Курсовая работа 19: Динамика механических систем

Задание №19

Проволочный круговой обруч массы M и радиуса R вращается вокруг своего вертикального диаметра под действием внешнего момента М_z=αφ², α=const. На обруч надета бусинка А массы m₁, соединенная с наивысшей точкой окружности пружиной жесткости c (рис. 19). Длина ненапряженной пружины равна l₀.

• 1. Ввести подвижную систему координат 0xyz, связанную с вращающимся обручем. Считая φ(t) и ψ(t) заданными функциями времени, вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение бусинки А. Изобразить на чертеже составляющие векторов v_абс и ω_абс.
• 2. Считая φ(t) заданной функцией времени, составить дифференциальное уравнение движения точки А относительно подвижной системы координат, введенной в п. 1.
• 3. Применяя теорему о движении центра масс, показать, что проекции N₁ и N₂ силы давления бусинки на обруч, лежащие соответственно в плоскости обруча и перпендикулярно ей, вычисляются по формулам
• 4. Полагая обруч неподвижным, составить дифференциальное уравнение движения бусинки. Применить теорему об изменении кинетического момента относительно точки O.
• 5. Для условия п. 4 определить, какую скорость надо сообщить бусинке, находящейся в наинизшем положении, чтобы она достигла положения, в котором φ=π/3.
• 6. Считая φ(t) и ψ(t) заданными функциями времени, найти силы инерции бусинки и обруча.
• 7. Применяя принцип Даламбера, показать, что вертикальная проекция Z_B реакции подпятника В, а также проекции Х_C и Y_C реакции подшипника C на оси системы координат, введенной в п. 1, вычисляются по формулам
• 8. Составить дифференциальные уравнения движения системы, исходя из общего уравнения аналитической динамики и приняв за обобщенные координаты φ и ψ.
• 9. Составить выражения для кинетической и потенциальной энергии системы, вычислить обобщенные силы.
• 10. Используя уравнения Лагранжа второго рода, показать, что дифференциальные уравнения движения системы имеют вид: Для условия α=О записать интеграл энергии и циклический интеграл.
• 11. Для условия п. 4 найти положения равновесия бусинки и исследовать их устойчивость. Найти период малых колебаний в окрестности нижнего (φ=0) положения равновесия (при выполнении условия его устойчивости).
• 12, Задавая численные значения параметров и начальные условия: M=1кг, m=0,1кг, R=0,3м, c=20Н/м, t₀=0, φ₀=0, ψ₀=π/6, φ₀`=0,5с<sup>-1</sup>, ψ<sub>0</sub>`=0, составить программу решения системы дифференциальных уравнений и на ЭВМ построить зависимости φ(t), ψ(t), N₁(t), N₂(t).