Кандидатская диссертация: Статистическое оценивание функционалов пенсионных рент актуарных моделей

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………...………..…..…..6

• ФУНКЦИОНАЛЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ……………………………………………………………………………….14
  • Модель детерминированной пенсионной схемы...….......……..……………14
  • Детерминированные постоянные ренты…...……...…………..……………..15
  • Непрерывные ренты…...…..………………….....……..………...…….……...17
  • Модели стохастических пенсионных схем….....……….……………..……..18
  • Оценивание рент методом суммарной выплаты…….…..….……………….19
  • Непрерывные пожизненные ренты как функционалы распределений продолжительностей жизни…………………......……...………………..…...21
  • Непрерывные ренты для основных моделей актуарной математики……...22
    • Модель де Муавра……..……………………….……..………………....23
    • Модель Эрланга…………………………………………..…..….………25
    • Модели Гомпертца и Мейкхама……………..………………..….….…27
    • Модель Вейбулла………......……………………………………………30

1.8 Выводы по главе 1……………………………………………….………..…...32

• ФУНКЦИОНАЛЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ...….…………………………………………………………………………34
  • Понятие статуса ….....……………………………………………….………...34
  • Функционалы рент для статусов совместной жизни и выживания последнего………………………………………………………………………35
    • Статус для двух лиц………………………………………….……….…35
    • Статус для m лиц…….………………………………....…………....…..36
    • Непрерывные ренты для двух лиц (модель де Муавра)……..……......38
    • Непрерывные ренты для двух лиц (модель Эрланга)….……………...41
    • Непрерывные ренты для двух лиц (модели Гомпертца и Мейкхама)..44

2.2.6 Непрерывные ренты для двух лиц (модель Вейбулла)….…..………...48
2.3 Выводы по главе 2………….……………………………..….…………….….51

• НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ...…….……...…………...…53
  • Синтез непараметрических оценок рент…...……………………….……..…53
  • Функции от статистик, их асимптотические свойства.....…….……….....…55
  • Асимптотическая нормальность непараметрической оценки пожизненной ренты……………………………………...………………..…….…….………..59
  • Смещение непараметрической оценки пожизненной ренты…………….....63
  • Среднеквадратическая ошибка непараметрической оценки ренты ….……69
  • Оценивание q-летней временной пожизненной ренты….……...….………..73
    • Синтез оценки……………………………………….…………….….….74
    • Среднеквадратическая ошибка оценки…..….………………..………..75
    • Асимптотическая нормальность оценки…….………….....……….…..76
  • Оценивание актуарной современной стоимости отсроченной ренты…...…77
    • Оценка отсроченной ренты……..……………………..………………..78
    • Среднеквадратическая ошибка оценки ………………...…..…78
    • Асимптотическая нормальность оценки .……………………..80
  • Оценивание современной стоимости смешанной n-летней пожизненной

ренты…………………………………………..………..………………..……..80

• Синтез оценки……...……………………………………...…………….82
• Свойства оценки n-летней пожизненной ренты………..……………..83

3.9 Выводы по главе 3….………….……………………….……………….……..85

• НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПЕНСИОННЫХ РЕНТ…………………………...…….87
  • Оценивание функционала ренты статуса совместной жизни для двух лиц……………………………………………………………………………….87
  • Оценивание функционала ренты статуса выживания последнего для двух лиц……………...………………………………………………………………..89
  • Асимптотическая нормальность непараметрической оценки ренты для двух лиц………………………………………………...……………………...……...91
  • Смещение непараметрической оценки ренты для двух лиц………......……96
  • Среднеквадратическая ошибка непараметрической оценки ренты для двух лиц…...……………..………… ……………………………….…..…..….…….98
  • Асимптотические свойства кусочно-гладких аппроксимаций оценок рент

для двух лиц……………………………………………......……..…………..101

• Оптимизация кусочно-гладких аппроксимаций оценок рент

для двух лиц …...…………………………………...…………………………102

• Выводы по главе 4……………………………..…….……………………….104
• СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ..……………...….…………….106
  • Непараметрическое оценивание непрерывной пожизненной ренты

по случайной выборке из распределения де Муавра……...………….……106

• Непараметрическое оценивание непрерывной пожизненной ренты

по случайной выборке из распределения Мейкхама…………...…..........…108

• Непараметрическое оценивание непрерывной q-летней ренты по случайной выборке из распределения де Муавра…………………….…………………110
• Непараметрическое оценивание непрерывной q-летней ренты по случайной выборке из распределения Мейкхама…………………………..….………..111
• Параметрическое оценивание рент для модели де Муавра.…….…….…..111
• Параметрическое оценивание рент для модели Эрланга.…...….…...….....114
• Параметрическое оценивание рент для моделей Гомпертца и

Мейкхама………………………………………………………………………116

• Параметрическое оценивание рент для модели Вейбулла…………….......117
• Непараметрическое оценивание непрерывной пожизненной ренты

по реальным данным………………..…..………………………………….…118

• Выводы по главе 5………………………………………....………………..120

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..……………..………...…………………………….…………….122
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.....……………………...…………...…………………123
ПРИЛОЖЕНИЕ А Зарегистрированные данные о смертях в Кожевниковском районе Томской области за 2001 год…………….…..……...137
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Акт о внедрении результатов диссертации в учебный процесс НИ ТГУ……………………………………………………….……………146




























ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В основе теории расчета пенсионных рент лежит использование идей математической теории страхования [1, 3, 10–20, 24, 26–28, 41, 51, 57, 58, 61, 64, 67–71, 73, 75–104, 111–121]. Идеи математической теории страхования получили широкое распространение, и круг практических задач, решаемых с привлечением методов этой теории, непрерывно расширяется, в соответствии с выдвигаемыми требованиями рынка. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует более широкую область знаний – актуарную науку. Общепринятое название данного научного направления – актуарная математика [36,76–79,88,99,122], которая является теоретической основой страхового бизнеса [2,29,30,59,60,62,63,79,81,83,97,118].
При расчете пенсионных рент широко используется понятие нетто-премии. Введем ряд необходимых определений [1,3,10–13,27,28,58,67–71,73,77–79,86].
1. Нетто-премия является частью страховой премии, предназначенной для покрытия ущерба. Нетто-премия – это часть брутто-премии.
Страховая премия (брутто-премия) является