Книга: Метода к лабораторной работе К3

Файлы скачаны со студенческого портала для студенты "Baumanki.net"

Файлы представлены исключительно для ознакомления

Не забывайте, что Вы можете зарабатывать, выкладывая свои файлы на сайт

Оценивайте свой ВУЗ в различных голосованиях, в том числе в досье на преподавателей!

Распознанный текст из изображения:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА КЗ

РЕШЕНИЯ у'РАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Цель работы: исследование решений уравнения Шредингера, описывающих прямолинейное движение частицы в стационарных потенциальных полях, и их сравнение с решениями уравнений Ньютона, описывающими то же движение.

Теория к работе

1. Плотность вероятности

В силу физической природы микрочастиц их движения могут быть описаны только статистически при помощи методов теории вероятностей. Экспериментатор, исследующий какое-либо проявление свойств микроскопических частиц, всегда имеет дело не с одной частицей, а системой, состоящей из очень большого числа микрочастиц. Такая система называется статистическим ансамблем.

Рис. 1. К определению плотностпи вероятпности.

Рассмотрим ансамбль, состоящий из Ю одинаковых частиц, заполняющих некоторый объем пространства ~'. Статистическое описание поведения одной из частиц ансамбля осуществляется посредством функции

ы = и~(~, г), которая называется плотностью вероятности и определяется следующим образом.

Распознанный текст из изображения:

г:

ю(1 г)=~ф(8 г)~ =ф ф

(7)

с~У = Ф ю(1, г) ИК.

(2)

(8)

(4)

х = х~ф~М,г) ~ НЪ'.

иу (К, г ) сй/ = 1 .

(5)

ф=ф(~,г).

(6)

Разделим объем Ъ' на физически бесконечно малые объемы и рассмотрим один из них ИУ. Положение этого объема в пространстве определяется радиус-вектором г" одной из принадлежащих ему точек (рис. 1). Пусть в момент времени 1 в этом объеме оказалось ЫЛ частиц. Так как частицы непрерывно перемещаются в пространстве, число ЫЮ частиц в объеме И~' может изменяться с течением времени 1. Число дФ зависит также от положения этого объема в пространстве, его величины и общего числа Ф частиц в ансамбле. Очевидно, что число частиц ИФ должно быть прямо пропорционально числу М и объему дЪ'.

Это соотношение можно рассматривать как определение плотности вероятности.

Отношение

ЫИ' = (3) называется вероятностью обнаружить в момент времени 8 одну произвольно выбранную частицу ансамбля внутри объема Л~.

Разделим равенство (2) на число № С учетом (3) получим

сИ' = ы(1, г) сй~.

Так как сумма чисел ИУ равна числу М всех частиц в ансамбле:

сумма вероятностей ИИ~ равна единице:

сИ'= 1.

Это равенство называется условием нормировки вероятности. Подста-

новка выражения (4) в условие нормировки преобразует его к виду

.2. Волновая функция и ее смысл

В квантовой механике описание движения одной из частиц ансамбля

осуществляется при помощи так называемой волновой функции

В общем случае волновая функция является комплексной величиной, т.е. она содержит в себе мнимую единицу ~, квадрат которой по определению равен — 1: г2 = — 1. Физический смысл волновой функции заключается в том, что квадрат ее модуля равен плотности вероятности ю(1, г) обнаружить частицу в момент времени 1 в некоторой окрестности точки

где ф* есть функция, комплексно сопряженная по отношению к функции ф. Напомним, что комплексное число г можно представить в виде суммы ~ = ж+ гу, где х и у — действительные числа. Число ~' = ю — г'у называется комплексно сопряженным по отношению к числу г. Таким образом, выражение комплексно сопряженная по отношению к данному выражению можно получить, если изменить в этом выражении знаки перед мнимой единицей на противоположные. Подстановка выражения (7) в равенство (5) преобразует его к виду

Это равенство называют условием нормировки волновой функции.

Экспериментальному определению доступны не сами функции ю(1, г) и ф (1, г), а только средние значения различных физических величин, характеризующих положение частицы и ее движение. Такими величинами являются координата частицы х, ее радиус-вектор г, импульс частицы р", его проекция р~ на ось х, энергия и другие механические величины. Зная волновую функцию, можно вычислить средние значения всех механических величин, а затем сравнить эти значения с аналогичными средними значениями, полученными в результате экспериментальных исследований. Так, например, среднее значение координаты У можно вычислить по формуле

Совпадение теоретических (расчетных) и экспериментальных значений

физических величин является критерием правильности теории.

3. Операторы в квантовой механике

При вычисления средних значений различных физических величин в квантовой механике поступают следующим образом. Каждой физической величине а ставится в соответствие оператор а, который символизирует совокупность математических операций, производимых над вол-

Распознанный текст из изображения:

(14)

Ьг

Й вЂ” Ь ~7г+ уя

2т

(15)

х ф (8, г) = х ф (1, г) .

а = ~ (1, г) а ф(1, т) сИ'.

(16)

д

р = — гЬ—

дх

(10)

Из этого определения следует, что

дф

р ф= — гЬ вЂ”,

дх

вида

ф(1, г) = е '" у(г),

(17)

ф" (1, г) = е' у (г),

д ~ д .~ д

С7 = 2 — +2' — + й —. дх ду дг '

а = <р (г) ау(г) Н$'.

(18)

"г Ьг

2ти 2т

(12)

где

(19)

дг дг дг

~г + + д г дуг

0 = у(г).

новой функцией ф(1, г). Результатом этих операций является другая

функция Д1, т):

Д1, т) = аф(1, г) .

Координате х частицы соответвует оператор х, который по определению равен х:

х=х. (9)

Таким образом, действие оператора х на волновую функцию ф(1, т) в

данном случае сводится к ее умножению на х. В результате получим

функцию

Оператор импульса р, определяют так:

т.е. действие оператора р~ на функцию ф состоит в дифференцировании функции по х и умножении на — г Ь.

Согласно определению (10) оператор р вектора импульса частицы можно записать как

р = — гЬ~7, (11)

где '7 — дифференциальный оператор "набла" такой, что

Оператор кинетической энергии Т связан с оператором импульса р так

же, как кинетическая энергия частицы Т связана с ее импульсом р:

— оператор Лапласа. Оператор потенциальной энергии равен самой потенциальной энергии:

Оператор полной энергии Й называется оператором Гамильтона или

гамильтонианом. Этот оператор равен сумме операторов кинетической и

потенциальной энергий:

Й=7+О.

Более подробно это символическое равенство можно записать так

Физический смысл какого-либо оператора а в квантовой механике заключается в том, что с его помощью по формуле

можно вычислить среднее значение величины а. В общем случае среднее значение изменяется с течением времени: а = а(1). В частном случае, когда средние значения всех физических величин, характеризующих движение микрочастицы, не зависят от времени, состояние частицы называется стациоиарны и. Такое состояние описывается волновой функцией

где ы — постоянная, а функция ~р = ~р(г) зависит только от радиус-

вектора г. Так как комплексно сопряженная функция

подстановка функции (17) в формулу (16) дает среднее значение

которое не изменяется с течением времени.

Подстановка функции (17) в условие нормировки (8) приводит к ра- венству

Распознанный текст из изображения:

4. Уравнение Шредингера

~г

7г +~ 2т

(20)

(23)

~г

2Ъ вЂ” = — — ~7гФ+ у Ф.

д~ 2т

(21)

Ез Ег

ф(О,г)=ф Я,

Рис. 3. Уровни энергии.

5. Станионарные состояния

6. Свободная частица

(22)

Основным законом в квантовой механике является уравнение для волновой функции ф = ф(~, г)

Уравнение Шредингера имеет в квантовой механике такое же фундаментальное значение, какое имеет второй закон Ньютона в классической механике.

С учетом строения оператора Гамильтона (15) уравнение Шредингера можно записать следующим образом:

Это есть дифференциальное уравнение в частных производных. Для того, чтобы среди множества различных решений уравнения Шредингера найти единственное ф = ф(1, г), необходимо выделить его при помощи какого-либо дополнительного условия. В качестве такого условия обычно выбирают начальное условие

где ф,(г) — известная функция. Это условие задает зависимость ф от г при 1 = О. Кроме этого волновая функция в любой момент времени должна удовлетворять условию нормировки (8). Зная функцию ~о(т), определяющую состояние частицы в начальный момент времени 1 = О, из уравнения Шредингера можно найти функцию ф = ф(1, г), описывающую состояние частицы в любой другой более поздний момент времени Х>0.

Стационарное состояние частицы описывается волновой функцией вида (17). Подстановка этой функции в уравнение Шредингера (20) приводит к уравнению

где Е = Ьм. Уравнение (22) называют уравнением Шредингера для стационарных состояний, или просто стационарным уравнением Шредингера.

С учетом формулы (15) уравнение (22) можно записать более подробно следующим образом

Уравнения (22) и (23) имеют решения не для любых значений энергии Е. Все значения полной энергии Е, для которых эти уравнения имеют решения, образуют так называемый энергетический снектр или спектр возможных значений энергии частицы. В некоторых случаях эти значения образуют счетное множество, т.е, их можно перенумеровать. Такой спектр энергий называется дискретным. Каждое значение энергии дискретного спектра можно отметить на числовой оси Е посредством отрезка прямой линии, который называют уровнем энергии (рис. 2).

Среди возможных значений энергии частицы всегда есть наименьшее.

Волновая функция, соответствующая наименьшему значению энергии,

описывает так называемое основное состояние частицы.

Движение частицы называется свободны и~, когда на нее не действуют внешние силы. В таком случае саму частицу также называют свободной. Потенциальную энергию свободной частицы можно считать равной нулю: 0=0.

Волновая функция ф = ~ (~, т), описывающая движение свободной ча-

Распознанный текст из изображения:

д~ ~г

гЬ вЂ” = — — ~ ф. Й 2ти

(24)

(25)

НУ

— <О и Р>0 при хб(аЬ).

сЬ

х = х(1).

(27)

НУ

Я'—

ах

При заданных начальных условиях

(26)

х(0) = х, и х(0) = и,

~2 .

т — Г(х) .

сй

(28)

1 +

1

а Ь х

ф = ф(~,х).

(29)

стицы удовлетворяет уравнению Шредингера

Рассмотрим поток свободных частиц, движущихся вдоль оси х. Движение частиц в этом случае описывается волновой функцией у' = у'(~, х), которая зависит только от одной координаты х и удовлетворяет уравнению Шредингера

7. Движение частицы в поле консервативной силы

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х под действием силы, которая зависит только от ее положения: Е = Г(х). Функцию Г = Е(х) одного переменного всегда можно представить в виде

где Г = У(х) — потенциальная энергия частицы.

Рис. 3. Потенциальная энергия частицы

и действующая на нее консервативная сила.

На рис. 3 изображен график возможной зависимости У от х. При х = а эта функция имеет максимум, а при х = Ь вЂ” минимум. Часть графика функции У = У(х), содержащую максимум, называют потенциальным барьером. На рис 3 эта часть соответствует х Е ( — оо, Ь). Значение

Г, потенциальной энергии называют высотой барьера. Часть графика, содержащую минимум, называют потенциальной ямой. Кривая на рис.

3 имеет "яму" при х Е (а, + оо).

По виду графика функции У = У(х) можно определить направление силы, действующей на частицу. В тех точках оси х, где функция У = У(х) возрастает, проекция Е силы на ось х отрицательна, т.е сила направлена в сторону убывания х (рис. 3); а тех точках оси х, где функция У = У(х) убывает, проекция силы Р положительна и сила направлена в ту же сторону, что и ось х:

сЕ1

— >О и Р<0 при хЕ( — оо а)О(Ь +оо); ах

В классической механике движение частицы вдоль оси х описывают

при помощи зависимости ее координаты от времени:

эта зависимость может быть найдена из второго закона Ньютона

Движение частицы считается известным, если известна зависимость (27). В таком случае для любого момента времени можно сколь угодно точно определить положение частицы в пространстве и ее скорость. Поэтому описание движения частицы посредством зависимости (27) называют детерминистическим.

Рассмотрим теперь движение частицы вдоль оси х с позиций квантовой механики. Согласно представлениям этой теории движение частицы следует описывать посредством волновой функции, которая в данном случае будет зависеть от времени 1 и только одной координаты х:

Волновая функция может быть найдена из уравнения Шредингера (20),

которое представляет собой основной закон квантовой механики.

Распознанный текст из изображения:

~г дг

Й = — — — + У(х) .

2т дхг

(30)

1

У(х) = — с х

2

(37)

(31)

~г,~г

2т сЬг 2

(38)

и](1, х) = ~ ф (1, х) ~

(32)

При этом выражение

(33)

8. Гармонический осциллятор

О

х

тх = — сх

(39)

х+ы х =О,

(34)

где

(35)

(36)

х® = А сов(ы Х +,9),

10

В рассматриваемом случае определяемый формулой (15) оператор

полной энергии Н, так же, как и волновая функция ф = ф(1, х), будет

зависеть только от координаты х:

Подстановка этого выражения в уравнение Шредингера (20) преобразует

его к виду

Физический смысл волновой функции (29) заключается в том, что квадрат ее модуля есть плотность вероятности:

есть вероятность обнаружить частицу на отрезке [х1, хг].

Исследуем движение частицы, на которую действует сила Г = — сх, где с — положительная постоянная. В классической механике движение частицы описывается посредством функции х = х(1), удовлетворяющей уравнению Ньютона

Это уравнение удобно привести к виду

Решением дифференциального уравнения (34) является функция

которая описывает гармонические колебания с частотой ы. Частицу, совершающую такое движение, называют гармоническим оециллятором.

Когда частица находится в силовом поле Г = — сх, она обладает потенциальной потенциальной энергией

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (рис. 4). Такой график также называется потенциальной ямой.

В квантовой механике стационарные состояния гармонического осциллятора описывают посредством функции ]о = р(х), которая удовлетворяет уравнению Шредингера

Это уравнение имеет счетное множество решений у„= <р„(х), где число

п = О, 1, 2, 3, ... называют колебательным квантовым числом.

Рис. ~. Параболическая потенциальная яма.

Спектр энергий гармонического осциллятора дается формулой

Основное состояние квантового гармонического осциллятора описывается функцией

~р,(х) = А ехр( — а х ), (40)

где А и а — положительные постоянные.

Распознанный текст из изображения:

Х1

В= ш(~, х)ах

рг

Ео—

2т

(41)

Т = ш(1, х) Ых

(42)

) ~ ~(р )~г

12

13

9. Прохождение частипы через силовое поле

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х под действием некоторой консервативной силы, которая не равна нулю только тогда, когда частица находится на интервале [х1, хг]. На рис. 5 изображен график плотности вероятности и = ю(1, х) при 1 = сопИ. Если с течением времени этот график смещается в сторону отрезка [х1, хг], то это означает, что соответствующая волновая функция описывает частицу, падающую на потенциальный барьер.

х1 хг х

Рис. 5. Волна, падающая на потенциальный барьер.

На рис. 6 изображен примерный график плотности вероятности ш = щ(1, х) после силового воздействия на частицу. Величина

есть вероятность обнаружить частицу на отрезке ( — оо, х1]. Эту величи-

ну называют коэффициентом отражения. Величина

есть вероятность обнаружить частицу на отрезке [хг, оо). Эту величину

называют коэффициентом прохождения.

х1 хг х

Рис. б. Волна, отразкенная от потенциального барьера,

и волна, прошедшая через него.

Частица может преодолеть действие тормозящей ее движение силы и оказаться за пределами отрезка [х1, хг] даже в том случае, когда ее энергия Е меньше высоты У, потенциального барьера. Это явление называют туннельным эффектом.

Порядок выполнения работы

Данная лабораторная работа заключается в наблюдении на экране компьютера различных движений частицы вдоль оси х под действием консервативных сил. Для численного решения нестационарного уравнения Шредингера и уравнения Ньютона в работе используется пакет программ "МЯБЕ" (Хоп-ЯФай1опагу БсЬгоейпдег Еппайоп). Волновая функция ф = ф(1, х), описывающая движение частицы в рамках квантовой механики, определяется из нестационарного уравнения Шредингера (31). При этом начальное состояние частицы при 1 = О описывается функцией

— 1/г 2 1 х

г

ф (х) = (/т х,) ехр — р я ехр

Ь 2 х,

где х, — ширина начального распределения, р, — начальный импульс

частицы. В качестве параметра начального состояния вместо импульса

р, задается энергия

Зависимость х = х(1), описывающая движение частицы в классической механике, определяется из второго закона Ньютона (28).

В процессе демонстрации на экран выводятся график зависимости У = У(х) потенциальной энергии частицы от координаты, график зависимости плотности вероятности

от координаты при 1 = сопИ, изображение частицы, совершающей классическое движение; и другая информация. Зависимость ю = и~(~, х) можно наблюдать как поверхность в пространстве переменных 1, х и ы. Для этого следует нажать клавишу Г5. Наблюдения следует проводить при различных значениях точности вычислений (Брасе Вево1пйоп), которая условно обозначается цифрами 1, 2 и 3.

По указанию преподавателя выполнить следующие упражнения:

1. Свободное двилсение частицы (Ггее Мочетеп1) . Исследовать движе-

ние частицы при различных значениях параметров Е, и х, начального

состояния.

Распознанный текст из изображения:

В от Е, при х, = сопв1,

В от х, при Е, = сопй,

Цх) = — сх +ах

2

В от У, при Е = сопок,

В от е1 при Е, = сопв~, занести в таблицы Напри

*о—

мер,

хо — " > ~о—

При помощи таблиц построить графики соответствующих зависимостей.

4. Движение частицы через "потенциальную ступеньку" (ЯФер РоФепйа1). В этом упражнении изучается прохождение частицы через поле

У, при х>0,

0 при х<0,

где У, — высота ступеньки, которая должна быть задана до запуска программы. Для этого нужное значение следует набрать в окне Ро$епйа1 Не1~Ы. Программа вычисляет вероятность Т (Тгапвгп1вв1чйу) проникновения частицы в область х > 0 и вероятность В (Вейесйчйу) ее отражения от ступеньки, т.е. вероятность движения частицы в обратном направлении. Таким образом, можно исследовать зависимости этих вероятностей от параметров силового поля и начального состоянии частицы.

а) Снять зависимости вероятностей Т и В от Е, при х, = сопв1 и У, = сопв1.

б) Снять зависимости вероятностей Т и В от х, при Е, = сопв~ и У, = сопв1.

в) Снять зависимости вероятностей Т и В от У, при Е, = сопв1 и х, = сопй. Полученные данные занести в таблицы. Например,

~У, при х Е 10, с1],

0 при х Е ( — оо, 0) ) ) (сК,оо),

хо — "° ~

15

14

2. Гармонический осциллятор (Наппоп1с Овс111а$ог). В этом упражнении

изучается движение частицы в консервативном поле

где параметр с не изменяется, а параметр ангармоничности (АпЬагпюп1вгп) а должен быть выбран до запуска программы. Начальное состояние частицы описывается функцией

2д

ф,(х) = (/т и,) ехр ( — р,я) ехр — — ( — )

где в — параметр, который следует задать, набрав нужное значение в окне "Гопп". Построить на бумаге график зависимости ширины Ь (Спггеп$ ЖЫ1Ь) волновой функции от времени ~ (Типе). Для этого нажимая клавиши Г1 (Вор) и Г2 (Сопйппе), снять показания, приводимые на экране. Полученные данные занести в таблицу

Наблюдения провести для различных значений параметров Е„х„д и

а. Для значений Е, = О, д = 1 и а = 0 подобрать такое значение х„

при котором плотность вероятности не будет изменяться со временем.

Объяснить полученный результат.

3. Инфинитное движение частицы в потенциале прямоугольной фор-

мы (Кес~апр~1аг Ро$еп6а1). В этом упражнении изучается прохождение

частицы через поле

где е1 — ширина поля. Если параметр У, > О, то данная зависимость описывает потенциальный барьер, если же У, < О, то — потенциальнуя яму. При выполнении упражнения следует изменять ширину (Ро1епйа1 %Ы$Ь) е1 и глубину (Ро1епйа1 0ер~Ь) У, потенциальной ямы (или высоту барьера).- Программа вычисляет вероятность Т (Тгапвппвв1чйу) проникновения частицы через силовое поле в область х > Ы, где поле становится равным нулю; и вероятность В (Вейесйчйу) ее отражения, т.е. вероятность движения частицы в обратном направлении. Таким образом, можно исследовать зависимости этих вероятностей от параметров силового поля и начального состояния частицы.

а) б)

~о—

в) хО

г)

Снять сапам и Снять сопМ и Снять сопй и Снять сопв1 и

зависимости вероятностей Т и

а' = сопв1.

зависимости вероятностей Т и

а' = сопв1.

зависимости вероятностей Т и

а = сопв8.

зависимости вероятностей Т и

У, = сопй. Полученные данные

Распознанный текст из изображения:

/ Г (Ь вЂ” х) при х<А, 0 при х>Л,

!ф(х) ! = !ф1(х) + ф2(х) !

(синяя кривая) и

! 41(х) ! + И2(х) !

~( — ты х при !х! < а, 0 при !х!>а,

Вопросы к работе

16

При помощи таблиц построить графики соответствующих зависимостей.

5. Движение частицы под действием постоянной силы (Сопв1ап$ Гогсей Мойоп). В этом упражнении изучается прохождение частицы через поле

где à — постоянная сила, действующая на частицу в интервале х Е (О, Ь). Значение ширины Ь силового поля в программе не изменяется. При Г > 0 сила ускоряет движение частицы, а при Г < 0 она тормозит ее движение. Значение Г определяется заданием значения величины У(0) = Г 1' в окне Ро$епйа1 РергЬ. Исследовать движение частицы при различных значениях параметров Е„х, и У(0).

6. Резонансное туннелирование (резонансе Тпппе111пк). В этом упражне-

нии исследуется прохождение частицы через поле

где ы и а — положительные параметры, выбор которых определяется заданием энергии кванта Япап~пгп Епегку) Ьы и высотой (Ро~епйа1 Не1кЫ) потенциальной ямы У(а) = ф ты~а2. Программа вычисляет вероятность Т (Тгапвгп1вв1ч11у) проникновения частицы через силовое поле в область х > а, где поле становится равным нулю; и вероятность В (Ке11есйчйу) ее отражения, т.е. вероятность движения частицы в обратном направлении при х < — а. Таким образом, можно исследовать зависимости этих вероятностей от параметров силового поля и начального состояния частицы.

а) Снять зависимости вероятностей Т и В от Е, при х, = сопв8, с'(а) = сопв1 и Ь ы = сопв1.

б) Снять зависимости вероятностей Т и В от х, при Е, = сопв1, У(а) = сопят и Ь ы = сопй.

в) Снять зависимости вероятностей Т и В от У(а) при Е, = сопв~, х, = сопят и Ь ы = сопв1.

г) Снять зависимости вероятностей Т и В от Ь~ при Е, = сопв1, х, = сопв1 и У(а) = сопй. Полученные данные занести в таблицы. При помощи таблиц построить графики соответствующих зависимостей.

7. Дифракция потока частиц на двух щелях (РЖгасйоп). В этом упражнении наблюдается прохождение потока электронов с энергией Е через две узкие щели в непрозрачном экране. Ширина каждой щели — И, а

расстояние между ними — Ь. Для запуска программы необходимо задать значения ширины (МГнКЬ) е1 и расстояния (Романсе) Ь. На дисплее отражается интерференционная картина, наблюдаемая на расстоя"ии ~ = (2Е,/гп)'~~ ~ от экрана со щелями. Результат интерференции

волновых функций представлен графиками зависимостей

(красная кривая), где ф1(х) и ф~(х) — волновые функции, описывающие прохождение электрона через первую и вторую щели соответственно. В ходе работы необходимо исследовать, как изменяется дифракционная картина при изменении параметров начального состояния энергии Е, и ширины х„ширины е1 и расстояния Л.

1. Определение плотности вероятности ы = и~(~, г) и ш = ю(1, х). Усло-

вие нормировки плотности вероятности.

2. Волновая функция и ее смысл. Условие нормировки волновой функ-

ции.

3. Основные операторы квантовой механики. Физический смысл опера-

тора.

4. Уравнение Шредингера для функции ф = ~(~, г).

5. Стационарные состояния. Уравнение Шредингера для стационарных

состояний. Уровни энергии.

6. Уравнение Шредингера для свободной частицы .

7. Консервативная сила и потенциальная энергия. Потенциальный ба-

рьер и потенциальная яма.

8. Второй закон Ньютона и уравнение Шредингера для частицы, совер-

шающей прямолинейное движение под действием консервативной силы.

9. Второй закон Ньютона и уравнение Шредингера для гармоническо-

го осциллятора. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

гармонического осциллятора.

10. Спектр энергий гармонического осциллятора. Функция, описываю-

щая основное состояние гармонического осциллятора.

11. Коэффициенты прохождения и отражения.