пу «оне (см. О.бй Р спредшюние Пч и также н плавт э кно рд обаял, п к ьку пион д ,ц 'проявл е я там, где производит б лысое !испо» мтаний, в 3.."~лся м зп к т рык а!он вероятн сть раисходит „р дкое"

божее. В т твин с законом Пуа сона ра пр делены, „-"! зврямер, ч ело вызовов, и ступивших в т ч ние суток се: йла

"-: фонву танцию; число нет ориг в, упавших в редеяен

Распознанный текст из изображения:

134 З ОДИОМБРНЫ5 ПЛУ ЫйНЫНННДИЧИНЫ

районо, н р вшзхся чз.тнц арн р дн кт в м рзе '

в щества.

Ге р «распределение. Снова р «рнм;ь

му Бернулли. Пусть Х вЂ” чвсла пспытзннй, которое.'

х д р ве тн, прежде чем появнт н рвый у пех, .Ф"

Х вЂ” дн кр н случайная,величина, принимающая ец'

ння 0,1,2г.,,п,... О р д м вероятность событня (Х

О ндпа, что Л = О,еслн в перв м же к а н пр пзо

успех. Пазт у

Р(Х=О) =р.

Далее, Х = 1 у, к гдь в первом испытан в прб

ш!а неуда!а, а в вт р — у . Па вероятность т

б ( м. теорему 3.8), р вна ер, т..

Р (Х = ! ) = ер.

А гнчно Х= 2, ещн в первых д ух н ытанаях пронза'

н уд гн, в третьем — успех, н, значи,

Р(Х = 2) = аер

Прадыж ту процедуру, получаем

Р(х = г] = рай = О, 1...

Т нм образом, случанпал вын'! Х т Ряд РаспРВ

нця, пр д т ный в табл.4.4.

Гб к

Х О 1 2

ЯР

Случайную веяпч у а рядам распределения н

ют распред енн й согласна геометр» «р мавр,

Правильность с ст вл н бл. 4.4 вытекает нз р

~Р(х = Н=~рз'=р~ е'= — =1

юо =о =о

зя н«з.я °,-В, . ° 115

4.5. Непрерывные случайные величины

Опр дел н» 4.5. Н р рыен й н ывают лу абнрю

.'",:!С 'е

.еелвч нр Х, Фу кчою р р д ен которой Г(х) можн

йр дст нт виде

!г(*) = / р(Р) ду

(4 1)

Фун !и Р(е) называют нл н а ра р де е н (е .

аеб) случайной велнчнвы Х

Пр дпол тают, что несобственный интеграл р д вл

нян (4.!) ходятся

К к р Лв, дл того чтобы подчеркнуть прап д.

..но ть пя гн стн рагпредыенкя случайной в лмчх Х, буд м ,:: наряду з зс р(*) уп треблять запись рх(х).

В ргщ!ьна встр ча щн я пл тностн распределення щучюшых е т я непрерывными (за н кл ч вк м,

бмть м т, конечн га чн л к) фуннцнямн. Следователь

но, фу ьпк р р д е н для н прерывной случайн й !) Рчнны яы ты пепрерывн й на а й»н лазай осн н в точк х

в прорыва л та стп распределения р(х) м г т р,

з'нс ы

р( ) = р'(*), (Л 2)

«то едует нз свойств ннтв рала с а ре ным в рхннм предел м (1!)

Т л ка такие случанны в лкчнны мы н будем рассматрн ,„,' вать в лалы йшем

Вам чан 4.2. Соотношения (4.!) и (42), аяэма

ду собан функцию н л н сть рзспределення, дела ;,.ютпонятп й с дующую терман лагню, уп тр бля мую ч,." Р зрак нке. сРУнкцюа Р пРедыенна Р(Я) ныывают ммгме'ыь гым распределен а случайн й в личины,

Распознанный текст из изображения:

р(*, <х<*,)=г(,)-г(*,)

1.р( )>О

° у

3 1 р(*) * =

115 4 ОДМОМВРМЫО СлэмчйнЫВ ВВДИЧИНЫ

пло распр д л нгщ р(г) — дафр р мц плыть л '

мом р ределе той ж лу ин й вол ны.

На ри 4.4 иэобрэ п типичный ид плоти ти распр д

Теор м 4.2. Нл а счъ ра р д ленин б дыт еле

щеми сп й теами.

4 Р(л < Л' <. +бе) юр(*)Ь п т к к непр рыв

плотвости р ирэделеаая

5. Р(Х = с) —.-0

° Угверждеггие 1 следует и того, что пл тность ра пре ° ия нвляется пр и водной т функпин ра редщения, му

йства 1 функции распр д пения он тся ксрбыеа' фрнюжсп, р поводи н уб вающей фу кцни неотрицат

ч,э.гщрр У 132

Сот э н войству 2 функции р свред л ия

Отсюда в атв т твин сопред левием не рерывн й лучаиной

вели

едц в ы и в йством ддитивности к дящег весобств

:,Наго пнт трала (Ч1) имеем

чт и д наты угверждеин 2

В жтн ти, если сг = — э, се=4-, о обыщис ( — со< < Х < ) являет д ееримм, и поэтому пр ведлива ут ержл е 3

С гл но своиству 4 ( теорему 4.1)

Р(г б Х <, + б.) = Г(э б ГУ*) - Г(.) й фу(.)

Вели Ь*,. б" ( м рнс. 4.4), м ем

гуг(я) щ дг(*) = г'(е)гул = р( )В*

что и д к м е ут рждение 4.

Н' «он ц, кыьку в силу опр д пения 4.5 функи ра пре Ры ин случайнаи величины чь несобственным интеграл пт н»отв сон,то опа явл тс» непрерыпной, ч приводит и к Утыпжд нию 5. М

3 меч и 4.3. В нлу сваиств 2 и тиости распрел л

" " цп» п рол кость и иад ни непрерывной уч йнаи величины

пр М жу « ( г,*т) и лепно равна и щадв кривплив йв й

Сопла но свойству 3 плод д , ключенная под вс й «ривои

ображающ й ил н ть распред лепил, ра н единиц

Распознанный текст из изображения:

133 Л ОДНОМВРМШ5 СДУЧЛВНЫП НХЛИЧИНЫ

В аы тсч ии с свай вом 4 вераятн ть л паде

лу йнай вела няы Л' е око рый „мал й" пр мехе,

(х, х 4Ь ) пр тнч ки пр порци на на Ья с но ффиццеп'

пр порцюнал пост, рав ьм зн ген плотности распрв11

иия в точк х. Поэта у выраж н. Р(х)Ьх или р(*)йй(

зыв т ип ~да ямспш ыр лш гв М жно т

«ыат,чт пр рыанзлсяу йна велич наре лизу тяе

шр мскую . аиу с к ффициент м пр л рци наль стн

н ты «о в, злой" о р сиш юпк т чкн *.

Н к нсц, саг асн вайству 5, вер ятн ть н падан '

любую (з данну до пыт ) г ку дл ° пр рыви й мучая

лнч ы ра па нулю. ф

В*аключ ие мети, ~т иа практик нн лз в греч

«и слу инь ве и гии, кот рые н лшя твести ни к дискр

ным, нн к и оргры вым утай ым личи ам, инок зы

ду ций рим р

Прн ер4.4. Н ыр кре пест таа ма и~ее ниса

кра ыи, пят 1 ми — з леный, 0,5 мин - кр вый и т(г)1

случайный м мент ре ин,не вяз нный раб тои вет фо

к и ргкр тку адъ жы авт обиль.

Пу ь Х вЂ” врем ожид еия у пер кр на. Пак

то Х не вля я н ли кретн й, нп вепр рыв и случай

в лизи й,

Обаяв чим г = -г 4-гз = 1,5 мин цикл раб ты с етафв

Е ест вна сит* ь,ч авт моб льп дъезж еткпер р',

в луч йнып мом гп вр мен по нош вию циклу р

св т ф р . Т ц», адн й гт роны, с в роязн счъ В(г=.)

то бил пр дети рекр стокнеа тана лив ь,т ХРХ

нимаетзначеняеО вер тно тью213>0 Поэ омуЛ'нем

быть игпр рыв й с учаииай в личинои. С другой стори,

и пчър й 0,5 чивутп й час и цикла р б ть снег фо к

Р

жнд ни» Х макет прин ть любое значение оч 0 до ОД, '

сн,Х е южетбытьт кжедискр гной луч й|юй еличих

л.п и р.р 130

дфл тог чт б лучше повять уще тво дела, по чр им

функцию распр дыения Р( ) ыу йной выичины Х. П коль

„„вр мя жидания п м жст принять атрица ельное значени,

Р(х) = О

),':,дл к*<0 Л сли 0« Об, то саб (И<а)

->й пр всх дит т м случы, к д втамобиль иб п дет ва

пер ую ч сгь никла р б ты гветофар (зеленый свет), ибо

еадьшмт фару ври красном свете, и д включени

зы а света остап. Рема, иеньше * В сиате т ии

С'опргд левием яы пречсс аб р шюсшп

Р(*) = Р(Х < *) =

з -Ря х 4- 1

15

'.: ' )Накапав, по кыьку втомабпль ° любом сяуч проведет у

Ргрекре а е более 0,5 инв, то

Е( )=1, х>05.

Т кпм брав

О, * < О;

ъз '

1, * > 0,5.

' афпк4' "" Р - Р(я) и - р

Отмгтньс, то в ра«м ренном примере случайн я ве пчи

их Х предгт вл ла соб й „месь" ди кр ° й и непр р в й

шучаевых зги и °, ри сем Р(Х= О) = Р(40) — уг(0) — скачку

фтнк(с се р спр деления в чке х = О. М жно привести н бо

";, "лее ложны прим ры, в кот рых случаины лп ~ины уже и

"; „цю~лючтя „см .сью" ди кретной и непрерывной састаыяющих

;,1),ациак эти примеры ужно отнести к разряду мат ати»еских

"„ Мстракций

Распознанный текст из изображения:

Р .47

Р .4М

Р . 4.а

1

— а<э<4; О, х< лн х>й.

О, х<

р(*(= *— ,', <я<й;

й.

П, х<0;

140 Е ОДНОМЕРНЫЕ ОЛУЧЛЕНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

4.6. Некоторые непрерывные случайные величи

Пряведе рниеры и которых н иболее в жвых рп р'

и б непр Рьютж уч Вник ее « . Та, что привод* ' функц и Р(х( лаются фуекцииии р пределе «, следует эаыечания 4.1 е пр верятьси н будех.

Рави мерно р спредел вне. Случайная е энна

ет р номер ра р дел н н атреы (а,йй е Уц

эы т эю р нредаын

Л око внд ть, что фу цел Ра нреде еи в этан сяу;

предел тся выр «еянен

Графики плотиост распределения р(х! я фуннция р

делеии Р(х) прин дены и рис. 4.0 4.7.

есН Р»«РР у ' е"

141

Е , ть пс д ия равно рн Ржмреде и юй слу

эайи й личины инт рвал (еэ,*э(,лежащий утри отре «

(жй(, р в Р(хээ — Р(*17= (зэ — *1(1(й — ой тм. пропарци

ца,ты длине т г интервал . Такны бр и, равном р е

распредл ие реалиэу му геоме р ескоа е р птности

пря бр нии точки и отрезок (а, й(

Эк п ненциапь ра преде1жвне. Слу 1айиы величи:,„,.',яар спредыена и сноиенчнал му (и единому)

Раи у. чи и имеет плот а ь распреды ния

>де 1 > О ..- р тр экспан Пиальнаго р епр д лепна. Д

д фдик !ни ра пределения а д енсы случ рудно получить ыедуюьц выраж н

1"Раф ки н ти ра пр д ия и функции распрсд

,;,,:";";.«аэк и неиц ыьн распредел иной слуэайп й выичиеы рн Лфны иа рис. 4.8 и 4.0.

Распознанный текст из изображения:

142 4. ОЛНОЫЕРНЫБ ОЛУЧАИНЫН ВЕЛИЧИНЫ 1 э О т„т

143

.ач м, В ЕЧ НИ КптОРОГО Р Паластен инва И ЮП1ЕГОСЯ

4 никее е*

Внспщ нпнальна р прелеленна слу сапная се!юнна Х

,чз т осыка важны войством, к рое ест с воино н

звать отсусос ж послед и авил. !У*какя Х как вр мя

1 ра плд ма, рв см риь! событие

А = (э, < Х < *, 4- *з]

Г ° 4.Е

Р . 4.Н

Эк еннизльн р спр д л. ая слу нн я ее и инку!

жег пр нимать кп поло китщьные зп ченна.

Примером случайной величины, имеющей эк па!Ынпиал

рв пределени, является время распад р диаактиивык эле

тов. Прн этом !испо

Т=—

1

д

° аэы аюг сред м времен м р спада. кроме тогы употре

ют также число

Ь2

То =

н ываемо ри дом по ур нада.

Наев вие „период понура п д "огнова н счедую!Пем;

ическом о бражевин. Пусть у с нервов ьво имел '

атал!он веш в Тогда пуста врем То кюкдын тоь!

дется с в р лтностью

р = Н(Т ) = !в

-ю. Ы

1 1

Поэтому е силу независимости отдельных ра падов число; и шихся за вр мя То ач мон имеет б колько роснр '

« р = 4 = 1А2 По, как ы увидим д е, согл сн эи болью * исса(си.и2),при б щикаэточ лобудетнр, в р вно вй2, период п лураспад Уо предста ет ',

;в'ванд м у у щралю и эт бытии вр усюнин

емп енв обытия В = (х > з,). В чнвтствии с спрэд

йиеи у . апой вер ятппсти

Р(А)В) =

Р(В)

П обытие АВ, как нетрудно поня, совпадае событи А 'Поэт . у

Р(А(В) =

= Р(В)

Дюсе, исп льву» в йство 4 функпии р предщени ( м тео„, 'РемУ 4.1), н еем

Р(А) = Р(э«Х < э,д.„)

— (1 -Ы* '-* )) (1 —.1,) — яю(! -1 )

Р(В)=р(Л. „)=1 Р(Х<„)

!)в чи

е ью(1 — с 1 ')

квм обра м, в*р тпость р пзда ат а врем з прн

НИ,Чт ПРДзтп ПУжЕПРжпЛВРИ Эюган КЫЧ'

зи и веро тн стью р да т:ке сам го ма эа

.Рйбюу,'.,

Распознанный текст из изображения:

!44 4 ОДНОЫ0РНЫЕ одрплйкжбпбяпЧНЦЫ

р *1. И нно это свояства и предст я т собой т

стане паследейств . Д у к я которую вольна ть р чи"(

сутст деи ии можно грактовать к к п з ви иы

т точи о времени жизни атоиъот т г вр ни, к тар'

уж прожил. Можнопокю та и бр лислучайиалв

чина Х обладает свай тв м т ут тви» последеигтввя, ъъбз

бя д жн. быть распределена по к па 1 ьи

к у Таким образам, отсутствие па л д й т и явля тсд

рактеристическнм свай твом,к нон ициал на распределцц(

учй и н.

Пр к наказывает, чта экспоненциальное ра пред

нм ют н другие физические величины, в нр р вре

между падениями м т р т в ред ленный район, вре'

между«д ни тую*ниямивыэововнатслеф ниуюсь

ц и т.д. Эиспоненциальное распредел и зй

расиределеннсм Пуассона, а именна ли времена между и

довательнымн на туп е мн нек т рого события предста

т бай иеэаеисанме (онредел вне нез н нмасти случа'

величин будет дано в 0.4) к п вцн льн распределенн '

одним и тем же парам рам д) у й ь ее и аим, т,

ело наступлений этог аб ти время 1 распределен

закону Ну ю на р трам Дг. Отметим такж, чта

р * м ал гом экспоненцналыюго распред л н я яюф,.

есамс прочсское риспргде н

Н рмальное распределение. Случ йи я нчина",

ред и по нормальному (ил у еу) мрю('

имеет р л и ( Р ) ра ределение, если е

о ть

1

(*- )'

р (х)= с з' (- « 4-о, >О)

ачуи

Н р а в е распределение зависит т двух и р рон

'ц:;. нюмваемого а м и юидаиием вли сре

46 Я«Р ЯР 11 146 Г'у ° ч н ем, и, н ъ в емагоср д им ие др пичны

, игга 1 " и.ганси ем графики пло сти р,, (*) и функваи

г

ачй иарчэльнаг распредел ния для р з ичных эн пни пз и лриведсны на рис. 4.10 н р . 4.11.

Р .41а Р . 4.11

Как ду т пэ эти ри у к в, пар м р т опры1ел эрсдюе я, т.е. гр ф пл тности ° р н го распрепсл я юмм ри иаситюьиа иря й =т, а — р бр эн* (1 ' ч вий юу Ь й личины атногит н центра тимм рии

Еюи =0 и а=1, т такой «орма и б «аи нюыв ",,:,' ют юа дарюмым н гго функцию распредел ни б звачают ф(*), а плоти ть распределени - р( ). Н плат с ю и Руинчюб д р 1 я и риюьиал р р д скю мы у уу "стре али в лакаль аи рюьиаб ф р у муаяро— '";с!'*'))4) Нак за тно и кур г магического а чила (Р)), нн- ~~:~1.1" ~РЮ / Идз и мож быть выражен 1 р . ментарны

Поэтому ва всех справ 1 а в больш н тве

ф., бйникои п теории в р и т и приведены т блицы зв

Распознанный текст из изображения:

Р ,. 4.!З

Р .алз

*<О;

я>О (а>О,Д>О)

~ О,

*<О;

Г(7)

( О,

[ адхл 'е

144 4 ОДНОМЕРНЫЕ ОЛУЧАЙНЫЕЕЕЛИЧННЬ1

ннй функцию стаид ртного нормаль о распределения,'„'

мним, ьто в т бл. П.Е д ны эа ения еграла ЛВ"

Фа(з) =) ы(у)йр. Покажем, как, исх льэуя э у таблицу;

о

вероятность вдавил лучайа й вши аы, ра предел

по нормальному анапу зрахзвольаыми и раметр и щс

в ивтерв (а, 4).

В соотв тствии са свай та»м 2 а отности распред

(см. теорему 42) вер ятаасть попадания случаи й иел

Х, распр деленной па нормальн му акоау параметрамйь

а, в ентервал (а,й) з дается формул й

Р( < Х < й) = ~р„л(р)др= ~';(У--)')(ьы)дрй

г 1

чгржг

ВР в Дезам ау *=(у — щ)ущ тот ивтеграл ажно з а внд

(ь- )). (ь Н.

!

Р(а<Х<4)= l е-**) д„= /

.1 ь'2 г

1- Н

Такам обр зом, окончат ьна па учаем

Р(а<Х<Ь)=Ф ( ) — Фа( )

Распр делеви Вейбуллв. С у ьайза величиаа раей' ва во замани Веббрала, если аа имеет плотность раь,

д деним

Ьа Н Р РРЫ у'Ь 147

Ветрудн пРааеРнть, что фувкпив Расврелелепиа в этом преп ля*тол следующим выражением

щуч

О, х<О;

Е(*) = ' .,Р

1 — е, х>О (а>О,Д>О).

распределений Вейбулл яал двух Р м

Лрнческ м (а, д — и Рам тры) и описывщт положительные

Р щуч и ы ачаны

Гр фп« алотеогти р(*) и функции Р(х) р р д денкя

Вейбулла пред т ал ны на рис. 4.12 н 4.13

Счвтают, ьто распределению Вейбулл п дчваяются време;,; с ььа безотказн й рабаты многих текаическнх устройств. Волг .*! Ва 1, то распр д лени Вейбулла превращаетсе в экспоненца":;, Щьяо рас ределевие, а е ли Д =2 — в так вазывгемое рас'Фред л л е Р * ( алом Реле*)

Гамм .р пределевие. другим р пр д леннем, так Д статочн хорошо описывающим вр м на б з к й

'Уеабаты рщ Н ЬНЫХ тЕКНИЧЕСКИХ уСтрОйСтВ, яапявтоя гаММаЕйа Ред с плати огью

й,

Распознанный текст из изображения:

где

Г(.!) = / з е *сф

а

Е! )

!

л = а,5 т=аь

2=1

т=2 2=2

т=л

! 2 Зх

Р . 4.15

Р . 'з.14

!1=(', г, з '4 в, е )

Р(щ) =—

1

0

=1,б

14В ! ОДНОМБРНЫБОЛУЧЛЙНЫБВБЛИЧИНЫ

ь гамм -функция эйл р (НЦ. прл изучении гаммйчл

пр д я и сьма пол зны н т следующие свой

гаммюфункции: Г(у + Ц = уГ(у) и Г(о) = ( — Ц ! для це "

Гр финн пиотности р( ) функпии р(л) гамма-р р

ння изабр ж рп 4.14 н 4.15.

Ка идп в рис. 4.12 — 4.15, р спределюие Вейбул

гамыарлспр д е весьма близки ду собой. 0«на

пр имуц твом закона Вейбу л п ред гамма-ра пр деле,

в»ляется, го фувицил ра пр д яив »ел»сто» э'

рвай функцией. П т му раньше, к д ВВЫ оце не(

д на рюпросгр ы, распрелшюпие В йбулла я'

эовалось горазд ч ще, чем гамма-р р деление. Хат».', „

щ м лучае гамма-р пределение н н яв я тся элемент»

функ»и й, гамма-распр д и обладает некат рыми'в „

и л эп мисвойствамн Т к,еслиу=й,т.е упр пм т,

значени», т м и лучаем рапир д л е Эрланга пар

й, находящее в жны применения и р ассоеаго обю

Есле ж у = 2)'2, где й — неч н !псла, а Д = 1 *

Распрыш Р прюпаетс» в т к н в емое ре'

д симе Хз (о . драю), раль к р го в математичц

140

гаке ° оэм и Реале . Пар м тр й нюы ают в

а«тео й об д ра р д и Х

Х,з) эм Р "'

д нр члене — р реде их (* - аодр )

лове' " и зкспое циюьны р сирелю пнем, Г *

''рэс )е

эс„ред . Ном б дает и дру ми ин р нымп й таам,

.»вторые з ы . д ю и буд м рас. Ривлгь

4.7. Решение типовых примеров

пр р 4.5. Игр л ную ка. Вр сают дян раз. В

2)»надю! ти о очков, грек пыи рывют В руб й

ясли в етн, о бюьш диого р пгрылют 1 рубль,

если выв д еч олн « — пр п рмвает 10 рублей. И йл

й с р дамки с у мой еа ы Х вЂ” пчнпы а и рыща

В даинои н! р

Нр «рт оюсое» р ив д еда»вам у аеим

ет онд

уде М вЂ” выпадение з к в. Счит, та игра ь и наст

Плэ а «л еюэ ! Х может при я всего три ачения

д',))Е!жй. 'з= — 1 и *э= — 1О (явля я д!с реш Е), приче

, -"":аж)аь!У а зтп» зн ! а ш соатютст у шбмшя

(Х=В)=( Х(.)=В)=( ю ю .),

(Х = — Ц = (ю. Х( ) = — Ц = (! э, з),

(х =-)О)=( .Х( )=-ш)=(,)

Распознанный текст из изображения:

150 4 ОДНОМЕРНЫЕ ОЛУЧА ИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

с ро поют в

рс = Р (Х = 8) = Р (ыз, 74 с е) ы Р( з) + Р (ые) Р Р (ые)

Рз=Р(Х= — 4) =Р(ыз ыь) =Р( з) +Р(ыь) = —, Ы

1" 3

3'!:,:

рз = Р(Х = -10) = Р(ь'з) = —.

б

Таки обр з и, ряду

Х !О ! 8 Рсд лек у й ой еее

Р З/б 1!3 1/2

виде табл 4.5.

Г

рафичесное изображение ра пределеиия случайной вер

ы Х приведен на рис. 4.16.

П айд м теперь рук пию ро реде ения Р(х) слу зобе

ли «пм Х. В соответствии с определени м функпни р ен

леи я

О, *< — 10,

'й

Р(х) — Р(Х < )—

р, -1-рз = 1(2, — 1 « 8,

Р~ 1-Рз.1-Рз = 1 * > 8

!'

'Рафик фу зкнни Ржпределення р(х) нз бра:нен н рис.

Р,

е,з

-!а о

1О

Р,.е.ы

Р . 4.17

Пример 4.6. Производят четыре незав симык апы каждом нэ которых екочора* событие Л повеля тся с; тностью р = 0,8. Построим ряд распред ения н фуВ

47Р Р Р 151

7*,, Ир де ен я случайной величины Х вЂ” числа появлений

Н о т тствин с уел ем задачи ы имеем д л а схе.и

',, Берну, 7, т е. число и влеинй сабы я Л раснр д лена по

;!ввеки ль р з у параметр мни = 4, р= О 6 ну = 1 — р=

Од Зввчвт, лузаиная вали ила К мож приним,ьть талька

пжсеяин , = 0,4

С с сн Ф р уле Бср у

Р(Х=я)=С,',р'4 ', 7=9,

Впред лии вероятн и возможны па ынии лучайиой и

чины Х

Р(Х = 0) = Счзрааз= О 0016, Р(Х = 1)= Сзр'уз = 0 0256

Р(Х = 2) = С)рзе = 0 1536 Р(Х 3) Сзрзез 04096

Р(Х=4) =Сечреоа=0,4096

. Ряд Р ред в расом рнваем й лузайн й ичины

пред т леи табл. 46.

Тб и (б

',*(!","" ,Фувкни рас ределеии лучани и иеличины Х имеет в д

О, я<О;

0,0016, 0<л< 1;

0,9272, 1« 2;

01868, 2<х<З;

0 5904 3 < х < 4

> 4.

!'(х) = Р[Х < х

Распознанный текст из изображения:

Р . 4.1В

('а, <о;

Г(х)= хэ, 0<к<1;

1, *>1

Р .4ЛЭ

Р .420

Р(х)= +5 гс13—

152 4 СДНСЫЕРНЫЕ СЛУЧЛИИЫЕИЕЛИЧИНЫ

!'р фнк функции распредшения Р(х) изображен на рис,".

Прим р 4.7. Функцвк распределения и р р Н Л'

и е лпчиньэ Х задана выраж вием

Найдем:

) ош сш респреоелеээкл р(х) у йн й в личиныд

б) вероятность попадании случаиной величины Х в ив*

вэл от 0,25 д 0,5;

в) вероятность тогш т случайвал величина Х п'

значение м пш 0,3;

г) вероятность того, что чучай величина Х пр

значевие б л ш 0,7,

д) р ф к Р(к) и р(х).

Восполъэовавшпсь пр д нем 4.5 н свонств мн иб,

сти распреде ви фу кц р пр д миня, (см. те реп '

и 4.2, нм ем

О, х < 0;

) р(*) = р'(,) = гх, О « * 1;

О, х > 1;

агр * Р 153

,1-,;::::- 5) Р(0,25 < Х < 0,5) = Г(0,5) - Р(0,25) = О,бе в 0,25Э = О,!3751

н) Р(х < 0,3] = Г(0,3) = О,бэ = 0,09,

Г) Р(х>9,7) =1 — В(э <0,7) =1 — Р(0,7) =1 — О,уз=а,51,

д) рэф кн р(х) и р(х) приведен п р 4.19 н 4.20.

Пример 4.3. Функц рэспредел пи в прерывной у эай

Койвел иныХэ д етсяф р ул й

„'Вайд м

а) пшт янные иб,

5) плотность р р дшенил шу айной вшнчнпы Х

э) р(„<Х<„)

о чветствии с ределевнлми 4.2 и 4.5 и цствами

-': ~увк~гии и плотя сти распред чення (см т ор мы 4.1, 4.2)

а) п с олины 5 исопр д лаем из у й

1цп Р(х) = О, !пп Р(х) = 1.

Распознанный текст из изображения:

л

=с — Ь вЂ” =О,

2 ' !Н

=счб — =1

2

с е-Ь-'=0;

2

с -1- Ь вЂ” = 1

2

Ойк=б

х<1

1--—

йу * — 1

— — — я > 1.

у

1

(О, х<1

Р . 4.21

Р .42Х

!64 4. Одномвриыволучцивынвнличииы

Имеем: Ью Г(я) = В2п (с-~-баге! — )

Вгп Р(е)= Вю (Горбато!6-)

Иэ истемы ур вие ии

иах дв, т = 1!2 Ь= 1) и и тому и(*) = — 4- — аг.,

1

2

б) плотна т р р д ени р вм

р(*) = 17'(х) = — !.—

( 2 л а/ л(х2.1-аэ) ' в) Р(э2 < Л <,) = и(,) — Р(х,)—

1 1 *2 1 1 , 1, ,2

= — т — агс!б — — — — — агс!б — = — (агс!б — — а сьб 2 к а 2 и

Пример 4.0. Непрерывиал случайи а л чи а Х н

сдедующую плотно ть ра пр д ии 2

Определим:

л) к эффнциент а;

б) функцию распр деленян Р(*),

в) графики р(я) н Р(х)!

г) вероягиосчь Р(2 < Х < 3) лоп дания случайной вын

Хви р (2,3);

д) нераятпость того, что прн четырех неэ вмсимых б,

танияк луч й «чмчни Х ии рюу не попацет в инта

(2, 3).

47Р М и Р 156

'.'. а) Дл» нахожд и л хоэффвцяевта восюыьауемся свои

И)12Р'

"'", Г м 3 п отностн распределении. Тогда

Г а

а

( р(х)йхю ! — йх=- — =а

,,твуд п лу'гаем о=1

6) В с атветстнии пр д ленхен 4Л плотности распредеФ) Ьеяия

в) Графики функции р(л) и Е(л) иэабрюкены яа рис. 4.21 и

4:22.

2 1 !

г) 1 (1 < Х < З) = Р(З) - Р(2) = - - - = -.

3 2 б

д) Веро тность того, что Х ве попадет в интервал (2, 3)

Пйв адн м испытании равна 1 — 176=576, а при четыоех

лспыт ниах — (5)6)4 ы 0,4В.

Распознанный текст из изображения:

ч одноыернып олучд Оные Величины

156

Пример 4.10. С у айное отклонение раям ра д т

н ми л ор а.юцое р с р д я «р д ем э'

мм Вайд .

) роятпо ть того, что ткл н нв номинала В'

отриц ы

б) проц вт д т лей будет им чъ « е от помяк '

° р д фбммч

а) верхнэою границу к ич т номинала, обе печ

чую р постыл 0,97

Об ре Х отклонени т ин ла. Случа

ашичниа Х им ет н р аланов распр д л ранет

=1 =2 мм.

И полшу ф рмулу (4.3) и аб . П.З, в которой прка"

ния эит эр Л т, находим

а) Р(Х < 0) =Фа( — ) — Фа(

7 — 1э

= Фа '( — ) — Фо(-с ) = — 0,19146 — ( — 0,5) = О,ЗОВ

2

б) Р( — 5<Х<5)=фо( — ) — Фа(

5 — 1 — 5 — 1

2 2

= Фо (2) — Фо( — 3) = 0,47725 — ( — 0,49865) = 0,97

Раним обраэо, пределах д у «+5 мм нах д я 97, д чей.

) Д таста иа р ий вопрос нужя вайти танце' эь, при к т ром

Р(Х < э+) = 8,9

Р(Х <*4)=Ф ( ) — Фо( ) =

— Фо(* ) 405=

47Р еь О Ю Р

157

уо

Фо(* )=04, =128

к 4-=156. Зв чат, веР в ть 09 к ениеот намина

ла буд т м ньше 3,58

Прим р 4.11. Случайная величина Х распредш °

эюрмш ому «ну пар трами ш= 0 и о. При каком :*'„", 'эцачвн и редиы о квадратичного отклонения аероятн сть

'цодадаявл уч йи й величины Х в ладанный интервал (а,б),

О < а < 6 < , будет наибольшей7

Вер ятв ц пад ния случайн й величины Х в интервал П,'(е,Ь) и но определить по формуле(4.3).

Р( < Х < Ь) = Фо( — ) — ФоН

П ' у Фо(6)") Фо( 7 ) -- дяфф р иц Ру . функ 1";"сйив, о всобхаднмым условием экстремума являетсн равенство

дулю р иэводнои (Р(о < Х < 6))',. Отсюда, согласно оэ~ред„ лепню интеграл Лапласа, им м

(Р( <Х<6))'.=- —,РНЧ- — ',Р( — ) =О

6 Ь о

где

т(*) = с

оста л тво т ндартного нормального распределения. Про ; наводя э и втарные арифметнческн* пр образ ванне, прях

ас '71'1 — Ье 71')=О

„е ~носят льи о > 0 его реш и им ет ид

Ьэ э

2(1пб — 1па)

-Г:

Распознанный текст из изображения:

158 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Вопросы и задачи

3.1. Дайте определение условной вероятности

3.2. Сформулируйте теорему умножения верояти '

объясните ее геометрический смысл для двух событий..:"~Ь? З.З. Какие два событяя называют независимыми? заи)"

мыми? 3.4. Какие и событий называют нюависимыми в сова"

ности? попарно?

3.5. Какая связь существует между совместными и завс

мыми событиями?

3.6. Какие события называют гипотезами?

3.7, Напишите формулу полной вероятности.

3.8. Напишите формулу Байеса

3.9. Что называют схемой Бернулли? : -'Ф

3.10. Напишите формулу Бернулли.

3.11. Напишите формулу для вероятности тога, что';.

испытаниях па схеме Бернулли число успехов будет заклюй*,

в пределах ат йг до йз.

3.12. Напишите формулу для вероятности тога, что",„

испытаниях по схеме Бернулли произойдет, по крайней и'

адин успех.

3,13. Напишите формулу Пуассона. 3.14. Напишите локальную формулу Муавра — Лапл

3.15. Напишите интегральную формулу Муавра — Лап

л

3.16. В каких случаях можно применять формулу Пуасс

3.17. Н каких случаях можно применять локальную фо '

лу Муавра — Лапласа?

Вопросы и залазя !19

ЗЛЗ, Б каких случаях можно применять интегральную ,лулу Муавра — Лапласао

"'4„-,. ': 3.19 Что называют полинамиальной схемой?

3 20. Напишите формулу для вероятности того, что в

,чииомиальной схеме событие А1 произойдет ровно пз раз,

'обытие А пРаизойдет Ровна н Раз

3,21. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблю- )~;"„:даемые события: А — на трех костях выпадут разные числа

очков.,  — хотя бы на одной из костей выпадет „шестерка" 'Вычислите Р(А(В) и Р(В)А)

Ответ: Р(А~В) =60/91, Р(В)А) =1/2.

3.22. В шкаф поставили девять новых однотипных прибо

ров. Для проведения опыта берут наугад три прибора, после работы нх возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в употреблении, ие отличается от нового. Определите вероятность ':, †:: '-'того, что после проведения трех опытов в шкафу не останется

новых приборов

О.тает: Р= 1 (67'9 57'8 ° 4/7) ° (3,79 278 ° 1/7) =0,0028

3.23, На карточках разрезной азбуки написаны 32 буквы

русского алфавита. Пять карточек вынимают наудачу одна за 1;"". другои и укладывают на стол в порядке появления. Найдите

вероятность того, что получится слова,,КОНЕЦ'

Ответ: Р= 1732.1731 17'30 1729 1!28ю 4,14 10 л

3 24. Студент пришел на зачет, знал из 30 вопросов только

24. Если студент не отвечает иа один вопрос, преподаватель зацает другой. Найти вероятность того, чта студент сдаст зачет

О.тает: Р= 1 — 1729 0,966

3 25. Два стрелка стреляют в цель, причем каждый делает ,"1 "о ацкаму выстрелу. Для первого стрелка вероятность папада

ня в цель равна 0,7, для второго — 0,8, Какова вероятность

пасть в цель хоти бы одному стрелку?

Распознанный текст из изображения:

121

Вопросы » лллчя

120 3. УслОВПАя ВеРОятнОсть. Охерлл ьнрнУллн

3.26. Система состаи44) 2 четырех узлов )рис. 3.5);с

роятности Р, безотказноЯ . 1 4

багы узлов равны саа' ' 2 ствепно Рг, Рз, Рз и Ря. числите вероятность б, казной рабаты всей сист' Рис. З.з Ответ: Р = Р, )1 — )1 — Рз)(! — Рз))Р4.

3.27. При одном цикле обзора радиолокационной стан'.

следящей за космическим объектом, объект обнаружив'

с вероятностью р. Обнаружение объекта е каждом ц

происходит независимо от других. Найдите вероитность ткал

что при и циклах объект будет обнаружен.

Ответ: Р= 1 — г4! — Р)".

3.28. В первои урне лежат 10 шаров, иэ пих восемь б

во второй — 20 шаров, иэ пих четыре белых. Из каня?

урны наудачу извлекают по одному шару, а затем из этих ))

наудачу берется один шар. Найдите вероятность того, втоц'

будет белый шар.

Ответ: Р= 0,5.

3.29. На шахматную доску ставят двух слонов: белов'"

черного. Какопа вероятность того, что при первом ходе

слон мажет побить другого?

От ветг Р = б/36= 0 139.

3.30. В продажу поступают телевизоры трех заводов: 6 дукция первого завода содержит 20%с телевизоров со скр ";, дефектам, второго — 10% и третьего — 5%. Определитй), роятцость приобрести исправный телевизор, если в мап,, поступили 30 телевизоров с первого завода, 20 — са вта ' и 50 с третьего?

От ветг Р= 0 895.

3,31. На заводе, изготавливаюшелг болты, первый станок

'. '!:" Роизвадит 25%, второй 36% и третий 40% всех изделий. В

произ

их продукции брак составляет 5 %, 4 % и 2 % соответственно

их пр г

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт

будет дефектным

6) Случайна выбранный болт оказался дефектным. Найдите

вероятности Р,, Рг и Рз того, что он был произведен первым,

вторым, третьим стаггкомт

Ответ: а) Р = 0,0345, б) Р, = 125/346-0,36,

Рг = ИО/345= 0406, Рз = 80/345ге 0,23

3.32. Два стрелка стреляют по одной мишени, делал каждый

,::: - .по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для

цервога стрелка равна 0,8, для второго — 0,4. После стрельбы

,::.':. в мипгепи обнаружена одна пробоина. Определите вероятносчь

",' ' тОга, что в цель попал первый стрелок.

Ответ: Р= б/7= 0 857

3.83. Три стрелка производят па одному высгрелу в одну

;::::./и ту ,ке мишень. Вероятности попадания в мишень при

;,:!' 'одном выстреле для каждого из стрелков равны Р,, Рг и Рз

г,"::., соответгч пенно. Какова вероятность того, что второй стрелок

',;-'.пРаиахвулся, если после стрельбы в мишени оказались две

пРобоины?

Ответ

Р=

РК! — Рг) Рз

гг! Рг)Р215+Рг(! Рз)Р54 РгР61 Рз)

3 34. Наудачу подбрасывают три монеты. Найдите вераят

вость гага, чта выпадут равно два „герба"

Ответ: Р= 3/8 — 0,375

3 З5. Бросают пять игральных костей. Вычислите вероят

с;*-"„':О

ость того, чта на трех из них выпадет пятерка

тает' Р Сз(1/6)згб/б)з 0 032

Распознанный текст из изображения:

122 3. УслОВнАЯ ВеРОЯтнОсть. схемА БеРнУлли

3.36. Бросают 10 одинаковых игральных костей. Опред"

ге вероятность того, что ни на одной иэ ннх не выпадет шй

очков.

Ответ: Р= (5?гб]гош0,16.

3.37. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каж'

-ы

из которых может поступить заявка на очередной де

вероятностью 0,4 независима ат заявок других магази' '

Найдите вероятность тога, что в день поступит четыре эвнг'

Ответ: Р 0,251.

3.33. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, де '

ки — 0,465. В некоторой семье шестеро детей. Какова веро"'

ность того, что среди них не больше двух девочек?

Ответ: Р -03723.

3.39. Что вероятнее; выиграть у равносильного прот

ка (ничейный исход исключается) три партии иэ четырех.

пять из восьми?

Ответ: Вероятнее выиграть три партии из четырех.

3.40. Сколько нужно параллельно соединить элемец вероятность безотказной работы каждого из которых за в '' 1 равна 0,9, для того чтобы вероятность безотказной рабц всей системы эа время Г была не меньше 0,999?

Ответ: Не менее трех.

3.41. Известно, что на выпечку 1000 булочек с иэю"

нужно израсходовать 10000 изюмин. Найдите вероятно"

того, что:

а) наудачу выбранная булочка не будет содержать изгрЦ„

б) среди пяти выбранных наудачу булочек две не бу

содержать изюма, а в остальных будет хотя бы по од'

изюмине.

Ответ:

::3

а) 1'= е 'о ш 0,0000466;

б] Р Сг(е-гс)г(1 -го)з 219 10-з

Вопросы и влачи 123

3А2. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов

В роятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту

' г:;: '" цадобптсн соединение, равна 0,0007. Вычислите вероятность

тото, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее

трех вьгзопои

Ответ: Рю 1 — Р(0;0,7) — Р(1;0,7) — Р(2;0,7) = 0,03414

3,43. Известно, что 40 % автомобилей, следуюгцих по шоссе,

у развилки поворачивают направо и 60% — ивлево. Какова

вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по

шоссе, ровно 250 повернули иалевог

Ответ: Р уг(1,02]гчгЧИ бд К6 0,024

3.44. Симметричную монету подбрасывают 10000 рэз. Най

"-„:!,'эдите нероятпость того, что наблюденная частота выпадения

„герба" будет отличаться от 1?'2 не более чем на 2%

Ответ: Р= Фо(2) — Фо( — 2) = 0,9545

3.45. Найдите вероятность того, что среди 10 случайным

!.".,',;.с:,образом выбранных человек у четырех дни рождения будут в

.;~,.',пнрвом квартале, у трех — во втором, у двух — в третьем и у

одного в четвертом

Ответ: Р= 10! 025го?г(4!3!2!1!) = 0012