Диссертация: Модели и методы автоматической проверки решений задач.

Актуальность проблемы. Альфа-, бета- и эта- преобразования лямбдатермов описывают существенную часть преобразований, которые требуется применять при решении учебных задач на преобразование формул. Большая доля решений таких задач описывается цепочками преобразований над символьными выражениями либо логическими утверждениями. Проверка решений подразумевает проверку всех преобразований в цепочке на корректность и тривиальность – то, что объема умственных усилий обучаемого достаточно для выполнения такого преобразования за один переход. Проверка корректности преобразования подразумевает проверку эквивалентности его -термов. Требование тривиальности подразумевает ограничение на виды функций, аппликации которых учащийся может применять в ходе решения в сочетании с ограничением на сумму весов, соответствующих сложностям применяемых функций для учащегося. Работа над автоматической проверкой таких преобразований позволяет создать алгоритм, применимый не только для аппликаций над символьными выражениями и логическими утверждениями, содержащими исключительно элементарные функции, но также для правил преобразования выражений в широком смысле, применяемым в предметно-ориентированных математических средах (Wolfram, Matlab и другие) к выражениям, содержащим также булевы функции, комбинаторные функции и другие, при условии поддержки их обработки в записи решения в цифровом виде и описании способов оперирования этими функциями в формате правил преобразования. Это существенно повышает разнообразие учебных задач на преобразование формул и способов записи их решений, которые могут проверяться автоматически разработанными в работе программными комплексами. Решение задач на преобразование формул является важным элементом изучения точных наук. Для закрепления навыков обучаемым требуется решить существенное число задач, что влечет необходимость проверки больших объемов решений. Автоматизация такой проверки позволит существенно повысить производительность труда преподавателей при проверке решений задач без потери качества и освободить время преподавателей для более творческих задач, даст возможность проверять значительно большие объемы задач. Помимо этого, разработанные программные комплексы позволяют игрофицировать непосредственно процесс решения учебных задач, тем самым стимулировать учащихся к добросовестному решению учебных задач, что весьма актуально, поскольку самостоятельной мотивации у существенной доли обучаемых не хватает. В совокупности описанные выше возможности автоматической проверки решений учебных задач открывают большой простор для качественного улучшения современного образовательного процесса, а также повышают его доступность благодаря потенциалу масштабирования.
Степень разработанности темы исследования. Наибольший вклад в формирование и развитие методов проверки эквивалентности -термов, автоматического сравнения символьных выражений и использовании автоматизации в образовании оказали A. Church, A. Tarski, A. Turing, R.J.Back, T.Auvinen, L.Bazzini, M.Cerulli, G.Chiappinni, F.Arzarello, L.Linchevski, L.Manilla, B.Pedemonte, D.Richardson, H.Rogers, A.Sfard, M.Tirronen, V.Tirronen, S.Willman, S.Wallin, S. Wolfram, А.А.Марков, И.Л.Артемьева, С.Н.Поздняков, С.Е.Рукшин, Ю.В.Матиясевич. Задача проверки отношения эквивалентности -термов в общем случае является неразрешимой. Однако, для большинства рассматриваемых в работе символьных выражений и логических утверждений существуют способы проверки их эквивалентности, основанные на нормализации, алгоритме Тарского, либо методах вычислительных экспериментов (используются в образовательных платформах Coursera, Stepic и других). Неразрешимость проверки эквивалентности в общем случае следует из теоремы Ричардсона; методы вычислительных экспериментов вероятностные и приводят к большому числу ошибок в случае выражений с C-узкой областью определения, вероятность попадания в которую точкой из равномерного распределения в шаре с центром в начале координат и радиусом, равным наибольшей константе в выражении, меньше 1%. Помимо применимости не для всех рассматриваемых -термов, недостатком этих подходов является отсутствие проверки тривиальности преобразований, а именно оценки сложности совершаемых переходов. Предметно-ориентированные математические среды используют эффективные алгоритмы перебора правил преобразования при выводе решений, но не при проверке, вследствие чего используемые ими методы также не подходят для проверки тривиальности преобразований, в особенности в случае неравенств. В целом методы автоматической пошаговой проверки решений на сегодняшний день изучены явно недостаточно. Большинство результатов есть лишь для очень узких предметных областей, например, построении геометрических примитивов в «Euclidea», простейших задач на знания арифметики в «GeoGebra» или задач на изучение центробежной силы и равномерного движения по окружности. Очень существенный вклад в развитие области внесло подробное описание концепции «структурированного вывода» для большого числа типов выкладок. Эта концепция лежит в основе системы «eMathStudio», нацеленной на проверку структурированных решений на преобразование формул. Однако системные подходы к автоматизации проверки корректности и тривиальности преобразований над выражениями и логическими утверждениями отсутствуют, что предопределило и обусловило цель и задачи данного диссертационного исследования.
Целью работы является разработка метода автоматической проверки решений задач, представляемых в виде цепочек преобразований лямбдатермов, в совокупности с разработкой моделей удобных способов представления этих преобразований в цифровом виде, с помощью которых учащийся мог бы предоставлять выведенное им решение в систему автоматической проверки.
Достижение поставленной цели потребовало решения следующих основных задач: 1. Построение метода автоматической проверки цепочек преобразований лямбда-термов, являющихся символьными выражениями либо логическими утверждениями над элементарными функциями. 2. Создание языка для записи цепочек преобразований над символьными выражениями и логическими утверждениями, подходящего для записи решений задач на преобразование формул в цифровом виде и удобного для учащихся. 3. Разработка программного комплекса, реализующего построенные алгоритмы и позволяющего автоматически проверять решения задач, поданных в разработанном формате. 4. Проведение опытной эксплуатации в учебном процессе с участием студентов младших курсов и оценка эффективности разработанных моделей и алгоритмов.
3. Разработка программного комплекса, реализующего построенные алгоритмы и позволяющего автоматически проверять решения задач, поданных в разработанном формате. 4. Проведение опытной эксплуатации в учебном процессе с участием студентов младших курсов и оценка эффективности разработанных моделей и алгоритмов.
Объектом исследования являются аппликации и применения правил преобразования к символьным выражениям и логическим утверждениям.
Предметом исследования являются алгоритмы автоматической проверки корректности и тривиальности логических утверждений, а также способы удобной записи преобразований над ними.
Основные положения, выносимые на защиту: 1. Алгоритм автоматической проверки корректности и тривиальности переходов в цепочке преобразований на основе комбинации методов эффективного перебора правил и вычислительных экспериментов. 2. Алгоритмы автоматической проверки равенств и неравенств символьных выражений на основе вычислительных экспериментов. 3. Язык STEPT для записи цепочек преобразований над символьными выражениями и логическими утверждениями, удобный для записи решений задач на преобразование формул. 4. Модели игрофикации процесса решения учебных задач на развитие навыков оперирования формулами «правило – место применения», «место применения - правило» и «проверка решения».
Научная новизна: 1. Разработан алгоритм проверки равенств символьных выражений с C-узкой областью определения за счет применения метода вычислительных экспериментов в комплексной области и адаптивного подбора порогов вероятностной проверки. 2. Разработан алгоритм проверки неравенств символьных выражений с большим числом переменных и C-узкой областью определения с помощью подбора оптимальных точек для сравнения выражений путем минимизации их разностной функции и мнимой части в случае выхода из области определения. 3. Разработан алгоритм, позволяющий с высокой точностью проверять корректность и тривиальность переходов, выполняемых учащимся в цепочках преобразования символьных выражений и логических утверждений в ходе решения задач на развитие навыков оперирования формулами. 4. Разработаны язык записи символьных преобразований и программный комплекс, позволяющие обучаемым записывать решения задач в цифровом виде – так, чтобы они могли быть проверены автоматически. 5. Предложены способы игрофикации процесса решения учебных задач на оперирование формулами, которые позволяет стимулировать обучаемых к практикованию навыков и повысить число решаемых обучаемыми задач.
Методы исследований сочетают в себе методы дискретной математики, оптимизации, теории алгоритмов, теории формальных грамматик и языков программирования, методы проектирования программных комплексов, методы объектно-ориентированного и параллельного программирования, а также методы теории вероятностей и математической статистики. Разработанные методы и алгоритмы реализованы на языках C++ и Kotlin; реализованный программный комплекс использует сервер на основе технологии Spring Boot и базу данных PostgreSQL, эксперименты анализировались с использованием языков Python и R, а также Excel; в ходе работы использовались IDE IntelliJ Idea, PyCharm и RStudio, а также Jupyter Notebook; временные замеры проводились на машине 2,3 GHz Quad-Core Intel Core i5.
Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается математическим обоснованием построенных моделей и методов, экспериментальными исследованиями их программной реализации, а также использованием результатов работы на практике.