Вопросы/задания: Экзаменационные вопросы

Распознанный текст из изображения:

Математический анализ

2 курс, 3 семестр, 8 факультет. 2005-12-08 .

Кратные интегралы.

1. Интеграл Римана на и — мерном промежутке.

2. Множество Лебеговой меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

3. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции.

4. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега

существования интеграла по измеримому множеству.

5. Общие свойства интеграла.

6. Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини и следствия из нее.

7. Замена переменных в кратном интеграле.

8. Геометрический смысл знака и модуля Якобиана отображения.

9. Приложения кратных интегралов.

Кривая в пространстве.

10. Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор-функции скалярного аргумента.

11. Параметрически заданная кривая. Касательная к кривой.

12. Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.

13. Естественный трехгранник кривой. Формулы Френе.

14. Определение, вычисление, геометрический смысл кривизны и кручения кривой

15. Вид кривой вблизи произвольной точки.

Поверхности и дифференциальные формы.

16. Поверхность в евклидовом пространстве. Примеры.

17. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности

18. Край поверхности. Согласованная ориентация поверхности и ее края.

19. Касательное пространство.

3

20. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в Я

21. Площадь поверхности в евклидовом пространстве.

з

22. Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности в А, длины кривых на поверхности.

23. Алгебра форм. Кососимметрические формы. Операция внешнего умножения.

24. Дифференциальные формы в областях евклидова пространства. Определения и примеры: дифференциал

функции, форма работы, форма потока.

25. Координатная запись дифференциальной формы.

26. Перенос дифференциальных форм при отображениях.

27. Внешний дифференциал формы.

Криволинейные и поверхностные интегралы.

28. Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности. Независимость интеграла от

выбора систем криволинейных координат. Примеры приложений.

29. Форма объема. Площадь поверхности.

30. Интегралы от дифференциальных форм 1 и 2 рода.

31. Общая формула Стокса.

32. Классические интегральные формулы Ньютона-Лейбница, Стокса, Остроградского-Гаусса.

Элементы векторного анализа.

33. Скалярные и векторные поля в областях евклидова пространства. Связь с дифференциальными формами.

34. Дифференциальные операторы векторного анализа.

35. Интегральные формулы в векторных обозначениях. Геометрическое определение йч, го1.

36. Потенциал векторного поля, необходимое условие потенциальности. Критерий потенциальности

векторного поля.

37. Соленоидальные поля, их свойства.

38. Теорема Пуанкаре. Точные и замкнутые формы.