Методы метрологически обоснованного решения уравнений и систем уравнений при измерениях, выполняемых информационно-измерительными системами.

Актуальность темы исследования. Задача поиска корней нелинейных уравнений или решений систем подобных уравнений, чьи параметры заданы неточно, часто возникает в практике выполнения измерений с применением информационно-измерительных систем – в частности при обработке результатов прямых измерений, поступающих из измерительных каналов системы, для получения результатов косвенных измерений. Решение данной задачи представляет также математический интерес, поскольку предполагает разработку новых методов решения систем уравнений, устойчивых к неопределенности их параметров. При выполнении измерений на сложных промышленных объектах с применением информационно-измерительных систем зачастую используют математические модели, описывающие исследуемый объект. При этом ряд величин измеряют напрямую, а остальные значения находят по полученным результатам решением уравнений, вытекающим из математической модели. Подобные задачи с математической точки зрения сводятся к решению уравнений или систем уравнений, коэффициенты которых известны неточно. Решение выполняется в вычислительном блоке информационно-измерительной системы, осуществляющей измерения на объекте, и должно быть подвержено метрологическому контролю – так же, как и любая измерительная процедура. Используемые на практике в программном обеспечении информационноизмерительных систем итерационные методы для поиска корней нелинейных уравнений или решений систем подобных уравнений обычно не учитывают погрешности их коэффициентов, определяемых из результатов прямых измерений, что может привести к искажениям в проводимых расчетах. Методы же, реализующие метрологическое сопровождение результатов вычислений с неточными данными (методы типа Монте-Карло, методы, основанные на локальной линеаризации вычисляемых функций и др.) при применении к итерационным процедурам не обеспечивают гарантии достоверности оценок, получаемых на промежуточных шагах, что является важным свойством для нужд метрологически значимого программного обеспечения информационно-измерительных систем. В существующей метрологической практике пределы погрешности получаемого решения если и оценивают, то уже после вычисления решения и по полученным заранее аналитическим формулам или при помощи статистического моделирования. При этом в первом подходе, как правило, предполагается, что погрешности параметров уравнений достаточно малы (что сложно проверить). Второй же способ достаточно трудоемок, и в результате его использования возможны ситуации, когда итерационные процедуры, применяемые для решения уравнений или систем уравнений, будут расходиться. Таким образом, является актуальной задача получения новых методов решения отдельных уравнений косвенных измерений и систем таких уравнений, позволяющих учесть погрешности их коэффициентов (вычисляемых по результатам прямых измерений), обеспечить гарантию достоверности интервальных оценок решения на каждом шаге применяемых итерационных процедур и соответствие требованиям обеспечения единства измерений [1].
Степень разработанности темы. По теме диссертации в настоящее время в основном представлена литература, посвященная методам решения нелинейных уравнений и их систем как таковым. Данные работы изучают и улучшают свойства этих методов с позиций вычислительной математики, не принимая в расчет тех особенностей, которые оказываются важны для практики применения в метрологически значимом программном обеспечении информационно-измерительных систем. Тематически близкими вопросами к теме диссертации являются изучение чувствительности результатов вычислений к точности исходных данных (проверки обусло-вленности решаемой задачи), построение метрологического автосопровож-дения вычислений с результатами измерений (позволяющего получать вместе с результатами расчетов индивидуальные оценки характеристик их унаследованной погрешности), интервальный анализ (оценка области возможных значений решения при интервальнозначном задании входных данных). Основные полученные в диссертации результаты опираются на идеи, предложенные и развитые в работах Г.Н.Солопченко, В.Я.Крейновича, С.П.Шарого, Ю.И.Шокина, Л.К.Резника, К.К.Семенова и других специалистов в области интервального анализа и обработки неточных данных.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью данной диссертации является разработка новых методов решения нелинейных уравнений и систем таких уравнений, используемых в информационно-измерительных системах при косвенных измерениях, которые были бы обоснованы с метрологической точки зрения, гарантировали бы получение достоверного результата на каждой итерации и сопровождали бы его оценкой погрешности, унаследованной от результатов прямых измерений, а также своевременно останавливались. Для достижения поставленной цели диссертации был решен ряд задач: – рассмотрены существующие подходы к решению нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений в составе программного обеспечения информационно-измерительных систем и учету погрешностей используемых при этом результатов измерений, поступающих из измерительных каналов; – разработан аналитический способ оценки погрешности результата косвенных измерений, получаемого решением нелинейного уравнения или систем таких уравнений, включающих в свой состав результаты прямых измерений; – разработан новый метод на основе интервального обобщения бисекции для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, осуществляемого в информационно-измерительных системах при косвенных измерениях; – разработаны правила остановки итерационных процессов решения нелинейных уравнений, согласованные с точностью их коэффициентов; – разработано обобщение интервального метода Ньютона для решения нелинейных уравнений косвенных измерений и их систем с использованием разных интервальных арифметик для нужд информационно-измерительных систем; – выполнен сравнительный анализ разработанных методов, выполнена детальная оценка достоверности предоставляемых ими результатов; – разработанные методы применены к модельным примерам и измерительным задачам из практики эксплуатации информационно-измерительных систем.
Объектом исследования являются методы решения как отдельных нелинейных уравнений с неточными коэффициентами, так и их систем, возникающих при выполнении косвенных измерений информационноизмерительными системами.
Предметом исследования являются такие методы и программные средства для решения отдельных нелинейных уравнений и их систем из измерительной практики, которые позволяют вместе с оценкой решения оценить пределы его погрешности, наследуемой от погрешностей коэффициентов уравнений.
Методы исследования. В ходе работы над диссертацией были применены методы математического моделирования (включая статистическое), вычислительной математики, функционального и метрологического анализа.
Научная новизна. В ходе работы над диссертацией были получены методы и программные средства метрологического сопровождения расчетов, ведущихся в информационно-измерительных системах и программах обработки неточных данных при решении нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Научная новизна работы заключается в: – получении новых методов решения нелинейных уравнений и их систем (коэффициенты которых определяются из результатов измерений), согласованных с точностью исходных данных и с действующими метрологическими нормами; – получении новых правил остановки итерационных процессов решения нелинейных уравнений, также согласованных с точностью исходных данных; – достижении автоматического метрологического сопровождения процедур решения уравнений или систем уравнений, реализуемых в метрологически значимом программном обеспечении информационно-измерительных систем.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют высокую теоретическую значимость, поскольку включают новые методы и формулы для решения как отдельных, так и систем нелинейных уравнений, чьи коэффициенты заданы с погрешностями, а также реализующие их программные средства. Практическая значимость работы подтверждается тем обстоятельством, что получаемые с применением предложенных методов оценки корней и решений оказываются согласованы с погрешностью исходных данных в соответствии с требованиями метрологической практики и практикой разработки и эксплуатации информационно-измерительных систем. Практическая значимость работы также обусловлена внедрением результатов в работу ряда организаций, о чем составлены соответствующие акты.
Основными положениями диссертации, выносимыми на защиту, являются следующие: – впервые разработан интервальный метод бисекции для нужд информационноизмерительных систем, позволяющий находить корни нелинейных уравнений, коэффициенты которых определяются из результатов прямых измерений и неточны, вместе с оценкой пределов их унаследованной погрешности; – впервые разработан интервальный метод многомерной бисекции для нужд информационно-измерительных систем, позволяющий находить решения систем нелинейных уравнений, коэффициенты которых неточны, с учетом этих погрешностей, а также получать оценку пределов погрешности решений; – впервые выведены аналитические формулы для оценки погрешностей корней нелинейных уравнений и решений систем нелинейных уравнений, коэффициенты которых неточны, на основе линеаризации вычисляемых функций; – впервые разработаны правила остановки созданных итерационных процедур, согласующие момент их остановки с точностью исходных данных.