Лекции: Лекции 2

Распознанный текст из изображения:

КяФедра "Прикладная математика"

Курс лекций по теории вероятностей, математической

етекисзчиа ~ 'щчкйннм ф1кнкпяуеу

Лекция и 1

Вве ение П ~е нп зе о тей.

Объектом исследования теории вероятностей ТВ яыявтсн такие явлеыыя кли опыты. исход которых. ка зпсзна лназнаачо определяется условиями опыта. При этом предполагается, что сам опыт ( эксперимент) моиет быть повторен ~хотя бы в принципе) большое число раз при неиэменыом комплексе условий, а исходы опыта обладают статистической устойчивостьш.

Приведем примеры таких экспериментов.

ыПо с мо е

Возмоинюа~ исходами в этом бныте будут: выпадение монеты гсубои-звеуп~;.яи росы" вцииввив. гвр~'.~', выпадение пикары. В результате проведения опыта возникает лишь один исход, однако до проведения опыта установить, какс2 произойдет исход, нельзя.

2 С а и и по кпиенк

Введем в плоскости мишени прямоугольнув систему координат ХОУ, в которой начало координат (точка О) является точкой прицеливания. Возмоинжи исходами в этом опыте будут координаты точки попадания снаряда (х,у ~. Как и в предыдущем случае до проведения опыта однозначно установить координаты точки невозмоино.

з и'гса в к

шарик бросается на врашашшееся колесо рулетки, Всход игры определяется полонением шарика в момент останова рулетки.

4 - Ра ота". синей. стан н

Предполоиим, что наблшдается работа теле$онной станции и нао интересует число вызовов. поступивших за врешч

Очевидно, что интереоушщая нас величина -до проведения-зкс ернмента однозначно определена быть не покет.

Отметим еше раз, что ТВ имеет дело не с лгбь-.кк с.-.," айны~.к эксцеркментами, а лиль с теми, которые обладают вскзтз,п:.

статистической устойчивости.

Распознанный текст из изображения:

Свойство статус ической стойчкэости опыта опискине.ся следующим образом. Обозначим через А один иэ возможных исходов опыта к обозначим через И д число наступлений сабытия А в И. опытах. Тогда отношение И-А /М называется частотой события А, а свойство устойчизостн частот заключается в том, что при большом И. частота события А слегка колеблется (при изменении И.) около некоторого числа. Аналогично, воли сделать несколько серий экспериментов и обозначить через И.; число экспериментов в С -й серик, а через и ~~ число наступлений события А в ь -й серии, то величины Й.„' ц.;, будут близки между собой, лишь бы только числа и.; были исе достаточно велики. Приведенное описание свойства устойчивости частот обладает серьезным ыедостатком, а именно: в настоящее время нет универсальных и эффективных методов проверки наличия этого свойства. Поэтому вопрос о применимости вероятностных методов в каждом отдельном случае решается на интуитивном уровне. Конечно, при этом необходимо применение доступных методов проверки статкстической устойчивости, однако наличие ее редко можно вполне гарантировать.

Исторически ТВ воэникха как теория азартыых игр ( рулетка, карты ) в конце ХУ11 века. Начало ее развития связано с именами Д. Бернулли, Б. Паскахя, Лапласа, Муавра.

В конце Х1Х века ТВ интенсивно развквается в трудах русских математкков — Чебышева П Л., Ляпунова А й , марв кона А.А.

В настоящее время ТВ является фундаментом и методологией самых разлкчных разделов науки и техники — начиная от физики и математики, теорки надежности и других технических дисцицхин и кончая биологией( законы наследственности Мен— деля), химией, медициной к даже лингвистккой.

Отсюда становится понятной важность данного курса в общей системе знаний современного инженера.

В заключение отметим следующую особенность задач и примеров из ТВ: одна к та ке вероятностная модель расчета может имать совершенно различное "словесное воплощение". Отсюда — такое обилие в курсе ТВ примеров, йбсящих отвле"енный характер (опыты с извлечением шаров из урны, карт

из кололн и т и ).. хозя..почти-каждому--.пиону-прнынру можно при желании дать соответствующую техническую интерпретацию. Лля подтверждения приведем следуюшив примеры таких "парных интерпретаций".

1. В урне А/ шаров, нз которых й белого цвета ( остальные черные) . Наугад извлекают д. шаров ~без воэвращепиы извлеченных ) . Какова вероятность ° что из них будет гъ~ белых?

1а. 3 кзготовленной партии-кз В- дателей-есть ы дефектных (Ъ , разумеется, неизвестно) . Лля контроля дслп дефектных деталей Ц = 'й |у( из партии наугад-выбирпют деталей (~ъ много меньше А~) и подсчитывают число с) дефектных в этой выборке. Какова вероятность того, что ~ ~/ '- 2. Вероятность выигрыша по 1-му билету лотереи р=-О,О1. Сколько билетов о. нужно купить, чтобы вероятность внигрнип хотя бы 1 раэ была не менее Р =О 9?

тр

2а. Техническая система состоят из ~м резервкровоыпыл элементов (т.е. соединенных так, что система отказывает, если отказывают все ип элементов ), каждыМ имеет надежность ро=О,9. Чему должно быть равно ил , чтобы надежность системы была не менее Р =О,999. ?

Р ел 1 Сл рые события

Основны тия о ни я костей

В математической теории вероятностей проблема статистической устойчивости оставляется и стороне и рассматривается математическая модель, в которой отражены все воэыожныа исходы опыта ~эксперимента) и считаются известными связанные с этим экспериментом вероятности.

Введем понятие пространства элементарных событий.

По и ос анством элемен а ных событий ( ПЭС ) будем и=- нимать совокупность всех взакмоксключаюпых простейших исходов опыта.

В дахьнейшем ПВС обозначается ~с~ его эчеменгы

Распознанный текст из изображения:

бУКВаМИ С~~, С Эь ...., тОт фахт, ЧтО ЭЛЕМЕНТ С3. ВХО- дит в мнокество 4, записывается в виде с ~. ~ ~,~, а тот фохт..что мноиество Я состоит из элементов сакэ . Ы,,... и только иэ них записывается в виде Я = ~с|<.с )~ ,

Я = ~~~~~< ~ - ~~» ° ".

Уточняя данное выше определение, мокко сказать, что мноквство исходов опыта образует пространство элементарных событий, если:

1. В результате опыта один из исходов обязательно

происходит;

2. йоявление одного вз ксходов опыта исключает появление остальных:

В виду большого разнообразии случайных явиений нельзя дать аолее конкретное определение мнсиеотва элементарных событий. для описания наядой реальной задачи мноиество ~2 выбирается наиболее подходящим образом. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих в бор миоиества Я

1 П сын о

При математическом- описании этого епыта естественно отвлечься от ряда несущественных исходов 1 например, монета встанет-на"ребро~ - и-ограничится-тальке"двумяч выпадение- герба(мокко обозначить зто событие Г, И~ нли с„Э,,), выпадение цифры (ц, ( )А вли с ~.А). таким образом, при

описании этого опыта мм полагаем

Я = ~ Г, 9 ~, Я ~<'~, <'

ап ~ ° (Я с)~р~

2

В этом случае мнамаатвам Я является вся плоскость или мнокество всех упорддочениыи иар действителыии' чисал.

Этот факт мы запишем следующим образом:

а =~<~,~>~ -<~<-,--<~<-~,

где х,у - действительные числа.

Э Нг в лвтк

Совместим плоскость колеса с + паеоаеотьк- Х9У. так-, что" качалокоординат совпадает с центром Ч

колеса. Введем на плоскости ХОУ О ~(Рг полярную систему координат.так что полярная ось совпадает с осью ОХ, а полюс-с началом прямоугольной систвыы координат. Назовем полярнвг радиусом точки И ее расстояние '~- ОМ от полюса и полярныы углом точки М угол ф мазду полярной осью и направленным отрезком ОМ. Тогда исход игры однозначно определяется энвч и<вы угла <р а пространство элементарных событий Я запнется следующим образом:

~ . ~ч~о < у<~х~ 4 Р т т ой т Ясно, что интересухщая нас величиыа - число вызовов— будет всегда конечно. Однако априорно установить верхнюю гранипу числа вызовов довольна затруднительно Проще.-не-. ограничивать воэмолное число вызовов и считать возмокными исходами О и всв натуральные числа. В этом случае ПЭС эадаееся-" чедувщ~м-образом+

Д = ~0,1,2,...~, Построив пространство элементарных событий, мокко отвлечься от самого эксперимента и рассматривать далее математическую модель.

2 С айн о ыт и ейс

Опйвпелйние А

Случайным событием или ппосто событием будем называть

любое подмнокество мнокества Ь~~, если Я конечно или

счетно,

В дальнейшем утверидение "А есть подмнокество 1с " за-

писывается в виде А <. Д . В том случае, когда А ~ Я ,

но А~Я, пишут Ас Я.

~~ юв2 Однократное бросание игральной кости. В эклем

Распознанный текст из изображения:

опыте естественно выбрать

О . ~.~, .Д, ..1, .1, 1., ~.1,

ч т з

где Ык обозначен исход опыта, заключающийся в выпадения й очков. Рассмотрим следующие события: А - выпадение четного числа очков; В - выпадение нечетного числа очков; С вЂ” выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, А = ~с )~, 4)ч М~~ '

~ Се.~, ~.)~- ~Л1 ' Р - Ь,1.. РД

я ) р ! ! Л >

Будем говорять, что событие А произо)кло, если проязоиио какое-либо яз элементарных событий с,) ~. А.

В с)ьучав произвольносо- О собызиямя-будем †называ" только подмнояества кз некоторого класса подмнокеств нс' который будет определен после введения операций над событяямя. совпадающими с опврвпяямя над мыокэсзнэмя„

протявополокнми ~ яля дополнительным 1. собыхяю А Событие-А- означает, что А нв произошло. Ясно, что А+А= Я , А А=9.

Ддя язучення рассмотренных операций удобно пользоваться гра)рячвской моделью, и которой мнокестна изобракаются н ниде )ймгур на плоскости. Такие модели получяля название диаграмм Вена-Эйлерао На рис. 1а, 10, 1в, изобракены сумрра, произведение, разяость двух ынолеотв Л я В. а на ряс 1г..яэобра— ° азо мноявство а )с~юва~с~яалнь~ мно~ ст завтра» анн) .

Явь~~азы 2

Разность па!в б~т Н а-В ямал тся опармм*н, ~нс~яяИ

ьь)Г Чврвэ Сщ))ЙГ я дППОЛНВзяая - "' - Кя А-3 ть В

Опе ч)и н событиям

собир~я н~2

Суммой двух событий А я В назовем событие А+В ! яля Л ыВ), состоящее яз всех элементарных событий, прянадлекашях, по крайней мере одному яз событий А иля В. Событие А+В происходит

р

тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно из событий А иля В.

ОЮаяала~» 2

Произведением АВ ( или А21В Р' называется-событие-; состс=- ящее яз элементарных событий, прянадлекаших и А я В. Событие АВ происходят тогда я только тогда, когда происходят к А и В.

Я ачанв !

яом, чт оправ орван Рпрспзвспанма) врвнооятоя на любое число слагаемых ( сомнокитвлей ) .

опознавав а 4

Разностью А-В,1А~В ) назывэется событие, состоящее яз элементов мнокества А, не принапле. ш)их В. Событие Л-В состоят в том, что А произошло, а В не произошло.

~~~с~лап а 6

Событие Я назоваы достоверным; пустое мнокество 9 назовем неэозмокным событием. Событие А = Я - А называется

гяс. 1 Гра4мческэя модель операций над ынокестввмя.

Опойпеленяу 6

Будем говорить, что события Л я В несовместны, воля

) )В'4.

Понятна произведения я суммы событий переносятся я на

есконечныв последоватвльностя событий. Событие

А, ° 4, ° ... Л„+... -уд

Кп) , остоят яэ элементарных событий, прянадлвяащих хотя бы одому яз событий Л 22, р~ = 1, 2 °

Собы*яв

Л А 2Я Л1 Л2 ... Лаа).

))=л

)стоят яз элементарных событий, прянадлекаамх какдому событию

!.'

'22.=1, 2, ° ..

н шен м с бы ия

пбреявяянпа 7

Будем говврить, что событие Л влечет за собой событие В,

Распознанный текст из изображения:

если всякий раз, когда происходит событие А каступаеэ-исобытке В . об зачать "о обстоятельство символом С'

'А С В,

иля символом Э

вв .~ р

Ьиррововви-г:

Будем говорить, что событяя А к В равносильны

А влечет за собой событие В и В влечет за собой б А,

с о событие А

и обозначать это обстоятельство символом

А = В.

Рассмотрим теперь войства опе й и соб

1. А + В В + А; А В В ' Л - коьмутативность

суммы и проязведения.

А+В+ С - А+(ВС) -(А В) С А (ВС)

тквность с„иа~ы к проиэведенкя.

Э. (А+В) С ти АС + ВС - дястркоутквиость относительно

операции слокения.

4. АВ + С ~(А~Я..Яс*С) — дкетрибутквность относительно

операции раюкеикя (новор' свойство, нв выполвппцееся для

чисел) .

5, Если Л с В, то А э В,

6. А А.

7. А + А А, А ' Л ти Л.

В. АрВ = А . В; АВ = А + В - эеконы Ле Моргана относительно онерецик слокения,

ЛИЩрИ 2

3 Ве оятность сл айного события

Говоря о случайных событиях, мы с различным уровнем доверия

относимся к возмокности их наступления. Так, с большей увереннос-

тью мы мокем утверкдать, что при одном бросании монеты выпадет

"герб", чем при одном бросании игрального кубика — 6 очков. Го-

ворят, что первое событие более вероятно, чем второе.

Что ке такое вероятность случайного события и как ее изме-

рять? Мокко дать такое оппеделениее: вероятность случайного собы-

тия — это численная мера объективной возмокности его появления

(наступления).

Если А - случайное событие, то его вероятность обозначают

Р(А) или Рл . При таком определении мокно лишь определить веро-

ятность достоверного события Я и невозмояного Ф , приняв, на-

пример, Р (~1 1 (хотя мрвпю было бы взять другую единицу из-

мвовния), а РЛв). О - йм. повальных собызий- А.~- ~-

мокно лишь сказать тогда, что 0 с РИ ) с 4 , что явно не-

достаточно.

Нукно, следовательно, дать конструктивное определение вероят-

ности, т,е. таков, которое позволяло бы оппеделять вероятности

любых событий. Таких определений существует несколько в зависи-

мости от принятой модели случайного эксперимента и наличия апри-

орной информации. Приведем их ( в хронологическом порядке их по-

явления),

1. Нлассическое о еленке. Это определение исходит их того,

что ПЭС Я содермит конечное число Н элементарных событий

(тоти~), врич» вои оии ~~~во»вщв . И»вити рвю~ю~~ ти

не определяется и мокет быть лишь пояснено так События..рр даынаы

опыте называются равновозмокными, если по условиям симметрии и

однородности условий проведения опыта мокно считать, что ни одно

иэ них не является обьективно более возмокным, чеы другое. '

Пусть Ф вЂ” общее число равновозыокных элементарных собы-

тий иэ Л- , а А'р — число тех зиеыентарных событий из Л ,

которые образуют событие А (говорят "благоприятствуют" появление

А). Тогда по .определению вероятностью события А называется число

Распознанный текст из изображения:

11

дов) р ( дд) - 1.

н" о татям классическо о о

еления

РИ) - л.рь

(2)

Говорят еще так: вероятность Р(А) события А равна отношению исходов, благоприятствующих А, ко всем равновоэмокным исходам. Ш вр1. Опыт веет~в в в~~~нанна неутад ~днюе евра ев урне, содеркацей а 10 и В 20 черных шаров (отличзлщихся лишь цветом). А — иэвлечение белого мара. Найти. Р(А). Решение. Ноно, что число исходов в данном опыте рт а д'з ЗО причем все они равновозмакны, а число благоприятствухк(их А исходов И» " ду. дду . Тогда Р(А) ~~1~4 ~~(4.Р. в) ~Й

дрдн дд. дв урна е тне не ееетон нарев нева*вант нватед д шара (один эа другим, не возвращая первый). Какова вероятность' того, что оба извлеченных шара окзмутся белыми? Решение. Обозначим интересушцее нас событие (оба извлеченные зим ра - белые) через А. Используя яонятмя комбинаторики, находим, что Ф Сдр, А — ЧиСЦУ сочетаний иэ общего количества шаров

» =и—

и.— о- по-с, а ру» с.-„. р прмчвш ясно, что всв воэмокные исходы опыта равновозмамны. По той кв формуле

»,.уу у)

рта) ™"''тн е те а уа, уГГтта —,à — тр

Поимку 3 .(Игра в "спортлото"). Участник лотереи из 49 наименове ний видов спорта называет б. Выигрни определяется твм, сколько наименований он отгадает из шести "загаданных", которые определяются с помощью специального механического устройства (барабана), пезлизухщзво с.~щ~чвйныц выбор„иакова вероякиосез.-=аксюЯльнзвс" выигрыпа (угадывания всех шести наименований)?

Решение. Пусть интересупцее нас событие А. Очевидно, что у(у„- ~, а й С'„у ° т РГЛ) 1/Сд и 7 й ° ~Р

Свойства ятности Р А).

1. Для любого события А а Я.

0 и Г(Л)

Свойство очевидно, т.к. дробь Мйр

цательной.

2. Для достоверного события .~ (которое содеркит все И ,исхо-

3. Если события А и В несовместны, т.е. АВ И , то Р(А+В) ~ Р(А) + Р(В).

Действительно, еслм событию А благоприятствует Ф» , событию о — Фе исходов, то в силу несовместности А и В, событию А + В благоприятствуют Лр» + чь исходов. Следовательно,

Р(Л+дд) М~ Э~В е» Ь ~~'а у»УЛ) + у»Сдв)

Ф ЛР И

Зтм три свойства являются основными ( из них, как следствия,

мозно подучить ДРУгие полезные свойства (подробнее они будут

рассмотрены нике):

4..Р(А) 1 - Р(А), б) Р(9) » О, б) Р(А) С Р(В), если

В с А и др.

1. Оно годится лишь для !ИС Л с конечным набором-эле-- ментов.

2. Проверка равновоэмрмности исходов опыта бывает затруднительна.

2. Статйстическое о еление. В основе определения лекит понятие частоты событиЯ А, т.е. доли 'Ьдд ~» /л тех и посту ледоватвльных независюаас повторений опыэь,- в-кетзрыи-пабялда. лось появление события А ( и-» — число тех опытов, где наблюдалось событие А). Напою~имр что в теории вероятностей иэучаютсл лишь те случайные эксперименты, которые обладают свойствои устойчивости частот появления различных событий. Ото дает основание принять по алределениш за вероятность Р(А) случайного п события А велкчину

Реально в качестве значения вероятности Р(А) принимают гриб

Распознанный текст из изображения:

12

лименно значение частоты события А при достаточно большой величине ур- ( н. > 50 т 100) т.е. Р(А) и

Свойства ве ятности Р А)

Нетрудно проверить, что прм данном определении сохраняются

перечисленные ранее свойства вероятности, а именно:

04 Р(А) р Эд ш.11

2. Р(Л) р

3. Р(А+В) Р(А) + Р(В), если. АВ Ф.

3. Герше ическое о еление (геометрическая вероятность)

Оно обобщает классическое определение на случай бесконечного--Ы. Предпоявгается-, «те- ЙЗС -зееь-хенечнея-чаеть-.".роотранетза-

1 вр Х

л

- числовая прямая, ~ плоскость, ..., Я -мерное числовое пространство, причем попадание случайно "брошенной" точки в любую часть Л. пропорционально мере этой части и не зависит от ее располокения и форвард. По определению вероятность Р(А) события А ш .В1 равна

Р(А)

би' Ж)

(3)

где М (А), М ~-~ ) — меры (обьемы) мнсиеств А и А.

. Под мерой М ВА ) мношества А будем понимать его длину, или площадь, или объем (обобщенный объем), в зависимости от того, в

пр тр н е р о * но Л. — в д', д , я

т.д. Будем также считать, что все события и само ПЗС Л имеют конечную меру. Данное определение, очевидно, сохраняет отмеченные ренее свойства вероятности Р(А), а его смысл легко пояснить на конкретных примерах.

Недостатки определения очевидны: мы не шокам провестщ бесконечное число повторений опыта; кроме того, заранее, до проведения опыта ыы ничего нв ношам сказать о вероятности события. Зато нам не нукно заботиться о проверке выполнения условия разновозмоиности исходов !

13 О~~~В 1. Пр бомбо етииа о бм~юа юо~ы В оимрату о о ороной и- точки падения бомб равномерно распределены по квадрату. Спрашивается, какова, вероятность попадания в круг, вписанный в зтот квадрат7 Решение. Пусть А — попадание з круг. Все условия определения (3) выполнены, причем: зб ~д) .д ф)ь у (,а) -а.' Следовательно Р (Д) .Ф ~Л ) /убб Ж) /9 Притоп В. 13вввеа вотрете). Лва омо А В у ов отретиться в определенном месте мвкду 12 часами и часом на следуюрщих условиях: пришедший пврзим вдет другого з течение 'г минут ( Т 15 мин.), после чего уходит. Чему равна вероятность встречи, если приход калдого из них з течение указанного часа происходит нэударву и моменты прихода независимы? Решение. Обозначим момент прихода лица А через х , а лица В— через ~ . Тогда любой исход (элементарное событие с~ ) в данном эксперименте характеризуется парой чисел <х, ы ) Будем изобрзиать это событие точкой с координатами (х, у) на Пяэесвоти-Х'-ур- ПрННЕМ-Эа-иауНВЛО.-ОтЛЕЭЗ--ЗЫбЕрвн 12- ваСОЗ„-и -Эа единицу измерения 1 час и построим на плоскости хОу ПЗС .й. Это есть квадрат со стороной 1 (Рис. 2.1), Событие С вЂ” встреча произойдет, если разность мешду х и ы Ч по модулю не превзойдет г ( Т 0,25 часа), т.е. (пп.— ч! с б. Область С; "благоприятствующая" этому событию, на Рис. 2.1. заштрихована. Ее площадь

равна площади квадрата

У„и 1 беэ двух угловык треугольников, т.е. вв в~ в вз

Рис.1

вб~ —,ЭПА — ~(- ~О -В=АР--АР .

Отсюда по форМуле (3) находим Р(п-) ~ = ~ -(~ ~) )~.„,=

Распознанный текст из изображения:

14

4. Аксиоматическое оп еление .ве ятностм (по Колкогорову А.Н.)

Это определение обобщает все предыдущие. Оно принимает и узаконивает в виде аксиом те свойства вероятности, которые были присущи предыдущим определениям. Для корректного введения вероятности события как его "меры", понадобится ввести понятие поля событий (или алгебры событий).

Опр, 1 Полем событий (алгеброй событиЯ) будем называть совокупность таких подмнокеств Л вЂ” обозначим ее М (Л ) , которая удовлетворяет следующим условиям:

1) ~~ е и~ (Я.') .

2) Если А и  — произвольные элементы из Ф (М), то Аа И, В е ь4 и АВ Е ьь' (отсюда, в частности, следует, что и А+В А Вс и~).

Другими словами, поле событий есть соводуйность подмнокеств

.-с

д, замкнутая относительно всех операций над мнокествами, т,е, в результате применения этих операций мы получаем новые инокества, токе входящие в эту совокупность. Замечание 1. Если условие 2) усилясь, потребовав, чтобы в й~ входили все мнокества, полученные в результате примемения укаэанных операций бесконечное число раз, то поле событий называют борелевским, или б -алгеброй.

Замечание. 2. Будем теперь называть случайными событиями ие любые подмнокеотва ПЭС -)~ (как это делали) раньше), а лишь те, которые входят в поле событий ~~(~)-) (или борелевское поле событий), Опр 2 Вероятностью произвольного события А а И (Л) называется любая числовая функция (т.е. ее областью значений является

4

ыномество действительных чисел К ), удовлетворяхщая трем требованиям (аксиомам);

Аксиома 1. О я Р(АУ

Аксиома 2. Р (Л) - )

Аксиома 3. (аксиома аддитивности)

Если Д, ° д ф, то Р(А„Ф ) Р(Д )+Р(А ) Вероятность Р, заданную на паре объектов с Ю, Ь~(-~) > ° иногда называют распределением вероятности а на .Л-

Замечание 3. Для обоснования ваэмокности предельных переходов используют аксиому За — расширенную аксиому аддитивности: Аксиома За. Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий А,, А . .., , А

Р(А) - Р(А,) Р(А,),. Р(А.)

Вместо аксиомы За часто принимают равносильную ей аксиому

Зб - аксиому непрерывности:

Аксиома'Зб. Если последовательность событиЯ В,, Вь,

В,„, ... такова, что В„+, с В„и Д В„- Ве~р (Л)

т б ~о1В ) ~'(И)

э

Опюелуение 3. Вероятностным пространством называют тройку ° объектов:

Л - пространство элементарных событий, и~ (Л ) — поле событий мли борелевское поле событий (по другому, алгебра или

б -алгебра событий), Р— распределение вероятности ма

й.. Для этой тройки объектов принято обозначение:

<~). ч~ (-л~) р >

Процесс построения вероятностного пространства является основным этапом при создании математической модели случайного эксперимента.

Перечисхиы свойства вероятностм Р(А), вытекающие из Опр.2.

1. РЦ1) О, где г' — невозмокное событие.

Действительно, кэ равенства Ф ~- Л. Л- и аксиомы 3 заключаем, что р(Ф) + р Г-й) " Р Ы), отсюда Р(ф) О.

2. Р(А) = 1 - Р(А), для любого события Я е И~ (Л) Это следует из аксиомы 3, если учесть, что А + А Й. и АА ~Ф, Р(Л) [. '

3, Р(А)с Р(В), еслм Ас В.

Действительно, иэ представления В А + АВ и аксиомы 3 следует) что Р(В) Р(А) + Р(АВ), но по аксиоме 1 Р(АВ)ьО, т.е. Р(В))~

Р(А).

4. Р(А) с 1, т.к. Ас Л и Р(.п) 1,

С учетом аксиоиы 1 имеем для вероятности любого события

О с Р(А) С 1.

Распознанный текст из изображения:

Ь. Тес ма слояения (для двух слагаемых)

А(ля произвольных..дзух.событий А. ч В РГА+В) Р(А)+ Р(В) — Р(АВ)

(4)

В частном случае, когда А и В несовместны, равенство (4)

превращается в утверкдение аксиомы 3.

гаво» ~ о»во. Рй вав А ° В = А ° ( — АВА в В - АВ ° + ( — АВ), причем слагаемые в правых частях несовместны, то с учетом аксиомы 3 имеем:

Р(А+ В) Р(Л)+ Р( — ЛВ) и Р(В) м Р(АЗ)+Р(В- АЬ)

откуда после исключения Р( — АВ) получим равенство (4).

6. Р(А с- В)4 Р(А) + Р(В),

что является следствием предывущего свойства.

Замечание 4, Теорему слояения для двух слагаемп моано обобщить на о любое конечное число слагаемых.

Так, для АА - 3 слагаемых имеем:

РГАА+ЛВ+Л ) Р(А )+РГЛВ)А'Р(Л ) — РГЛ А )-Р(Л Л )- РГА.4В) б. РГАА Л»ЛВ) .

Вообще говоря, для любого в ъ 5

° \ вв

Р((/ Л )»Е Р(А ) -Е, Р(А А))+У Р(Д Д Л )

° В)А»а

,, А. Г- () Р ГА, А, ... Л „)

Пр~юр А А Овна о~обо в в ава:с баюнов бро~нвн» »онов, н ова

вероятность события А, означала(его'появление "герба" (Г) хотя

бы один раз 7

Решение. Обозначим через А. ' '- пои»аленке' "Г" в В -ом бросании,

4 (

'. Всно. что Р ГАВ) Р(4а) -. ~ и что

4 АВ + Ль, Если не заметить, что А, и А, .- сооместнца

события, то моино получить такой "результат":

Р(А) Р(4.)р РГЛВ)=в~+~ В, что очевидно, противоречит здравому

смыслу, ибо ясно, что событие Л не является достоверным.

Применяя теорещу слоиения дяя совместных событий, получим:

РГА). РГАА)+РГЛ~)-РГЛ»Л~) ' Р +.~ ~ а

7, 1..Ф 'р

(Мы воспользовались теоремой умвкения для независимых событий.

Р (Я, Л,) - Р(АВ) Р ГЛ,) .~ — ~

которая будет ' приведена нике) .

Отметим два полезнюс следствия иэ аксиоматического опрелфления вероятности.

1, Пусть случайное событие Л (~, ь~„ , где ' ('к — элементарные события из П3С Л- . Тогда, в силу аксиомы 3

Р(А) - 'Е РМ )

т.е. мокно найти величииу Р(А). если Известны вероятности (элементарных событий Р ( ро ), к 4й, .;

2. Пусть ПЭС й. состоит иэ конечного числа Ат равйовозмоащх элементарных событий о>А, С4, ..., о-', т.е. ' . Рбз,) Р(~~А) „РМ„) - ~

-'(ибо"'Р е м(1"(В) ЕРГУ„) В1 * )

й'В

'Тогда для любого события А - У 'САВА . ИМЕЕМ:

И.В ».К.

МВ

Р(А) Е ИА «) -—

К б , т.е. классическое опреде-

ление вероятности вытекает из аксиойатического как частный

случай.

Распознанный текст из изображения:

М'

Лвкцн(~ 3

!

)4. условная е ятнос во мы окен

Познакомимся с понятием условной вероятности. Пуст~, сабы тхя А, В, С..., 'состоят яэ алементарных событий ПЭС Л Зеро ятностн Р(А), Р(В), '..., гдв'Л, В ФМ(Щ '- пола событр, ыа эываются безусловности.

Предположим теперь, что- событва В ужв'прбжзошпо. Спраэпу ся, как изменится вероятность- А 'прв-калачик 'втйй дпппднитвльна~.

. ° . ч:.;м.;,.

энФормапдн7 °

Вероятность события Л, вычноданн.Щ.а.преддолояеныи, ЧтО В укв произошла . называется урлбпной веврятноотью Л д обозначается Р(Л/П) .

поюще~ 3 ~- Рассмотрим опйг о адйократнвк йодбрасыванаем кгрального кубика, но нв обычного, а с расырашвньви'гранямя граня с щ~ремн 1,3.6 окрашены красным, а грана с пв4рами 2 4, 5 - белым цветом. Введем событкя:

- А - появление нечетного числа(на.выпавшей.,гранд); - В - появлейкв четного чысла;

гл

— г= — оянлвнне..грани красного паата.

интуитивио ясно, что всхж фодзошхо событие С, то вероятность, события А (условйая1) выше,.чвм вероятность, В (токе условная).

Как вычислить Р(А/С) 'н Р(В/С)?,Ваматдм."яра Этом, что Р(Л) = Р(В) = 3/6 =1/2. Ответ на поставленный вопроо будет дан ниже,

для мотивярсвкж. праввла-иечщв»авпэя-.хпдовныд-.йвроятвиствй-. введем цонятпе ус_#_овной 'частотй сМытна А (прш условия,-.что некоторое событие В произошло).

пусть и,- число повторений эксперимента (для конкрвтностнчисло вылетов'самолета при его ввпытаниях,,~ь 100);

.КА- числЯ повт1Дюний, Гдв„на~ям»дав)сь сббыткв А (самолет'потер.: йел аварэю, Ф„м щ:, и - Чксдо' ыовтореныы, где наблюдалось событие В (отказ одного кэ двух4йвгаталвй, 'В - 10)'; - Ль,",— члсло певторенпй, гдв наблюдалось событне АВ ( отдаэ двигателя я аварка самолета, Ц~ц---. 5/.

1 анемиям, что безусловная чвстОта событня А -. это отношение

Ъ = т„(в "сопровождаюшем Примере" ф ф =Ф 8~

Условной частотой А при условии, что В произошло, естественно

назвать частоту А, отнесенную не ко всем повторения» опыта и а лишь к твм, в которых наблюдалось событие В, т.е. В примере ~ .г ~, в то время как х =~.8, т.е. ясно,

л) что отказ самолета и аткаэ 1-го двигателя — взаимосвяззнные события. Последнее отношение можно представить э виде

~бй ~,щЩ

я/в л„в ) ъ

т.е увшеаную-.чаетету-летке .представить. через отношение еезуслев-ных частот.

Поскольку при ~» -+ частота стремится к вероятнесгн, т.е. 'Ел — Р(АВ), о Р(В) , а следовательно ~» 1 Ъ

лв а ° . Ч~ ь Р(б) ° то все сказанное может служить мотквировкой следующего оя1»еделения.

по о е евгению условная вероятность Р(А/н) события л, прк условии, что В произошло ( т.е. Р(З)э0), называют етнашензе Р(АВ) к Р(В), т.е. , Я(б) ~ хз

(3.1) лналогячно определяется Р(В/л):

(3.2) теперь нетрудно дать решение задачи из при::вра 3.1. Ъвем: руС) й - ~ - — ', р(ВС) - .((бд- - -'. р(С) = ~- = — ', я следовательно р(д/С) ~~Я ~, а р('щС)- -~/~~ = А-, что согласуется с нашей интуицией, ибо на красных гречих нечетных чисел в два раза больше, чвм четных.

Г ом еск и т ет я. с:.овне.'1 незеятнести Покажем, что переход к условной верея".ности Л прп условии, чге В произошло, означает переход от исходного ПЭС Я к незе:у

Распознанный текст из изображения:

Л„- Э.

Используя геометрическое опредацение вероятности, имеем

(см. р- с. 3.1)

Р(Я) — Л- = — '~~- - беаус-.

5 5'

5э

ловкая вероятность А, А

4

т.е. вырехение для Р(А/В) по виду

Рис. 3.1.

совпадает с выраиением для Р(А),

если исходное' ПЭСЯ эаменнть на новоеЛ = В.

1

Это эамвЧанне позволяет часто вычдслять условные вероятно-

стк Р(А/В) не по формулам (3.1), (3.2), а непосредстиенныц

подсчетом числа" элементарных событий(эс) в новом пэс Я, в

и .числа ЭС из.: Л, В, благоприятствующих событию А.

Поясним это на следупцем простом примере.

Драме~~ ~. В урне'Й '7 белых к 4 3 черных вара, 'от

личецццкхся лишь цветом. Извлекаются по очереди 2 шара'наугад

(беэ возвращения первого). Пусть А, - первый извлеченный шар-

белый, А - второй извлеченный шар - белый. Найти Р(~/А ).

Решенииц,, ~ фййййй~.[Опуская'требуемые поясйения)'. '

пл,Ьч- ~е'ь'- М. -+

ия,) с,/С,. 3

2-й способ. (переход и Й ~ А,') „так как событие л. произол

шло, то это означает, что в йовом ПЭС всего К,' =а.+Б-1 'У

м,~

.равновоэкояных исходов, а событкю А благоприятствует прк атом.,

М» = Й- -Х 6 ' исходов. Следовательно

Р(Агам) Ил~~Мд * ф з

нэвискыыв к ~ э кмы о

Оп~д,.ление 1 ' Случайные события А 'и В кз Л называются нека пксцмаи, если их условные вероятности совпадают с беэуалавньццэ т.е.

Р(А/В) " Р(Л) кли Р(В/А) Р(В).

21

Инцмк словами А и В - независимы, если вероятность цоявления

любого иэ них не завксит от того, проиэощцо клк нет другое.

В противном случае события А и В называются

зависим»ми, т.е. для зависимых событий.

Р~А/В) ~ Р(А) и Р(В/А) ф Р(В).

(

Для-произвольных соаытий А н В (зависимых вообще говоря) имеют место следующие правила вычисления вероятности их произведения АВ.

Р(лЫ =РГУ8)Р. ы)

4

(3. 3)

Р(т =/'(ця)/ (я>

(3.4)

Утверцденне теоремы непосредственно вытекает из равенств(3.1)

и (3.2).

Если А ..:- В - — нееавиекмые-события-, то-- Р(ЛВ) - Р(А) Р(В) ~3.5~

Условие 3.5 . молот слуяить другим определением независимо отк событий;

А и В, А х В, Л и  — токе независимы.

Обычно независимость событий ясна иэ условий проведения опыта,' что мояно пояснить на следующем примере.

ИРймйВ..~»~ (пРоДояиенке пРкмеРа 3.2) В Условкнх пРнмеРа 3.2. найти. вероятностъ события -А - оба''извлеченные шара белые, если а) 1-й извлеченный шар возвращается. в урну;

о) 1=й-иэвлечнвкий-шыр-нв -возвращается в урну.

~йшейи~ Обозначим по-прекнеыу через А - извлечение белого шара в 1-й попытке, через ЛЭ - извлечение белого шара во 2-и попытке. Тогда, '.интереФсуцццее нас событие А = Л,А .

Случай а) (с воавращенкем) . Ясно, что события А, н А независимы по условиям проведения опыта. ПоэтомУ иэ следствия теоремы умноиения

Распознанный текст из изображения:

Р ел 1 Сл Рые события

Сеейство.-статус ическпй стоичкэостн опыта описывается Олепуиюам-Обраэемг Одоэпмчия"чпреэ л один нэ возможных исхо- ДОВ Опыта к Обозначим через И А число наотуплений сабытия Л э И. опытах. Тогда отношение И-А /И называется частотой события А, а свойство устойчизостк частот заключается в том, что при большом И. частота события А слегка колеблется (при изменении р'1.) около некоторого числа. Аналогично, если сделать несколько серий экспериментов и обозначить через И.; число экспериментов в С -й серии, а через л.~~ число наступлений события А в ь -й серии, то величины Ю.А' $1;, будут близки между собой, лишь бы только числа и:„ были эсе достаточно велики. Приведенное описание свойства устойчивости частот обладает серьезным ыедостатком, а именно: в настоящее время нет универсальных и э44ективных методов проверки наличия этого свойства. Поэтому вопрос о применимОсти эероятносэымх-меузщеп ю-каидбйг ОтделввФ~Г случае раша ется на интуитивном уровне. Конечно, при этом необходимо применение доступных методов проверки статкстичеокой устойчивости, однако наличие ее редко можно вполне гарантировать.

Исторически ТВ возникла жак теория. аэареими-игр (-рулет иа, карты ) в конце ХУ11 века. Начало ее развития связано с именами А. Бернулли Б пасклая, лапласа-, Муавра-.

В конце Х1Х века ТВ интенсивно развивается в трудах русских математкков — Чебышева П.Л., ляпунова Л.м'., Маркова А.А.

В настоящее время ТВ является Фундаментом и методологией-самых- различных-ргнэдвлов науки и технкки — начиная от $изики и математики, теорки надежности и других технических дисциплин и кончая биологией ( законы наследственности Мен— деля), химией, медициной к даже лингвистккой.

Отсюда становится понятной важность данного курса в общей системе знаний современного инженера.

В заключение отметим следующую особенность задач и примеров из ТВ: одна к та яе вероятностная модель расчета может иметь совершенно различное "словесное воплощение", Отсюда — такое обилие в курсе ТВ примеров, мбсящих отвлеченный характер (опыты с извлечением шаров из урнм, карт

опыте естественно выбрать

не (..., ор, от, тр. ь.рт оь„~

т т

где Ык обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении й очков. Рассмотрим следующие события: А - выпадение четного числа очков; В - выпадение нечетного числа очков; С вЂ” выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, А = ~~с,)в 1„ ц.в~~ '

В - ~от., а.ьт,отт~ С - ~оть, ор,~

Будем говорить, что событие А произошло, если произошло какое-либо из элементарных событий с,) ~. А.

В случае произвольного Я событиями будем называть только подмножества кэ некоторого класса-подынеиеств-Я- который будет определен после введения операций над событиями, совпадающими с операциями над множествами.

Опе тки н событиям

аарон~а~а~ и

Суммой двух событий А и В назовем событие А+В ( или АОВ), состоящее нэ всех элеврентарнмх событий, принадлежащих, по крайней мере одному из событий А элк В, Событие А+В происходкт

р

тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно иэ событий А или В.

Онов~она~» Н

Произведением АВ ( или Ар"р В ) называется событие, состоящее иэ элементарных событий, принадлежащих и А и В. Событие АВ происхолнт тоГда к только тогда, когДа прОИСХОдят К А и В.

Н етане !

Нон, тт оереа от нн рнронентненнтт ереноонтон на любое число слагаемых (сомножителей) .

рнрененен е 4

Разностью А-В,(А~В ) называется событие, состоящее из элементов множества А, не принапхе. ппих В. Событие А-В состоит в том, что А произошло, а В не произошло.

~~~а~тон е 6

Событие Я назоваы достоверным; пустое множество ш

назовем невозможным событием. Событие А = Я - А называется

ИЗ КОЛОДЫ И Т П ) ° ХОТЯ ПОЧТИ Хзжлому 1 ПКОМУ ПОНЫПРУ РРььРРьЯО-

при желании дать соответствующую техническую интерпреткп|ю. Для подтверждения приведем следуюпив примеры таких "парных интерпретаций".

1. В урне Л/ шаров, нз которых М белого цвета ( Осты~ьные черные) . Наугад извлекают д. шаров р'без возвращении извлеченных ) . Какова вероятность ° что из них будет ръ~ ОО- лых?

1а. 3 кэготовленной партии кэ Ар деталей есть З пн4ектнмх ('-1ь , разумеется, неизвестно ) . Лля контроля дсли дефектных деталей Ч = 'ю /р( из партии наугад вмбирпют д. деталей (~ъ много меньше фр') и подсчитывают число с) дефектных в этой выборке. Какова вероятность того, что ~ Ар

2. Вероятность выигрыша по 1-му билету лотереи р=-3,01. Сколько билетов о- нужно купить. чтобы вероятность-выигрнэа-- хотя бы 1 раэ была не менее Р =0,9?

тр

2а. Техническая система состоят из ~м реэервкровонпнл элементов (т.е. соединенных так, что система отказывает, если Отказывают все ип элементов 1, элями-жеет напеипостт,.

т

р =О,9. Чему должно быть равно ил, чтобы надежность системы была не менее Р =О 999.Л

тр"

Основны тия о ик я костей

В математической теории вероятностей проблема статистической устойчивости оставляется и стороне и рассматривпстся математическая модель, в которой отражены все воэможныо исходы опыта ~эксперимента) и считаются известными связанные О этим экспериментом вероятности.

Введем понятие пространства элементарных событий.

По и Ос анством элемен а ных событий ( ПЭС ) будем и=- нимать совокупность всех взаимоисключающих простейших исходов опыта.

В дальнейшем ПЭС обозначается Р , его элементы—

противоположнми ( илк дополнительным) событию А. Собмтие А означает, что А не произошло. Ясно, что А+А= Я , А А=9.

Для изучения рассмотренных операций удобно пользоваться графической моделью, э которой множества изображаются э виде йигур на плоскости. Такие модели получили название диаграмм Вена-Эйлера. На рис. 1а, 10, 1в, изображены сувэиа, произведение, разность двух множеств А и В, а на рис. 1г изображено множество А (соотэетотвухвиие ыноквства заштрихованы ) .

Нот~~нею 2

Разность н~тт о~т Н а-н ньен тон антанта*н, ~ар~ тн~р Оя через сумму и дополненке, т. к. А-В=А В.

Ркс. 1 Грэ4ическэя модель операций нед множествами.

Опрйпелениу 6

Будем говорить, что события А и В несовместны если . ~ ИЩ.

Понятия произведения и суммы событий переносятся и на

есконечные последовательности событий. Событие

А, ° А,.... Л„+ ... ---у-д

Нн1 , Остокт иэ элементарных событкй, принадлежащих хотя би одзму иэ событий Л рт,, р~ = 1, 2 °

Событие:

й А - А ... А

~=л

рстоит иэ элементарных событкй, принадлежащих кэидому событию

!."'

'рте 1Ч.=1, 2,

'н шен м с бм ия

орредвнВнне 7

Будем говерить, что событие А влечет за собой событие В,