Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Уравнения математической физики (УМФ)Дз 1,вариант 6Дз 1,вариант 6 2020-10-18СтудИзба

ДЗ: Дз 1,вариант 6

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики домашнего задания

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
552
Скачиваний
76
Размер
5,77 Kb

Список файлов

zub_dz_1_2

# Файл: "...Ps_МГТУ\УрМатФиз\ПриведКканВиду\п2_П ривУрПарТипа.mws"

# 02.10.14. Титов К.В. Вариант 30 из Д.З.

# Исх файл: "...Изд-во\Книга_1_ПоСКМ\КнигаПоСКМ_ИсхТ екст+Прогр\Гл7\Пар1\

# п2_ПривУрПарТипа.mws"

# 2. Решение уравнения с частными производными параболического типа.

> restart;

# *) Рассмотрим пример с интерактивным выбором параметров уравнения и новых пере-

# менных. Пусть заданы следующие коэффициенты уравнения:

> a[1, 1] := 1; a[1, 2] := -x; a[2, 2] := x^2;

1

-x

2

x

;

> F:=-diff(u(x,y),x)+(x-1)*diff(u(x,y),y);

/ d \ / d \

-|--- u(x, y)| + (x - 1) |--- u(x, y)|

\ dx / \ dy /

;

# Примечание. Здесь везде *) - означает задание исходных данных пользователем или

# передачу в последующий алгоритм предыдущего выражения.

# Запишем само линейное дифференциальное уравнение с частными производными

> de:=a[1,1]*diff(u(x,y), x$2)+2*a[1,2]*diff(diff(u(x,y),x),y)+a[2 ,2]*diff(u(x,y), y$2)+F=0;

/ d / d \\ / d / d \\

|--- |--- u(x, y)|| - 2 x |--- |--- u(x, y)||

\ dx \ dx // \ dy \ dx //

2 / d / d \\ / d \

+ x |--- |--- u(x, y)|| - |--- u(x, y)|

\ dy \ dy // \ dx /

/ d \

+ (x - 1) |--- u(x, y)| = 0

\ dy /

;

# *) Введем обозначения, указывая на то, относительно какой переменной заданы началь-

# ные условия (выберите обозначение х0 или у0 - это важно для дальнейшего построения

# алгоритма!)

> x0:=0: p:=x0: u0:=y: du0:=y^2:

# и зададим начальные условия:

> if p=x0 then yx0:=u(x0,y)=u0,D[1](u)(x0,y)=du0:

> else yx0:=u(x,y0)=u0,D[2](u)(x,y0)=du0 fi:

> yx0;

2

u(0, y) = y, D[1](u)(0, y) = y

;

# *) Здесь оператор D имеет следующую семантику (обозначению х0 или у0

# соответствует номер переменной в операторе D[№]

> D[1](u)(x0,y)=y: convert(%,diff);

/ d \

eval|---- u(t1, y), {t1 = 0}| = y

\ dt1 /

;

# Вычислим критерий, по которому определим тип дифференциального уравнения, указав

# на ограничения переменных (здесь это не обязательно делать)

> `assume(x>0,y>0);`:

> di:=simplify(eval(a[1,2]^2-a[1,1]*a[2,2] )); evalb(di=0); zn:=signum(di);

0

true

0

;

# Функция signum(di) имеет три значения:

#

# Введём ещё один параметр dii

> dii:=factor(di); qdii:=sqrt(dii);

0

0

;

# В соответствии с вычисленным критерием di проведем выбор типа уравнения с помощью

# логического блока, используя zn

> if zn>0 then tip:=`гиперболический`

> else if zn=0 then tip:=`параболический`

> else tip:=`эллиптический` fi:fi:

# и дадим его визуализацию на дисплее

> tip; # Ответ:

параболический

;

# Составляем характеристическое уравнение, считая одну из переменных x или y функцией

# другой: и выбираем то из них, которое проще.

>

;

# *) Поэтому будем считать x функцией от y, то есть x(y). Для этого проведем замену x на

# x(y) в коэффициентах a[1,2], a[1,1] (здесь этого делать не надо, так как в a[1,2],

# a[1,1] x не входит)

# Примечание. Если считать y функцией от x, то есть y(x), тогда

> A[1,2]:=subs(y=y(x),a[1,2]);A[1,1]:=subs (y=y(x),a[1,1]);A[2,2]:=subs(y=y(x),a[2, 2]);

-x

1

2

x

# Такая замена необходима для правильной работы Maple при решении характеристичес-

# кого уравнения. С учетом проведенной замены запишем характеристическое уравнение,

# распадающееся на два, для каждого из которых получим его решение

> y1:=diff(y(x),x)=(A[1,2]+sqrt(A[1,2]^2-A [1,1]*A[2,2]))/A[1,1];

d

--- y(x) = -x

dx

;

> y2:=diff(y(x),x)=(A[1,2]-sqrt(A[1,2]^2-A [1,1]*A[2,2]))/A[1,1]:

# Найдем решение для ух1

> dsolve(y1);

1 2

y(x) = - - x + _C1

2

;

>

;

# Если тип уравнения параболический, то ух1=ух2 и рассматривать надо одно из них.

# Из полученных решений надо оставить одно - действительное решение, записав его как

# общий интеграл.

# Находим решение составленного таким образом характеристического уравнения:

> dsolve(y1);

1 2

y(x) = - - x + _C1

2

;

# Итак, записываем одну из новых переменных, снова возвращаясь к х и у

> xi:=(x,y)->-x^2/2-y;

1 2

(x, y) -> - - x - y

2

;

# Для параболического типа уравнения, вторую из новых переменных выбирают произ-

# вольно, но так, чтобы она была линейно независима с первой и пребразование точек

# плоскости (х0у) в точки плоскости (xi0eta) оставалось взаимно однозначным. (По этой

# причине нельзя eta выбрать как константу, но можно приравняь eta=x).

# Пусть таковой будет

> eta:=(x,y)->x;

(x, y) -> x

;

# *) Зависимости xi(x,y) и eta(x,y) должны допускать взаимно однозначное преобразование

# одних переменных в другие, то есть x(xi,eta) y(xi,eta). Поэтому в общем случае последние

# зависимости следует найти из системы двух уравнений:

> solve({xi=-x^2/2-y,eta=x},{x,y});

/ 1 2 \

{ x = eta, y = - - eta - xi }

\ 2 /

;

# Примечание. Здесь везде *) - означает передачу в алгоритм предыдущего выражения.

> allvalues(%); # опция используется в случае возникновения RootOf(expr).

/ 1 2 \

{ x = eta, y = - - eta - xi }

\ 2 /

;

# *) Из всех полученных значений, как при eta(x,y)=x, когда появляется функция RootOf(expr)

# {x = eta, y = RootOf(_Z^3-3*eta-3*xi, label = _L2)};, в силу вышесказанного выберем дейст-

# вительную пару и запишем её с именами xp и yp.

> yp:=-xi-1/2*eta^2; xp:=eta;

1 2

- - eta - xi

2

eta

;

# При необходимости произведем их подстановку при переходе к новым переменным.

# Напомним, что переход к новым переменным должен привести к уравнению

> de1 := a1[1, 1]*(diff(u(eta, xi), xi, xi))+2*a1[1, 2]*(diff(u(eta, xi), eta, xi))+a1[2, 2]*(diff(u(eta, xi), eta, eta))+F1 = 0;

/ d / d \\

a1[1, 1] |---- |---- u(eta, xi)||

\ dxi \ dxi //

Комментарии

Спасибо, очень выручил!
Поделитесь ссылкой:
Бесплатно
Рейтинг5,00
0
0
0
0
1
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5224
Авторов
на СтудИзбе
428
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее