НИР: Метод асимптотического осреднения для расчета эффективных упругих характеристик композитов

ВВЕДЕНИЕ
Композиционными материалами (композитами) обычно называют неоднородные материалы, у которых имеется ярко выраженная внутренняя структура, обнаруживаемая даже человеческим глазом, и близкая по форме к регулярной, т.е. самоповторяющаяся. Такие композиционные материалы известны человечеству очень давно – например, древнейший строительный материал – древесина, обладает самоповторяющейся внутренней структурой – годовыми кольцами. Композитом можно считать и кирпичную кладку, поскольку она обладает ярко выраженной самоповторяющейся структурой, образованной сочетанием кирпичей и соединяющего их раствора. Природными композитами считают многие грунты, например глину, содержащую щебенку, и даже песок, поскольку у него также имеется внутренняя структура, образованная поверхностями отдельных песчинок. А вот металлы и сплавы обычно не считают композитами, поскольку человеческий глаз не обнаруживает их внутренней структуры – металлических зерен, и визуально металлы и сплавы кажутся однородными. Составные части композитов обычно называют компонентами или фазами. Более точное - математическое определение композитов было предложено Б.Е.Победрей, согласно которому композит – это материал, для описания свойств которого применяют математическую модель с разрывными функциями, характеризующими неоднородную внутреннюю структуру материала. Согласно этому определению металлы и сплавы тоже можно полагать композитами, если ставится задача установить связь их внутренней зернистой структуры с их свойствами. С появлением нового направления в науке о материалах – наноматериалов и нанотехнологий математическое определение композитов становится более предпочтительным, поскольку возникает необходимость исследовать даже «очень тонкую» внутреннюю структуру материалов, которая может быть установлена только специальной аппаратурой, например туннельными сканирующими микроскопами. В этом смысле даже традиционно считавшиеся однородными материалы удобно рассматривать как композиты, с тем чтобы использовать математический аппарат, созданный для моделирования поведения композиционных материалов.
Одной из основных математических задач в современной науке о материалах является задача моделирования свойств материалов (их обычно называют эффективными или макроскопическими свойствами) по свойствам составляющих их компонентов. Классические методы расчета эффективных свойств композитов основаны на существенных предположениях о характере распределения физических полей в компонентах композита или на использовании вариационных принципов. Эти методы достаточно эффективны для композитов с простыми структурами – слоистыми, однонаправленными, но обычно не обеспечивают необходимой точности расчетов для более сложных – композитов с пространственными структурами. Наиболее перспективным методом вычисления эффективных характеристик композитов в настоящее время, по-видимому, является метод асимптотического осреднения (МАО), предложенный Н.С.Бахваловым [1] в 1974 году и развитый затем Б.Е.Победрей, Санчес-Паленсией Э, Вensoussan А., Lions J.-L., Рараnicolaou G., и другими авторами. Этот метод, который в отечественнной литературе часто называют методом Бахвалова-Победри, а в зарубежной - asymptotic homogenization method, позволяет найти точные в математическом смысле эффективные характеристики с помощью решения так называемых локальных задач, называемых также «задачами на ячейке периодичности». Однако эти задачи являются достаточно сложными даже для численных методов, так как они имеют смешанный интегродифференциальный тип и неклассические граничные условия периодического типа. Именно поэтому до недавнего времени имелось лишь несколько примеров решения этих задач для сравнительно простых структур: слоистых, однонаправленных (1-D) и ортогональных (2-D) композитов В данной работе рассматривается численное моделирование композитных конструкций со сложными пространственными структурами армирования (хоккейная клюшка). В качестве исходных данных используются соответствующие характеристики композита и его микроструктура, заданная в виде сетки конечных элементов. Для получения характерных свойств композита используется программа, производящая расчет по имеющимся входным параметрам материала. Расчет производится через переход к локальным задачам на ячейках периодичности