Курсовая работа: Динамика механических систем вариант 4

Задание №4

Однородный круглый цилиндр 1 массы m₁ и радиуса R катится без скольжения по горизонтальной неподвижной плоскости (рис. 4). К нему приложена пара сил с моментом М=М₀cosωt. К оси цилиндра шарнирно прикреплен физический маятник 2 массы m₂. Момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно основанию цилиндра, равен I₀. Центр масс маятника находится в точке А на расстоянии ОА=h. Точка О соединена горизонтальной пружиной 3 с неподвижной опорой. Жесткость пружины равна c, l₁ — длина недеформированной пружины.

• 1. Ввести подвижную систему координат, начало которой совмещено с центром цилиндра, а оси движутся поступательно. Считая s(t) и φ(t) заданными функциями времени, вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки А. Изобразить на чертеже составляющие векторов v_абс и ω_абс.
• 2, Полагая, что масса маятника сосредоточена в точке А (случай математического маятника), а s(t) - известная функция времени, составить дифференциальное уравнение движения точки А относительно подвижной системы координат, введенной в п. 1.
• 3. При помощи теоремы о движении центра масс показать, что величина силы давления цилиндра на опорную плоскость определяется формулой
• 4. Полагая s=const, составить дифференциальное уравнение вращения физического маятника. Применить теорему об изменении кинетического момента. Найти наименьшую угловую скорость, которую необходимо сообщить маятнику в левом горизонтальном положении, чтобы он совершал круговое движение.
• 5. Полагаем, что М₀=0, а маятник жестко прикреплен к цилиндру и в начальный момент находится в нижнем положении, при этом пружина не деформирована. Какую наименьшую скорость надо сообщить точке О, чтобы маятник достиг верхнего вертикального положения? Применить теорему об изменении кинетической энергии.
• 6. Считая s(t) и φ(t) заданными функциями времени, найти для цилиндра и маятника главные векторы и главные моменты сил инерции относительно точки О.
• 7. Применяя принцип Даламбера, показать, что проекции R_Ox и R_Oy реакции шарнира О определяются соотношениями
• 8. Составить дифференциальные уравнения движения системы, исходя из общего уравнения аналитической динамики и приняв за обобщенные координаты s и φ.
• 9. Составить выражения для кинетической и потенциальной энергии системы, вычислить обобщенные силы.
• 10. Используя уравнения Лагранжа второго рода, показать, что дифференциальные уравнения движения системы имеют вид
• 11. Полагая, что угол φ мал, момент пары сил равен нулю (М₀=0), а пружина отсутствует (с=0), составить уравнение малых колебаний маятника в окрестности его нижнего положения. Найти период малых колебаний маятника.