Лекции по вычислительной математике

Оглавление
1 Введение
1.1
Введение в курс
1.2 Моделирование объектов исследования
1.3 Приближенный анализ
1.3.1 Источники погрешностей.
1.3.2 Абсолютная и относительная погрешности 1.3.3 Некоторые понятия функционального анализа
2 Интерполяция
2.1 Основные понятия теории приближений
2.2 Приближение в линейном пространстве 2.3 Аппроксимационная теорема Вейерштрасса 2.4 Интерполяционный многочлен Лагранжа
2.5 Оценка остаточного члена многочлена Лагранжа 2.6 Интерполяция Эрмита
2.7 Оптимальное распределение узлов интерполяции 2.7.1 Ортогональные функции
2.7.2 Многочлены Чебышева
2.7.3 Минимизация ошибки интерполяции Лагранжа
2.8 Локальная интерполяция
2.8.1 Интерполяция кубическими сплайнами
3 Численное дифференцирование и интегрирование 3.1 Численное дифференцирование
3.1.1
Метод дифференцирования многочлена Лагранжа
3.1.2 Метод разложения функции в ряд Тейлора
3.1.3
Вычислительная неустойчивость операции дифференцирования
3.2 Численное интегрирование
3.2.1 Формулы Ньютона-Котеса
3.2.2 Формулы трапеций и Симпсона
3.2.3 Формула средних
3.2.5
3.2.4 Степень точности численного интегрирования Составные формулы численного интегрирования
3.2.6
Вычислительная устойчивость операции интегрирования 3.2.7 Квадратуры Гаусса


3.2.8 Ортогональные полиномы и многочлены Лежандра
4 Наилучшее приближение
4.1 Метод наименьших квадратов
4.1.1 Линейная регрессия в одномерном пространстве
4.1.2 Линейная регрессия в общем случае
4.1.3
Нелинейная регрессия
51
57
58
58
59
61
4.1.4 Метод наименьших квадратов для приближения к непрерывной функции 63 4.2 Приближение тригонометрическими полиномами...
4.2.1 Дискретное приближение тригонометрическими полиномами
4.2.2 Дискретное преобразование Фурье
4.2.3 Быстрое преобразование Фурье
5 Численные методы линейной алгебры
5.1 Прямые методы
5.1.1 Метод Гаусса (метод последовательного исключения) 5.1.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента
5.1.3 LU-разложение.
5.1.4 Матрицы с диагональным преобладанием
5.1.5
Положительно определенные матрицы
5.1.6 Ленточные матрицы
5.2 Итерационные методы
5.2.1 Нормы векторов и матриц
5.2.2
Собственные числа и вектора
5.2.3 Сходящиеся матрицы.
5.2.4 Методы простой итерации
64
66
69
71
74
74
74
77
77
79
80
84
87
87
89
91
92
95
96
97
99
102
106
108
109
111
117
6.4 Метод градиентного спуска
120
7 Численное решение задачи Коши для систем ОДУ
122
7.1 Метод Эйлера
124
7.1.1 Методы решения задачи Коши, основанные на разложении в ряд Тейлора 128
7.2 Методы Рунге-Кутты.
129
7.3 Многошаговые методы
134
5.2.5 Метод Якоби
5.2.6 Метод Гаусса-Зейделя
5.2.7 Методы релаксации
5.2.8 Обусловленность матриц 5.2.9 Метод сопряженных градиентов 5.2.10 Предобуславливание матриц
6 Численные методы нелинейной алгебры
6.1 Метод простой итерации
6.2 Метод Ньютона
6.3 Квазиньютоновские методы


7.4 Методы, построенные по схеме предиктор-корректор 7.4.1 Метод Хойна
7.4.2 Метод Адамса-Башфорта Моултона
7.4.3 Метод Милна Симпсона
7.5 Устойчивость численных схем