Для студентов НИУ «МЭИ» по предмету Уравнения математической физики (УМФ)Теория к экзаменуТеория к экзамену
2023-01-212023-01-21СтудИзба
Ответы к экзамену: Теория к экзамену
Описание
Теория к экзамену
- Сформулируйте леммы о поведении решенеий уравнения в особых точках.
- Напишите уравнение Бесселя и его ФСР.
- Дайте определение цилиндрических функций. Приведите примеры цилиндрических функций
- Назовите особые точки функций, которые являются ре шениями уравнения Бесселя.
- Дайте определение функций Бесселя через обобщенный степенной ряд.
- Напишите формулу, связывающую функции Бесселя порядков n и –n.
- Напишите формулы для функций Бесселя порядков ½ и - ½. Всегда ли функции Бесселя полуцелого порядка можно выразить через элементарные функции?
- Напишите интегральное представление функции Бесселя.
- Дайте определение функции Ханкеля.
- Напишите формулы, связывающие функции Ханкеля положительного и отрицательного индексов.
- Напишите формулы, связывающие функции Бесселя и Ханкеля.
- Дайте определение функции Неймана.
- Напишите формулу, связывающую функции Неймана, Бесселя и Ханкеля.
- Напишите асимптотические формулы при больших значениях аргумента для функций Ханкеля 1 и 2 рода.
- Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции Бесселя.
- Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции Неймана.
- Опишите поведение функций Бесселя, Неймана и Ханкеля в окрестности нуля.
- Поставьте задачу на собственные значения для оператора Бесселя.
- Сформулируйте теорему Стеклова в случае задачи на собственные значения для оператора Бесселя.
- Поставьте задачу на собственные значения для круга в случае граничных условий 1-го рода.
- Поставьте задачу на собственные значения для круга в случае граничных условий 2-го рода.
- Напишите собственные функции круга.
- Напишите характеристическое уравнение для определения собственных значений для круга в случае граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода.
- . Напишите формулу для квадрата нормы собственной функции задачи на собственные значения для уравнения Бесселя в случае граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода.
- Напишите уравнения для цилиндрических функций чисто мнимого аргумента.
- Дайте определение функции Инфельда.
- Напишите формулу, связывающую функции Инфельда порядков n и –n.
- Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции Инфельда.
- Дайте определение функции Макдональда.
- Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции Макдональда.
- Дайте определение классических ортогональных полиномов.
- Сформулируйте теорему о нулях классических ортогональных полиномов.
- Являются ли производные классических ортогональных полиномов классическими ортогональными полиномами? Если да, то с каким весом они ортогональны?
- Напишите уравнение для классических ортогональных полиномов.
- Поставьте задачу на собственные значения для классических ортогональных полиномов на отрезке с условиями в особых точках.
- Напишите формулу для собственных значений задачи Штурма-Лиувилля для классических ортогональных полиномов.
- Напишите общую формулу Родрига.
- Напишите определение полиномов Якоби.
- Напишите формулу Родрига для полиномов Якоби.
- Дайте определение полиномов Лежандра.
- Поставьте задачу на собственные значения для полиномов Лежандра.
- Напишите формулу для собственных значений полиномов Лежандра.
- Напишите выражение квадрата нормы для полиномов Лежандра.
- Дайте определение полиномов Лагерра.
- Дайте определение полиномов Эрмита.
- Дайте определение производящей функции классических ортогональных полиномов.
- Напишите определение производящей функции полиномов Лежандра.
- Является ли система полиномов Лежандра замкнутой и полной? Сформулируйте соответствующие утверждения.
- Сформулируйте теорему Стеклова для полиномов Лежандра.
- Дайте определение присоединенных функций Лежандра.
- Поставьте задачу на собственные значения для присоединенных функций Лежандра.
- Напишите собственные значения для присоединенных функций Лежандра.
- Напишите выражение квадрата нормы для присоединенных функций Лежандра.
- Является ли система присоединенных функций Лежандра замкнутой и полной? Сформулируйте соответствующие утверждения.
- Сформулируйте теорему Стеклова для присоединенных функций Лежандра.
- Дайте определение сферических функций.
- Поставьте задачу на собственные значения для сферических функций.
- Является ли система сферических функций замкнутой и полной? Сформулируйте соответствующие утверждения.
- Напишите условие ортогональности для сферических функций.
- Напишите выражение квадрата нормы для сферических функций.
- Сформулируйте теорему Стеклова для сферических функций.
- Дайте определение шаровых функций.
- Являются ли шаровые функции собственными функциями соответствующей задачи на собственные значения? Ответ обоснуйте.
- Поставьте задачу на собственные значения для шара в случае граничных условий Дирихле.
- Поставьте задачу на собственные значения для шара в случае граничных условий Неймана.
- Напишите собственные функции шара.
- Что такое характеристики уравнения в частных производных второго порядка в случае двух переменных?
- Дайте определения уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типа в случае двух переменных.
- Напишите каноническую форму уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов в случае двух переменных.
- Дайте определение корректно поставленной задачи по Адамару.
- Приведите пример постановки задачи для уравнения колебаний.
- Дайте определение классического решения начальнокраевой задачи для уравнения колебаний.
- Приведите пример постановки начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
- Дайте определение классического решения начальнокраевой задачи для уравнения теплопроводности.
- Изложите общую схему метода разделения переменных (метода Фурье).
- К решению каких задач можно свести решение общей начально-краевой задачи в линейном случае?
- Поставьте задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле на границе S области D и перечислите основные свойства собственных функций и собственных значений этой задачи.
- Изложите применение метода Фурье в случае неоднородных граничных условий.
- Напишите первую формулу Грина. Каковы условия ее применимости?
- Напишите вторую формулу Грина. Каковы условия ее применимости?
- Напишите третью формулу Грина.
- Приведите пример постановки краевой задачи для уравнения Лапласа.
- . Дайте определение гармонических функций. Приведите примеры.
- Сформулируйте теорему Гаусса для гармонических функций.
- Сформулируйте теорему о среднем для гармонических функций.
- Является ли гармоническая функция бесконечно дифференцируемой? Обоснуйте ответ.
- Сформулируйте принцип максимума для гармонических функций.
- Сформулируйте принцип сравнения для гармонических функций.
- Сформулируйте теорему единственности решения внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в случае граничных условий Дирихле. Каким методом она доказывается?
- Сформулируйте теорему единственности решения внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в случае граничных условий третьего рода. Каким методом она доказывается?
- Имеет ли место единственность решения внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в случае граничных условий второго рода? Обоснуйте ответ.
- Дайте определение регулярной на бесконечности функции в случае трех переменных.
- Дайте определение регулярной на бесконечности функции в случае двух переменных.
- Сформулируйте теорему единственности решения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в трехмерном случае.
- Сформулируйте теорему единственности решения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в двумерном случае. Каким методом она доказывается?
- Имеет ли место единственность решения внешней краевой задачи с граничными условиями Неймана для уравнения Лапласа в двумерном случае?
- Имеет ли место единственность решения внешней краевой задачи с граничными условиями Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае?
- Дайте определение функции Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в трехмерном случае.
- Дайте определение функции Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в двумерном случае.
- Дайте определение функции Грина внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае
- Дайте определение объемного потенциала. Перечислите его основные свойства
- Сформулируйте теорему о равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- Дайте определение поверхностного потенциала простого слоя.
- Дайте определение поверхностного потенциала двойного слоя.
- Дайте определение логарифмического потенциала простого слоя.
- Дайте определение логарифмического потенциала двойного слоя.
- Дайте определение поверхности Ляпунова.
- Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности потенциала простого слоя.
- Сформулируйте теорему о существовании потенциала двойного слоя.
- Претерпевает ли разрыв при переходе через несущую поверхность потенциал простого слоя? Обоснуйте ответ.
- Чему равно значение потенциала двойного слоя с постоянной плотностью внутри, на и вне несущей поверхности?
- Напишите формулу скачка потенциала двойного слоя при переходе через несущую поверхность.
- Напишите два союзных интегральных уравнения Фредгольма, к которым сводятся внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа.
- Напишите два союзных интегральных уравнения Фредгольма, к которым сводятся внутренняя задача Неймана и внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.
- Сформулируйте теорему существования решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
- Сформулируйте теорему существования решения внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае.
- Сформулируйте теорему существования решения внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа.
- Сформулируйте теорему существования решения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
- Напишите необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа.
- Что такое потенциал Робена? Каков его физический смысл?
- Напишите фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в двумерном случае.
- Напишите фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в трехмерном случае.
- Дайте определение объемного потенциала для уравнения Гельмгольца.
- Дайте определение потенциала простого слоя для уравнения Гельмгольца.
- Дайте определение потенциала двойного слоя для уравнения Гельмгольца.
- В каком случае выполняется принцип максимума для уравнения Гельмгольца?
- В каком случае имеет место единственность решения внутренних краевых задач для уравнения Гельмгольца? Приведите формулировки соответствующих теорем.
- Сформулируйте общую начально-краевую задачу для уравнения параболического типа.
- . Дайте определение классического решения начальнокраевой задачи для уравнения параболического типа.
- Сформулируйте принцип максимума для уравнения параболического типа.
- Сформулируйте принцип сравнения для уравнения параболического типа.
- Сформулируйте теорему единственности решения внутренней начально-краевой задачи Дирихле для уравнения параболического типа.
- Сформулируйте теорему устойчивости решения внутренней начально-краевой задачи Дирихле для уравнения параболического типа.
- Сформулируйте теорему существования классического решения начально-краевой задачи Дирихле для однородного уравнения теплопроводности на отрезке.
- Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности на отрезке в случае граничных условий Дирихле.
- Поставьте начальную задачу для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
- Сформулируйте теорему единственности решения начальной задачи для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Каким методом она доказывается?
- Сформулируйте теорему существования классического решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
- Напишите фундаментальное решение уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
- Перечислите основные свойства фундаментального решения уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
- Каков физический смысл фундаментального решения для уравнения теплопроводности для бесконечной прямой?
- Что такое "парадокс бесконечной теплопроводности"? Чем его можно объяснить?
- Поставьте начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой.
- В чем заключается "метод продолжения" для построения решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой для задач Дирихле и Неймана?
- Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае граничных условий Дирихле.
- Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае граничных условий Неймана.
- Напишите общий вид решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородных граничных условий.
- Поставьте начальную задачу для уравнения теплопроводности в пространстве.
- Сформулируйте теорему единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве.
- Сформулируйте теорему существования классического решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве.
- Напишите общий вид решения однородного уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой при однородном начальном и неоднородном граничном условии Дирихле.
- Сформулируйте принцип Дюамеля.
Характеристики ответов (шпаргалок) к экзамену
Учебное заведение
Семестр
Программы
Просмотров
9
Качество
Идеальное компьютерное
Размер
732,16 Kb
Список файлов
Теория к экзамену.pdf

Вам все понравилось? Получите кэшбэк - 40 рублей на Ваш счёт при покупке. Поставьте оценку и напишите положительный комментарий к купленному файлу. После Вы получите деньги на ваш счет.