Н.В. Фомичева - Сборник задач по курсу Сопротивление материалов. Часть 1. Изгиб (Сборник задач и решений)

Сборник^​ решений задач с объяснениями решений, все задачи на тему Изгиб


В СЕС ОЮ З НЫй З Л О ЧН ЫИ Э Н Е Р ГЕТ ИЧ ЕСК И Й ИНСТИТУТ
Москв а
К а ф ед р а соп ро т ивл е ни я м ате р иалов
Доц . Н. В . ФОМИЧ Е ВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
по курсу
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Часть 1
ИЗГИо
1967
/
, 111111 с т1-: Р С ТВО ВЫС Ш ЕГО И С Р ЕД Н Е ГО С П ЕUИАЛ ЬНО t· о
О БР АЗО ВАНИЯ РСФ С Р
В ЕСОЮЗ НЫй ЗАОЧНЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСI<Ий ИНСТИТУТ
l 'а ф ед ра со пр отивл е ния м а териалон
Доц. Н. В . ФОМИЧ ЕВА
Утвержд е но
в кач еств е уч е бн о го пособия
1<а ф едр о й сопр отивл ения м а териалов
С БОРНИ К ЗАДАЧ
по к у рс у
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИА Л ОВ
Часть J·
ИЗГИБ
Мос1<Ва
1967
..
ОГЛАВЛЕНИЁ
Пред исловие • • • •
1. Построение эпюр внутренни х си .л овы х факторов (М н Q ) дл ~
ба.11ок •
2. Оrтреде.nение перем е щен ий сеч ени й в ба л ка х
з. Построение эпюр внут р енних с иловых факто р о n (N, Q и М)
дл я плоских рам
4. Определение перемещений сечени й в р а м а х
5. Расчеты на прочность балок и рам
6. Статически неопределимые системы
Редактор проф . Киселев В. Ф.
Стр.
3
5
38
94
152
194
233
Л 55 125 28/11 1967 г. Объем 17 1/
1 п. JI. Цена 62 коп. Зак. 159. Тир. 3000:
Типография МЭИ
1 ...
ПРЕДИСЛОВИ Е
Настоящая часть задачника яв л яется вторым в ыпуско м
.задач 1-ш1<а п о со пр о тивлению мат е риа ла. В о втором вып у ске
( « И з гиб » ) пр едставлены задачи п о следующи м гла в ам:
1. Постр оение э пюр внутр енних силовы х факторов (М и
Q) для бало1< .
2. Определение перемещений сеч ений в балка х.
3. Построение эпюр вн утренни х силовых ф акторов (N, М
и Q) для плоских рам.
4. Определение перемещений сечен ий в ра мах .
5. Расчет на прочность балок и ра м .
6. Расчет статически неопредели мых систе м (балки, рамы).
В первом выпуске задачника по сопротив лению мат ер иа лов
(А . Н . Чур ин а, Сборник задач и упра жн ений по кур су
«Сопротивление материалов», ВЗЭИ , 1963 r.) б ыли даны
задачи по следующим главам: «Растяж е ние и сжатие», «Мо менты
инерuии и статические моменты», «Кручение».
В третьей и четвертой частях задачника пре дста в пены
задачи по главам: «Косой изгиб и внеце нтровое растяжение
- с~атие», «Сложное сопротивлен и е и расчет на про ч ность
», «Расчеты на устойчивость и продольно-попереч ный
изгиб>>, «Кривой брус большой кривизны», дин а мические за дачи
(силы инерции, удар, колебание) , расчет пр и напряже ниях,
переменных во времени.

'
r

.....
~
1. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ
ФАКТОРОВ ( NI и Q) ДЛЯ БАЛОК
Заиача / . П о строи ть э пю ры попер ечны х си л Q и изгиба ющи
х м ом с н топ М дл я б ал ки , п о к а з а нно й на ф и г . 1, 1.
а
Фиг. 1,1.
Реш е ние .
Оп редел нем опорные реакции ( ф и г . 1, 2). В соотве'Гс тв ии
с 1<онструкцией опор реакцию в о п о ре А (шар н ирн о н епо,1. -
А .х
Ф иг . 1,2.
в ижн а н опор а ) предст а в л яе ~ 1 в в иде д в у х с о ста в ~1я ю щих А~
и А у, а ре а кuию в опоре В (ш а р н и рно - п одвиж н ая о п о р а ) в
в иде одной в е рти1<альной си лы В , ..
Используем условия равнове~ия ста т и к и .
~МА=О -m-q2a2a + Pa + By3a + m 1 == 0
- qa 2
- 4qa 2 + qa' + Ву 3a + 2qa2 = О
2
В>' == -~ qa
v
5
ЕМв = О
ЕХ=О
-А За - rn - Р2а + q2a • а -t· т _ у · 1 - 0
-Ау За - qa2 - qa'2a + 2qa1 + 2qa2 =::::. (J
1
Ау= 3 qa.
Ах= О
При определении опорных реа1<ций рассматриваются B1-ie .
ние силы поэтому знаки моментов этих сил определ l.i.I-
' " ЯIОтс,а
г,о правилу движения часовои стрелки. ,.
Проверка правильности определения опорных реакций ·
ЕУ=О Ay+P-q2a+By=0 .
1 2 - qa + qa - 2qa+ - qa == О
З 3
о== о
Построение эпюр Q и М.
1 участок: О<х<а.
... .,· .....
Попер~чная сила Q и изгибающий момент М являютсп он утренними
факторами.
Для их определения воспользуемся методом сечений.
.r
l
Фиг . 1,3.
Проведем сечение 1-· 1 на
расстоянии х от опоры А 1( фиг.
1, 3) . Это сечение разделит балку
на 2 части . Рассмотрим ле вую
часть. Правую отброшенную
часть замением приложением в
сечении 1-1 внутренних факто·
ров Q и М. Так I<ак истинные на- ·
правления этих усилий нам неиз-
-..... вестны , то пред полагаем их положительными.
Из условия равновесия левой части балки получим :
2 участок:
6
Q - А == О Q == А Q = + qa
· М-т -Аух =0
l M==m + A,x==qa2 + - qax.
3
Х := Q М = qa1
4
х == а М == - qa2
3
О< х<2а .
Координацию второго участка лучше вести от опоры В
бaJll<И , та1< J<ак в этом случае на втором участке действует
"'еньш е е число силовых фаI<тор ов 1 (вн е шних сил). Поэтому
се ч е ни е 2-2 проводим на расстоянии х от опоры В балки
(фнr. 1,4). Вм есто отброшенной левой части балки приложим
внутренние усилия Q и М; направления этих усилий выби -
раем положительными.
х
. 2
Фи г .' 1,4.
Из условия равновесия прав ой отсеченн ой части ба л к и
получим:
Q - qx + 2 qa == О
. 3
2 ~
Q == qx - -qa
3
х == о ..
'
2 Q == - - qa
3
х=2а
. 4
Q == -qa
3
qzl
М + 2 - - 2q а 2
- Вух == О
м qx• 2 + 2 - 2qa2- з qax == О
M=2qa• + 2. qax - qx
2
3 2
х = О M==2qa'
х == 2а М = _!_ qa2
3
Опр~~лим2 максимальное значение М на этом учас~ке:
- = -qa-qx 2
2 dx 3 зqa-qxo==O Хо=-а
3
fttlma" = 2qa2 + .!_ qa• - _i._ qa2 20 а 2 (' .. 9 18 = 9 qa == ,~2 qn2 .
7
►
Q им (фиг. 1,5).
ПострJение эпюр ачениями Q и М в граничных сеч
р асп олага.я из нз ная закон изменения эти х ф ункций енн51х обоих участ1ов ' аст1,а, строим эпюры 8 Q = f ( х) и М::::: /l(Реаелах
каждого ) ч . , х) .
~ . Q--1 qa == const, эпюр а Q н а этоl1 уч;:~ст~<е
На 1 .·ч астке - 3 L• or.
раннчен а
нрямой ли нией, пр о н еде нн о и п аралJ1 ель110 осн
балки.
На втором у часп<'е ура внение для Q имеет следующий
вид Q=-qx-2- qa, т. ·е. Q есть ·функция первой степени от х.
3
Поэтому точки граничных значений Q, на этом участr<е со единены
прямо й линией.
Можно произвести проверку правильности построения
эпюры Q, ес.rш использовать зависимость:
dQ
. dx == q.
На первом участке ·q == dQ == о, т. е. Q==const. Сле-
dх v а
довательно, la этом участке свободном от сплошнои н -
грузки, эпюра Q ограничена' прямой параллельной оси х..
На втором участке q = dQ < О или q = tg ~ < О.
dx
Э 11ю р <1 Q огранич е н а н акло нной прямой ( линией :,анге нс
;~ о r р11ц атст"1ю r о у гла ), по этому з11ачения поперечнои силы
'il II IJlllr llOTOI .
- Э пюр а М u с н р ас по.ло.ж е н а п о одну сторону пт оси б а лки .
1 :сс орл 1111 ;, ты - 11ю ры б ыли п олуч е ны поJю /кителыrыми и от:
tож с 111 >1 uв t; p x, т . е . отложены н а сжатых во:юк на х двух уча с
11,013 U(! JI lН с 1 11 ср 1.:юм у ч аст r <е балки уравиение изгиб а ющ его ~10-
щ• 11 ·1 cl JI I CCT UИ Д
1
М = т+А у х == qa2 -t- 3 qa x .
З ; lec r , М ф у 111 < ци я п ервой степени от х, поэтому граничные
з 11 с1 ч с 1111 я М 11а этом у час т ке соеДJинены прямой линией.
Н а ,паром уч астке дл я М им еет следую щее уравнение :
м 2 2 + 2 qx2 == qa зq ах-2 ,
т . е. н зме 11.е ни е М пр оисходит п о пара болическому за кону.
Испо л ь зуе м теперь для провер ки правил ьности построения
::тюры М ди фф ере нциальную зависим ость:
dQ =М.
dx
На первом у частке Q> O, т. е. tga> O. Эп ю ра Л,1 по э то:IУ оr ра11и
·-rен а наклонной пря мой (лини ей тангенса положите..1ь r-
10го угла) , зна чения М возрастают.
На втором участке, как бы ло отмече но в ыше, эпю ра .И
ме 11я е тся по пара бол ическом у закон у но как про вести эту
парабол у - вып уклостью ввер х и л и вниз неизвестно.
Ор д ината . эпюры п опе ре чны х сил Q гео11етричес.ки пре,1. ставляет
собой тангенс угла н аклона касате.1ьно й с о сью х.
проведенной к соответствующе й точке эпюр ы . Н.
На учасп<е СК имеем Q> O, т. е. tga> но, о таваясь по ложительным,
он уменьшается . Зн ачит, зде ь . 1 возрастает.
т . е. от 1очки С 1 парабол а п ойдет вверх .
Н а фиг. 1,6 пр едставлена эпюр а Л1 в торого · частка в · величенном
виде . Пр оведем к аса т ельную к п арабо.1е в точке
С2, 1<о rорая с сстави т с осью х уго л а2.
Каса тель ная, провед енн ая к п а ра бо.1 в точ - С3 • обра зует
с осью х уго л а3 .
На фиг. 1, 6 ви д но, что а 2 > а 3 • т. tg сх 2 > tg :,{ :,• что
r a1C же следует и з эпюры Q.
На участке КВ Q < О tg а < О, к оторый о ~ тавая ь о т-Показать/скрыть дополнительное описание