ДЗ 4: Имитационная модель системы массового обслуживания на GPSS вариант 20
Описание
Описание предметной области и имитационной модели
Рассматривается имитационная модель системы массового обслуживания на
GPSS. Смоделируем поведение покупателя в магазине, в котором работают 2
кассы, причём к каждой из них выстраивается отдельная очередь, а
квалификация сотрудников немного отличается, поэтому время обслуживания
распределено с разными параметрами. Все случайные интервалы времени для
простоты будем считать равномерно распределёнными (но независимыми,
привязанными к разным потокам случайных чисел). Каждая касса будет
представлена одноканальным устройством, обращение к которым будем
осуществлять по номерам. Очереди также будут идентифицироваться
номерами, без введения символьных имён.
Моделирование будем проводить в течение 1 часа, в качестве единицы времени
будем выбирать секунду. Время между приходом покупателей распределено на
отрезке [0; R1+G1+B1]. Время обслуживания на первой кассе распределено на
отрезке [R1+G1; R1+G1+2*B1]. Время обслуживания на второй кассе
распределено на отрезке [G1+B1; 2*R1+G1+B1].
При принятии решения покупатель сперва проверяет, есть ли свободная касса,
и, если есть, направляется к ней. Если же обе кассы заняты, то выбирает кассу,
очередь к которой в данный момент короче (очередь понимается с бытовой
точки зрения, хотя модель можно было бы упростить, если иначе выбрать
расположение блоков DEPART). Если же свободны обе кассы, или очередь к
ним одинакова, то выбирается первая касса.
Перед описанием модели используем конструкцию EQU (сокращение от слова
«эквивалентность») для удобства изменения привязки к потокам случайных
чисел. По смыслу она аналогична директиве define препроцессора языка C.
rnd EQU 1
GENERATE (uniform(rnd,0,20))
GATE U 1,metka1
GATE U 2,metka2
TEST LE Q1,Q2,metka2
metka1 QUEUE 1
SEIZE 1
DEPART 1
ADVANCE (uniform(rnd+1,5,20))
RELEASE 1
TERMINATE
metka2 QUEUE 2
SEIZE 2
DEPART 2
ADVANCE (uniform(rnd+2,8,20))
RELEASE 2
TERMINATE
GENERATE 3600
TERMINATE 1
START 1
Задание 1
Требуется провести 100 экспериментов, меняя значение rnd. Результаты
моделирования оформляются в виде таблицы, в которой предусматриваются
следующие столбцы:
коэффициент загрузки первого кассира;
коэффициент загрузки второго кассира;
средняя длина первой очереди;
средняя длина второй очереди.
Задание 2
Рассчитайте выборочные средние и исправленные выборочные оценки
дисперсии для каждой собранной характеристики при n = 10, 25, 50, 100.
Задание 3
На основе полученных выборок для n = 100 построить гистограммы. Ширину
интервалов выбирать так, чтобы высота столбцов была не менее 5, а число
самих столбцов – не менее 7. При попадании в крайние интервалы менее 5
значений объединять их с соседними.
Задание 4
Для каждой пары собранных характеристик рассчитайте выборочные
ковариации и коэффициенты корреляции (для значений n = 10, 25, 50, 100).
Аналогично выборочной дисперсии, используйте исправленные оценки
указанных характеристик (т.е. необходимо делить не на n, а на n-1).
Исправленный выборочный коэффициент корреляции представляет собой
отношение исправленной выборочной ковариации к произведению
исправленных выборочных среднеквадратичных отклонений:
Задание 5
Для тех же значений n = 10, 25, 60 требуется рассчитать доверительные
интервалы для математических ожиданий каждой из собранных характеристик
с уровнями значимости = 0,1 и 0,01 (для двусторонней симметричной области).
Уровень значимости означает вероятность того, что исследуемая величина (в
данном случае – математическое ожидание исследуемой характеристики)
выйдет за пределы доверительного интервала (в некоторых случаях в
статистических таблицах используется не уровень значимости, а уровень
надёжности, который может также обозначаться , но чаще используется , при
этом они связаны между собой как ; также при работе с таблицами необходимо
учитывать, что может быть задана для односторонней области, т.е. уже
предварительно разделена пополам). Если предположить нормальный характер
распределения исследуемой характеристики, то расчёт строится по аналогии с
решением задач на приложения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
,
где
Однако это возможно лишь при больших n. Для большинства практических
опытов это не реализуется, поэтому вместо теоретического
среднеквадратичного отклонения необходимо использовать исправленную
оценку выборочного среднеквадратичного отклонения и вводить в расчёт
коэффициент Стьюдента, зависящий от n. Он обозначается как , где k
называется числом степеней свободы распределения Стьюдента, а сам
коэффициент определяется по статистическим таблицам, при этом k
принимается равным n-1.
Задание 6
Предположим, что все 4 наблюдаемые величины имеют нормальное
распределение с плотностью вида:
.
По свойству нормального распределения математическое ожидание будет
равно параметру , а среднеквадратичное отклонение – параметру .
Воспользуемся методом моментов для оценки этих параметров на основе
выборочных характеристик, а далее необходимо проверить гипотезу о
нормальном характере распределения с использованием критерия согласия
Пирсона, рассчитав величины вида:
.
Для равномерного распределения p i определялись тривиально, а для
нормального распределения придётся воспользоваться таблицей для функции
Лапласа. Для схемы Бернулли мы использовали переход от числа наблюдений k
к величине x вида: , который также можно записать как . В случае нормального
распределения также можно использовать эту формулу, где в качестве k будем
подставлять граничные точки диапазонов, выбранных для построения
гистограммы.
В результате необходимо получить оценки уровней значимости соответствия
нормальному распределению для всех четырёх величин, наблюдаемых в ходе
прогонов имитационной модели. Для этого следует воспользоваться таблицей
распределения .
Задание 7
Построить функции линейной регрессии для каждой пары рассматриваемых
случайных величин. Построить графики, на которых отобразить множество
точек выборки и соответствующую им линию регрессии.
Вывод коэффициентов линейной регрессии был получен в лекциях
применительно к случайным векторам, после рассмотрения понятий условного
математического ожидания и ковариаций.Показать/скрыть дополнительное описание
Описание предметной области и имитационной модели Рассматривается имитационная модель системы массового обслуживания на GPSS. Смоделируем поведение покупателя в магазине, в котором работают 2 кассы, причём к каждой из них выстраивается отдельная очередь, а квалификация сотрудников немного отличается, поэтому время обслуживания распределено с разными параметрами. Все случайные интервалы времени для простоты будем считать равномерно распределёнными (но независимыми, привязанными к разным потокам случайных чисел). Каждая касса будет представлена одноканальным устройством, обращение к которым будем осуществлять по номерам. Очереди также будут идентифицироваться номерами, без введения символьных имён.
Моделирование будем проводить в течение 1 часа, в качестве единицы времени будем выбирать секунду. Время между приходом покупателей распределено на отрезке [0; R1+G1+B1]. Время обслуживания на первой кассе распределено на отрезке [R1+G1; R1+G1+2*B1]. Время обслуживания на второй кассе распределено на отрезке [G1+B1; 2*R1+G1+B1]. При принятии решения покупатель сперва проверяет, есть ли свободная касса, и, если есть, направляется к ней. Если же обе кассы заняты, то выбирает кассу, очередь к которой в данный момент короче (очередь понимается с бытовой точки зрения, хотя модель можно было бы упростить, если иначе выбрать расположение блоков DEPART). Если же свободны обе кассы, или очередь к ним одинакова, то выбирается первая касса.
Перед описанием модели используем конструкцию EQU (сокращение от слова «эквивалентность») для удобства изменения привязки к потокам случайных чисел. По смыслу она аналогична директиве define препроцессора языка C. rnd EQU 1 GENERATE (uniform(rnd,0,20)) GATE U 1,metka1 GATE U 2,metka2 TEST LE Q1,Q2,metka2 metka1 QUEUE 1 SEIZE 1 DEPART 1 ADVANCE (uniform(rnd+1,5,20)) RELEASE 1 TERMINATE metka2 QUEUE 2 SEIZE 2 DEPART 2 ADVANCE (uniform(rnd+2,8,20)) RELEASE 2 TERMINATE GENERATE 3600 TERMINATE 1 START 1 Задание 1 Требуется провести 100 экспериментов, меняя значение rnd. Результаты моделирования оформляются в виде таблицы, в которой предусматриваются следующие столбцы: коэффициент загрузки первого кассира; коэффициент загрузки второго кассира; средняя длина первой очереди; средняя длина второй очереди.
Задание 2 Рассчитайте выборочные средние и исправленные выборочные оценки дисперсии для каждой собранной характеристики при n = 10, 25, 50, 100. Задание 3 На основе полученных выборок для n = 100 построить гистограммы. Ширину интервалов выбирать так, чтобы высота столбцов была не менее 5, а число самих столбцов – не менее 7. При попадании в крайние интервалы менее 5 значений объединять их с соседними. Задание 4 Для каждой пары собранных характеристик рассчитайте выборочные ковариации и коэффициенты корреляции (для значений n = 10, 25, 50, 100). Аналогично выборочной дисперсии, используйте исправленные оценки указанных характеристик (т.е. необходимо делить не на n, а на n-1).
Исправленный выборочный коэффициент корреляции представляет собой отношение исправленной выборочной ковариации к произведению исправленных выборочных среднеквадратичных отклонений: Задание 5 Для тех же значений n = 10, 25, 60 требуется рассчитать доверительные интервалы для математических ожиданий каждой из собранных характеристик с уровнями значимости = 0,1 и 0,01 (для двусторонней симметричной области). Уровень значимости означает вероятность того, что исследуемая величина (в данном случае – математическое ожидание исследуемой характеристики) выйдет за пределы доверительного интервала (в некоторых случаях в статистических таблицах используется не уровень значимости, а уровень надёжности, который может также обозначаться , но чаще используется , при этом они связаны между собой как ; также при работе с таблицами необходимо учитывать, что может быть задана для односторонней области, т.е.
уже предварительно разделена пополам). Если предположить нормальный характер распределения исследуемой характеристики, то расчёт строится по аналогии с решением задач на приложения интегральной теоремы Муавра-Лапласа: , где Однако это возможно лишь при больших n. Для большинства практических опытов это не реализуется, поэтому вместо теоретического среднеквадратичного отклонения необходимо использовать исправленную оценку выборочного среднеквадратичного отклонения и вводить в расчёт коэффициент Стьюдента, зависящий от n. Он обозначается как , где k называется числом степеней свободы распределения Стьюдента, а сам коэффициент определяется по статистическим таблицам, при этом k принимается равным n-1.
Задание 6 Предположим, что все 4 наблюдаемые величины имеют нормальное распределение с плотностью вида: . По свойству нормального распределения математическое ожидание будет равно параметру , а среднеквадратичное отклонение – параметру . Воспользуемся методом моментов для оценки этих параметров на основе выборочных характеристик, а далее необходимо проверить гипотезу о нормальном характере распределения с использованием критерия согласия Пирсона, рассчитав величины вида: . Для равномерного распределения p i определялись тривиально, а для нормального распределения придётся воспользоваться таблицей для функции Лапласа. Для схемы Бернулли мы использовали переход от числа наблюдений k к величине x вида: , который также можно записать как .
В случае нормального распределения также можно использовать эту формулу, где в качестве k будем подставлять граничные точки диапазонов, выбранных для построения гистограммы. В результате необходимо получить оценки уровней значимости соответствия нормальному распределению для всех четырёх величин, наблюдаемых в ходе прогонов имитационной модели. Для этого следует воспользоваться таблицей распределения . Задание 7 Построить функции линейной регрессии для каждой пары рассматриваемых случайных величин. Построить графики, на которых отобразить множество точек выборки и соответствующую им линию регрессии. Вывод коэффициентов линейной регрессии был получен в лекциях применительно к случайным векторам, после рассмотрения понятий условного математического ожидания и ковариаций..
andrey_r
